Giáo án ôn tập hè Toán khối 11 ban KHTN

Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp , nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất , ứng với mỗi cách thực hiện đó có n cách thực hiện hành động hai thì có m.n cách h[r]

-Phần 1 Lượng giác

1 Công thức +,- giác

a) Công thức cộng

sin    sin cos  cos sin 

cos    cos cos  sin sin 

cos    cos cos  sin sin 

  tan tan

tan

1 tan tan

   

  tan tan

tan

1 tan tan

   

b) Công thức cung nhân đôi

sin 2 sin cos 

2

2

cos sin cos 2 1 2 sin

2 cos 1

 

2

2 tan tan 2

1 tan



 

c) Công thức góc nhân góc nhân ba

3

sin 3 3sin 4 sin 

3

cos3 4 cos  3 cos

3 2

3 tan tan tan 3

1 3 tan

 

d) Công thức biến đổi tổng thành tích

     

   

     

    

     

   

     

   

sin tan tan

cos cos

  

   

sin tan tan

cos cos

  

   

sin cot cot

sin sin

  

   

sin cot cot

sin sin

  

   

e) Công thức biến đổi tổng thành tích

2 cos cos  cos    cos   

2 sin cos  sin    sin   

2 sin sin  cos    cos    A) %,; trình +,- giác

Để giải ,; trình +,- giác ta ,@ tiến hành theo các ,A* sau:

1 Đặt điều kiện cho ,; trình có nghĩa

%,; pháp 1 Xem ,; trình cần giải có thuộc dạng quen thuộc hay không?

%,; pháp 2: Xem ,; trình cần giải có thể:

+) =, về ,; trình tích 2,-* hay không?

+) Có thể 2, về ,; trình phụ thuộc vào 1 hàm +,- giác hay không? Nếu 2,-* ta chọn ẩn là hàm +,- giác đó

%,; pháp 3: Sau khi không áp dụng 2,-* hai ,; pháp trên

Xem ,; trình có thuộc một trong các dạng sau:

+) A2 + B2 = 0 +) A  B 0

+) Dạng đối lập

A M

A B









  

 

 +) Dạng

1

1 1

1

1 1

A A

A A

B B









   

 Bài tập

Giải các ,; trình +,- giác sau

Dạng 1 %,; trình +,- giác cơ bản

a) sin(2x+500) = cos(x+1200)

b) tan x cot x 0

5



Dạng 2 %,; trình bậc nhất, bậc hai theo một hàm số +,- giác

a) 3 2 sin 2x 0  b) tan3x.tanx=1

c) Giải và biện luận (4m-1)sinx = m sinx – 8

d) sin22x – 2cos2x + = 03

4 e) tan x 4 tan x 3 04  2  

f) cos2x + 9cosx + 5 = 0

h) Giải và biện luận: m.cos2x – 2m + 3 = (2m +3)cosx

Dạng 3 %,; trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx + bcosx = c

     

b) 2 sin x2  3 sin 2x

c) 3 cos 2x sin 2x 2 sin 2x 2 2

6



-Dạng 4 %,; trình đối xứng, ,; trình đẳng cấp đối với sinx và cosx

a) 4 sin x 3 3 sin 2x 2 cos x 42   2 

b) sin x 2 sin x cos x 3 cos x 03  2  3 

c) Giải và biện luận m sin x2 m 3 cos x m sin x 1 0  2   

d) 2 sin 2x 3 3 sin x cos x    8 0

e) cos x sin x 3sin 2x 1 0   

f) Xác định m để ,; trình sau có nghiệm: sin x cos x sin x cos x m 0   

về ptlg cơ bản, ptlg gần cơ bản

về pt bậc nhất đối với sinx và cosx

Bài 1: Giải ,; trình +,- giác

1) cos(x-2) = - cos(5x+2)

2) tanx = cot(x+60o), x(0o; 270o)

3) sinx2 = cosx2

4) cos(x2-x) = sin(x-/2)

5) tan3x + cot2x = 0

6) tan(cosx) = tan(2cosx), x0o; 360o)

7*) sin(cosx) = cos(sinx)

Bài 2: Giải ,; trình +,- giác

1)  cos(2x+1)= 1/2

2) tan2x = cot2x , x(0; 7)

3) sin2(6x-/3) + cos2(x+) = 1

4*) cot3x.tan2x = 1

Bài 3: Giải và BL ,; trình

1) sin2x + (2m-1)cos2(x+) = m

2) m(tanx + cotx) = 2cotx

Bài 4: Giải ,; trình +,- giác

1) sinx - cosx = , x(0; 2)

2

3

1 2) sin2x - 2sinxcosx = 5

3) 2sin25x +(3+ 3)sin5xcos5x +

+ ( 3-1) cos25x = -1

4) 3cos4x - 2sin2xcos2x = 2

5) 3(cos4x + sin3x) = cos3x – sin4x

6) 2- tanx = 2/ cosx

Bài 2: Tìm m để ,; trình sau có

nghiệm (2m-1)sinx + (m-1)cosx = m-3

Bài 3: Cho PT mcos2x + sin2x = 2

1 GPT với m = 2

2 m = ? PT có nghiệm.

Bài 4: Giải và BL ,; trình

msin(x/3) + (m+2)cos(x/3) = 2

Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

x x

x y

sin cos 2

cos 2









Bài 6: Tìm m để mọi nghiệm của ,; trình sinx + mcosx = 1

đều là nghiệm của ,; trình

msinx + cosx = m2 ##

đại số hoá ptlg Bài 1: Giải ,; trình +,- giác

1) sin2x + 3cos2x + 3cosxsinx = - sin2x

2 1

2) 2 2sin2x - 3sin2x = 2- 6

3) 2sin2x + sin 2x =-1

4) cosx + sinx - 4sin3x = 0

5) sinx(2cosx + sinx) = 2cos2x +1/2

6) 5sinx – 2 = 3(1- sinx)tan2x

Bài 2: Giải ,; trình +,- giác

1) cos2xsin2x + 1 = 0

2) 2- tan2x = 2/ cos2x

3) 4(tanx + cotx) + 3(tan2x + cot2x)=-2

4) tan2x - tanx = 0,5sin2x

5) tan2x + cotx = 4cos2x

6) tan(x+/4) = 1+ sin2x

7) tanx +tan2x+ tan3x +cotx +cot2x+ cot3x =6

2

cos

1

2

cos





x x

x

Bài 3: Giải ,; trình +,- giác

1) 1+ sin2x = cosx + sinx

2) 1+ cosx + sinx + cos2x + sin2x = 0

4) sin3x - cos3x = cos2x

5) sin3x + cos3x = cosx + sinx+ sin2x

6)  cosx - sinx + 4sin2x = 1

7) tanx+cotx+cosx+sinx = 2

-x

1 cos

1

 Bài 4: Giải ,; trình +,- giác

1) 3sin3x - 3cos9x = 1+ 4sin33x

2) 8cos4x = 3+5 cos4x













sin

2 sin

sin

4 sin

2 2

x

x x

x

4) 2cos2(6x/5) + 1 = 3cos(8x/5)

1 sin 4 cos 3

6 sin

4

cos









x x

x x

6) sin4x +(1+ sinx)4 = 17

-ptlg đưa về dạng tích Bài 1: Giải ,; trình +,- giác

1) cosxsinx(1+ tanx)(1+ cotx) = 1

2) (1+ tanx + ) (1+ tanx - ) = 2

x

cos

1

x

cos

1

3 3) cos(100-x)sin(200+x) = 1/2

4) (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx

5) cotx – 1 = sin2x - sin2x +

2

1

x

x

tan 1

2 cos



6) cos3x - 2cos2x + cosx = 0

Bài 2: Giải ,; trình +,- giác

1) sin2x + sin22x+ sin23x = 3/2

2) cos23xcos2x - cos2x = 0

3) cos3x cos3x +sin3x sin3x = 2/4

4) cos3x cos3x +sin3x sin3x = cos34x

5) sin4x + cos4x + cos(x-/4)sin(3x-/4) = 3/2

6) cos2x = cos(4x/3)

7) 2cos2(3x/5) + 1 = 3cos(4x/5)

8) sin8x + cos8x = (17/16) cos22x

Bài 5: Giải ,; trình

x

x x

x

x x

tan 1

tan 1 2 sin 1 ) 2 sin

1

cos 1

tan

)















x

x x

3

3 2

sin 1

cos 1

tan

)

3







4) tan200tanx+ tan400tanx + tan200tan400 =1

5) tan2x- tan3x- tan5x = tan2xtan3xtan5x

6) tan22x- tan23x- tan25x = tan22xtan23xtan25x

7) ( 3/cosx)- (1/sinx) = 8sinx

Bài 6: Giải ,; trình

1) sin2x + sin2y + sin2(x +y)=9/4

2) tan2x + tan2y + cot2(x +y)=1

Bài 7: Tính các góc của tam giác ABC

không tù thoả mãn

Cos2A + 2 2cosB + 2 2cosC = 3

Ptlg chứa tham số

Bài 1: Tìm m để ,; trình có nghiệm

msin2x + cos2x + sin2x + m = 0

Bài 2: Cho ,; trình

m sinx + (m+1)cosx = m/cosx

1) Giải ,; trình với m = 1/2

2) Tìm m để ,; trình có nghiệm ?

3) Tìm m để ,; trình có nghiệm x(0; /2) ?

Bài 3: Cho ,; trình

(1-m)tan2x -2(1/cosx) +1+3m = 0

1) Giải ,; trình với m = 1/2

-2) Tìm m để ,; trình có nhiều hơn một nghiệm x(0; / -2) ?

Bài 4: Tìm m để ,; trình có nghiệm

m(tanx - cotx) = tan2x + cot2x

Bài 5: Chứng minh với mọi m, ,; trình sau luôn có nghiệm

1) sin4x + cos4x+m cosxsinx = 1/2

2) (1/cosx)- (1/sinx) = m

Phần 2:

Phương phỏp 1: Dựng cỏc cụng thức lượng giỏc đưa về phương trỡnh dạng tớch.

Vớ  1   tỡnh: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).

Giải

 trỡnh (1)   ! 1 cos 2 1 cos 6 1 cos 4 1 cos 8

 cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0

 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0

 2cos5x(cos3x+cosx) = 0

 4cos5x.cos2x.cosx = 0

5

10 5 2

cos 5 0

π kπ π

x

x















Vớ  2   trỡnh: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2).

Giải

Ta cú (2)  cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)

 cos2x(sin6x–cos6x) = 0

 cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0

 cos2x = 0

8 2 cos x2 2 sin xsin 3x6 2 cos x 1 0

Giải

Ta cú:

2

(3) 2 2 cos (4 cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0

2 cos 2 cos cos 3 2 sin 2 sin sin 3 2

(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2

2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2

2 cos 2 (1 cos 4 )

2 2 cos 2 cos 2

4 2

cos 2

π

     k π k, (  )

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:

Ví  4   trình )* giác: 8 8 17 (4).

32

x x

Giải

Ta có (4)

- cos22x = t, ! t[0; 1], ta có 2 2

1

13

2

t

t

 



  



cos 2

x

cos4x = 0 4 , ( )

Ví  5   trình ) giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)

Giải

Ta có (5)  2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0

 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0

 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0

2 sin 2 cos 2 sin cos 1 0 (*)







 (*): - sinx + cosx = t, 56 78 | |t  2, khi '  trình (*) 9 thành:





;

4

π

x  n π xk2 ,π ( ,n k)

Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.

-Ví  6   trình: |sin | (6).

cos

x

Giải

-56 78 x B 0

Do | sin x| 0, nên π|sin x| π0 1, mà |cosx| D 1.

(6)

0

x







(Vì k, n) 2=>  trình có 8? duy F x = 0.

Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.

2

2

x

x

Giải

- ( )= cos 2 CJ F> f(x) = f(x), , do ' f(x) là hàm K L vì => !

2

x

M ta N xét ! x B 0.

Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, xB#  f’(x) là hàm S TM% do ' f’(xBf’(0), ! xB#  f(x) S TM ! xB#

Ví

.

0;

2

π

2 2

n



Giải

- f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x.

= nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)

, ta có minf(x) = f( ) =

(0; ) 2



4

2

2

n



4



()( các ,-./01 trình sau:

2

2 tanx.sin2x 2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) =C E CF6 -G2B

x   k  x   n 

3 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) =C -./01 I(B

x   k  x  n  x  m 

2



5 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) =C 7N2 Hà M(B

2

4

  

4

x  k 

 

8 sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x

12

xk 

4 sin 3

sin

2

x x

x





4

8 5 8















sin x 3 cos xsin cosx x 3 sin xcosx

3 k

 

4

x   k 

11.2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx







-56 78 cos sin 2 sin tan cot 2  0

x









&\ (1) ta có: 1 2 cos sin  cos sin 2

2 sin

1

x



2 sin cosx x 2 sinx

2

cos

2

2 4

  



   





4

tan cot

x



(1)

tan cot

x



-56 78 sin 2x0

2

1

1 sin 2

1 sin cos 2

(1)

x

2

2

1

1 sin 2

x



2=>  trình A cho vô 8?

14 ()( ,-./01 trình: x ) 2sin x tanx.

4 ( sin



Pt x ) 2sin x tanx (cosx

4 (

sin

) 0

 x )]cosx 2sin x.cosx sinx

2 2 cos(

1

(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 sin2x = 1

sin 2x cosx 3 2 3 osc x3 3 os2c x8 3 cosxs inx 3 30



3

sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0

2 sin cos 6 sin cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0

0 ) sin cos 3 ( 8 ) sin cos 3 ( cos 6 ) sin cos 3 (

cos



2

2

( 3 cos sin )( 2 cos 6 cos 8) 0

3 cos sin 0

cos 4 ( ai)

x

x

x

, 3

2

k



  











16. ()( ,-./01 trình: cosx=8sin3

6

  



6

  

3 sinxcosx

3 3 sin x9 sin xcos x 3 3 sin cosx xcos xcos x  0

Ta F> cosx = 0 không là nghiêm

3 3 tan x8 tan x  3 3 tan x  0

-tan x 0 x k 







-56 78 cos sin 2 sin tan cot 2  0

x









&\ (1) ta có: 1 2 cos sin  cos sin 2

2 sin

1

x



2 sin cosx x 2 sinx

2

cos

2

2 4

  



   





4

18 ()( ,-./01 trình: cos 2x 5 2(2cos )(sinx xcos )x



 trình  (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0





2

  



  



19. ()( ,-./01 trình: 2cos3x + sinx + cosx = 03



 sin sinx + cos cosx = – cos3x.

3 sinxcosx2 cos 3x 0

3



3



3

   

3

k

x

k

  







  





k



20. ()( ,-./01 trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2

8





-Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2  cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x)

8



= 2 3 2

8



cos 3 sin 3 3 cos 3 cos sin 3 sin

2

21. CF0- m TU ,-./01 trình sau có 01-(?W

2



Ta có:

* 4 sin 3 sin x x  2 cos 2 xcos 4x ;

Do '  trình A cho  

4

sin 4 x  2 sin 2 cos 2 x x  t 1

(2) !

2

2

(2) t 4t  2 2m

(là b song

( ) :D y 2 2m

song ! Ox và c d tung I a? có tung Y Te 2 – 2m và (P): 2 !

4

y t t

.

2 4 2

Trong  2; 2, hàm K 2 I giá f g F là I và I

4

giá f )! F là 2 4 2 I t 2.

.

1 2 sin cos

3

1 2 sin 1 sin





-

sin

2

 , sinx i 1

1 2 sin cos 3 1 2 sin 1 sin

cos 2 sin cos 3 1 sin 2 sin

cos 3 s in s in2 3 cos 2

   x x  k  hay    x x  k 

2 2

  

x  k  , k  Z =

sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2 cos 4xsin x



sinxcos sin 2 x x  3 cos 3 x  2 cos 4 x sin x

sin sin 3 sin 3 cos 3 2 cos 4

sin 3 3 cos 3 2 cos 4

sin 3 cos 3 cos 4

cos 3 - cos 4

6

.

6

6

k

   



    





2 6 2

k x

   



 



24 ()( ,-./01 trình: 3 cos 5x2 sin 3 cos 2x xsinx0.



Pt  3 cos 5xsin 5xsinxsin x

3 cos 5 sin 5 2 sin

cos 5 sin 5 sin

3

3

3

18 3

k

k x

k k

x



    



    



  



  







Gkl II : &n Go VÀ XÁC Hst&

I)QUI X CY

a)Qui 2Z* *M01

m cách

Y ?Y thì công 8 ' có m+n cách X 8

b)Qui 2Z* nhân

UY công 8 * hoàn thành T9 hai hành Y liên M , M6 có m cách X 8 hành Y w

F , w ! ?x cách X 8 ' có n cách X 8 hành Y hai thì có m.n cách hoàn thành Y 8

BÀI '

II)HOÁN

a)Hoán aF :

Có = * A S? n h y n1

Ví Ed : A={1,2,3} thì 123,321,213 … là  hoán f

Ta

b) -b0- -S, :

Cho = A S? n phàn y n1

!

k n

n

k

c) c -S,

Cho = * A S? n h y n1

k

k n

n C

k n k





Ví

a/ Có F  bao nhiêu cách

b/ Có bao nhiêu cách thành

III) ] d NIU 

Công w sau ] là công w f w niu 

HK I w k+1 là : T k1C a n k n k b k

BÀI &† : &n Go –XÁC Hst&

De 01 qui 2Z* *M01 , qui 2Z* nhân , hoán aF và *-b0- -S,

Bài 1 : CHo ?Y Y X 5 viên bi c * + K \ 1 M 5 và 10 viên bi g * + K \ 6

M 15 có bao nhiêu cách ] ?Y viên bi ?

-Bài 2 : Có 7 6K sách toán khác nhau , 10 K sách ˆ khác nhau và 3 6K sách lý khác nhau Gg

có bao nhiêu cách ] ?Y 6K cách a ] ?

Bài 3 : Có 5

sách

CÁC BÀI &† 2Š H‹

Bài 3 : CHo = * K : {1,2,3,4} Có bao nhiêu cách ] ?Y K X nhiên :

a Có hai  K ^ ?Y khác nhau ?

b Có 3  K ^ ?Y khác nhau ?

c Có 4  K ^ ?Y khác nhau ?

Bài 4: &\ = * K {1,2,3,4,5} Có bao nhiêu cách ] ?Y K X nhiên :

a Có hai  K ^ ?Y khác nhau

b 3  K ^ ?Y khác nhau và luôn có ?  K 5 ?

c Có 4  K ^ ?Y khác nhau và luôn có ?  K 2 ?

Bài 5 : &\ = * K : {0,1,2,3,4,5) ta có a )= * bao nhiêu K X nhiên :

a) Có hai  K ^ ?Y khác nhau ?

b) Có 3  K ^ ?Y khác nhau ?

c) Là K L có 4  K ^ ?Y khác nhau ?

d) Là K )Œ có 5  K ^ ?Y khác nhau ?

Bài 6 : &\ = K X nhiên {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Có bao nhiêu cách )= ?Y K X nhiên

a) Có 4  K ^ ?Y khác nhau ?

b) Có 8  K ^ ?Y khác nhau ?

Bài 7 : &\ các K 0,1,2,3,4,5 Có biêu cách )= ?Y K X nhiên

a) Là K )Œ có 3  K ^ ?Y khác nhau ?

b) Là K L có 6  K ^ ?Y khác nhau ?

Bài 8 : &\ các K : 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu cách )= ?Y K X nhiên :

a) Có 2  K khác nhau và luôn có ?  K 2

b) Có 3  K khác nhau và chia M cho 3

c) Có 5  K khác nhau và luôn g  550

Bài 9: &\ các K : 0,1,2,3,4,5 có bao nhiêu cách )= ?Y K X nhiên :

a) Có 3  K khác nhau

b) Có 4 

c) Là K )Œ và có 4  K và ^ ?Y khác nhau

d) Là K L và có 5  K ^ ?Y khác nhau ?

Bài 10 : &\ các K 0,1,2,3,4,5,6 có bao nhiêu các )= ?Y K X nhiên :

a) HK có 4  K ^ ?Y khác nhau

b) HK có 5  K

c) HK có 3  K chia M cho 5

d) HK có 4  K trong ' luôn có  K 1

Bài 11: &\ các K : 0,4,5,7,8,9 Ta có a )= * bao nhiêu K X nhiên :

a) Có 4  K ^ ?Y khác nhau

b) Có 3  K và luôn có ?  K 9

c) Có 3  K và )!  400

Bài 12 : &\ các K 0,2,3,4,5,6 Ta có a )= * bao nhiêu K X nhiên :

a) là K L có 3  K

b) K có 4  K và luôn có ?  K 5

+) Có thể 2, ,; trình phụ thuộc vào hàm +,- giác hay không? Nếu 2,-* ta chọn ẩn hàm +,- giác

%,; pháp 3: Sau không áp dụng 2,-* hai ,; pháp

Xem ,; trình có thuộc...

Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác việc giải hệ phương trình lượng giác cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.