Chứng minh rằng nếu đa thøc Px cã n nghiÖm sè thùc ph©n biÖt hoÆc trïng nhau vµ m lµ sè nguyªn dương bất kì thì Pm ≥ m + 1n.[r]
Trang 1đề số 2
Bài 4 Cho đa thức P(x) = xn + a1xn - 1 + … + an - 1 x + 1, trong đó n là số
nguyên dương và các hệ số ak ≥ 0 (k = 1, …, n - 1) Chứng minh rằng nếu đa
thức P(x) có n nghiệm số thực (phân biệt hoặc trùng nhau) và m là số nguyên
dương bất kì thì P(m) ≥ (m + 1)n
Bài 5 Tìm hai hàm số f(x) và g(x) xác định trên thoả mãn đồng thời hai
điều kiện:
a) 3f(x) - g(x) = f(y) - y với mọi x, y ;
b) f(x)g(x) ≥ x + 2 với mọi x
Bài 6 Cho n là một số nguyên dương, a và b là hai số thực không đồng thời
bằng 0 Đặt Δ = 2 1 2 Chứng minh rằng phương trình
x2n + 1 + ax + b = 0 có một nghiệm khi Δ > 0, có hai nghiệm khi Δ = 0, có ba
nghiệm khi Δ < 0
_
Trang 2đáp án đề số 2
Bài 4 Do ak ≥ 0 (k = 1, …, n - 1) và P(0) = 1 > 0 nên tất cảc các nghiệm của
đa thức P(x) đều là số âm Gọi các nghiệm của P(x) là
- x1, - x2, …, - xn (xk > 0, k = 1, …, n)
Theo định lí Viète thì x1x2…xn = 1
Vì hệ số cao nhất của P(x) bằng 1 nên P(x) = (x + x1)(x + x2)…(x + xn)
Do đó P(m) = (m + x1)(m + x2)…(m + xn)
Ta có m + xk = 1 1 1+ xk ≥ (m + 1) với k = 1, 2, …, n
m
k
x
1 2
m
n
x x x
Bài 5 Thay y = x vào điều kiện thứ nhất ta được 3f(x) - g(x) = f(x) - x Do
đó f(x) = ( )
2
g x x
Thay f(x) = ( ) vào điều kiện thứ nhất ta được
2
g x x
g(x) = 3x - 3y + g(y)
Đặt b = g(0) và thay y = 0 vào đẳng thức trên ta được
g(x) = 3x + b và f(x) = x +
2
b
Theo điều kiện thư hai, ta cần có
f(x)g(x) = (3x + b)(x + ) ≥ x + 2 với mọi x
2
Từ đó tính được b = 10
Vậy hai hàm số cần tìm là f(x) x + 5 và g(x) = 3x + 10
Bài 6 Đặt f(x) = x2n + 1 + ax + b thì f’(x) = (2n + 1)x2n + a
Nếu a ≥ 0 thì f’(x) ≥ 0 với mọi x nên f(x) đồng biến trên R, f(x) → + ∞ khi x→ + ∞ và f(x) → - ∞ khi x → - ∞ nên phương trình f(x)
= 0 có một nghiệm Trong trường hợp này ta có Δ > 0
Nếu a < 0 thì f’(x) = 0 khi và chỉ khi x = ±2 Đặt
2 1
n
2 1
n
x - ∞ - α α + ∞
f’(x) + 0 - 0 +
Trang 3f(x) - ∞ f(- α) f(α) + ∞ Phương trình f(x) = 0 có một nghiệm, hai nghiệm hay ba nghiệm tuỳ thuộc vào giá trị của f(- α)f(α) là dương, bằng 0 hay âm
Ta có f(- α)f(α) = b2 - 4 2 22
(2 1) n 2 1
n a a
n n
Do đó f(- α)f(α) > 0 khi và chỉ khi
(2 1) n 2 1
n a a
n n
2 2 1
2 1
4 (2 1)
n n n n
n a n
Tương tự, f(- α)f(α) < 0 Δ < 0, f(- α)f(α) < 0 Δ = 0
Vậy phương trình f(x) = 0 có một nghiệm khi Δ > 0, có hai nghiệm khi Δ = 0, có ba nghiệm khi Δ < 0
_