so do tu duy gd công dân 9 mai thi năm thư viện tư liệu giáo dục

Cho neân ñeå coù theå kích thích, giaùo duïc toát hôn nöõa cho hoïc sinh, toâi ñaõ phaân loaïi töøng chuû ñeà ñeå hoïc sinh naém chaéc töøng vaán ñeà cuûa lyù thuyeát, [r]

sở giáo dục và đào tạo hà nội

-

Sáng kiến kinh nghiệm:

Một vàI kinh nghiệm giảng dạy về hàm số ở lớp 12 trung học phổ thông

Giáo viên : quyền văn ch-ơng

Tổ : Toán

Hà Nội,5/2007

Một số kinh nghiệm giảng dạy về hàm số ở lớp 12

Trung học phổ thông

Đặt vấn đề:

Trong quá trình dạy học bộ môn Toán, tôi nhận thấy vấn đề hàm số cùng các bài toán xét tính đơn điệu, tìm cực trị, viết phương trình tiếp tuyến, điểm cố định, đồ thị luôn là những bài toán phát huy tốt trí lực của học sinh Cho nên để có thể kích thích, giáo dục tốt hơn nữa cho học sinh, tôi đã phân loại từng chủ đề để học sinh nắm chắc từng vấn đề của lý thuyết, từng lớp bài tập đặc trưng Sau đó cho học sinh làm bài tập tổng hợp, phối hợp nhiều kiến thức, nhiều kĩ năng và hiệu quả rất tốt đối với học sinh Cụ thể như sau

A Vấn đề về tính đơn điệu của hàm số

I Vấn đề lý thuyết

1 Dùng định lý:

Nếu y  f (x) có đạo hàm trong  a; b

Giả sử f (x)  0 tại một số hữu hạn điểm trong  a; b thì :

– f (x)đồng biến trên  a; b  f (x)  0 x a;b

f  2  

) ( (a  0)

II Bài tập áp dụng

1 Bài 1:

Cho hàm số :y x3 3mx2 32m 1x 1

Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định

 y có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Bảng xét dấu y :

y’ – 0 + –

Hàm số đồng biến trên 0 ;3 x103x2



7 12 7

12

3 0

) 3 ( ).

1 (

0 ) 0 ( ).

1 (

k g

g

3 Bài 3 :

Cho hàm số y

m x

m mx x

a Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định

b Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trong khoảng 1 ; 

Bài giải :

TXĐ : D = R \  2m

) 2 (

4

m x

m mx x

(x x mx m

g   

Hàm số đã cho đồng biến trong các khoảng   ; 2m và 2m; 

0 4

)

(  2  2 

0 0

Vậy khi m 0 thì hàm số đồng biến trên các khoảng   ; 2m và 2m; 

b, Tìm m để hàm số đồng biến trong 1 ; 

 Khi m 0: hàm số đồng biến trên   ; 0 và 0 ;   thoả mãn điều kiện đồng biến trên 0 ;  (1)

0 1

3 2

0

m

m m

m

(2) Từ (1) và (2) có y đồng biến trên 0 ;  m 2  3

III Bài tập áp dụng tương tự

1 Bài 1 : Cho hàm số : y x3 3x2 m 1x 4m

a Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng  1 ; 1

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m  1

Kết quả câu a : m10 thì hàm số nghịch biến trên 1;1

2 Bài 2 : Cho hàm số :  

1

2 1 2 2

Tìm k để hàm số đồng biến trong khoảng 0 ; 

Kết quả : k  0

B Vấn đề cực trị của hàm số

I Phần lý thuyết

1 Dấu hiệu 1 : Cho f (x) có đạo hàm trên  a; b x0  a;b

Nếu tại x0: f (x)  0 hoặc không xác định

thì : –) Nếu f(x) đổi dấu từ (–) sang (+) khi x qua x0 thì f (x) đạt cực tiểu tại x0

–) Nếu f(x) đổi dấu từ (+) sang (–) khi x qua x0 thì f (x) đạt cực đại

2 Dấu hiệu 2 : Cho f (x) có đạo hàm trên  a; b và f (x)  0

Giả sử f (x) có y tại x0 :

–) Nếu f  (x0)  0 thì f (x) đạt cực tiểu tại x0

–) Nếu f  (x0)  0 thì f (x) đạt cực đại tại x0

II Phần bài tập

1 Bài 1 : Cho hàm số

1

2 2

m x x y

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m  1

b Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Viết phương trình đườngthẳng qua điểm cực đại và cực tiểu

m x m x

y

Hàm số có cực đại và cực tiểu  y  0 có 2 nghiệm phân biệt và y đổi dấu liên tiếp khi qua 2 nghiệm

m x m x

m m

m

m m

m m

g

m m

, 0 3 ) 1 )(

1 ( 2 ) 1 (

, 0 1 0

) 1

(

0 3 ) 1 (

2

2 2

 Phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là :

) 1 (

) 2 2

( :

m x x y d

2 Bài 2 : Cho hàm số y x3 3mx2 (m2 2m 3 )x 4

Tìm m để hàm số đã cho có điểm cực đại, cực tiểu ở về 2 phía của trục tung

0)3m2m(2)0(g

3 Bài 3 : Cho hàm số yx3 kx 2 (k là tham số) (C k)

Tìm các giá trị của k để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 và chỉ 1 điểm

Nếu k  0 thì y  0 xR  hàm số đồng biến trên R

 (C k) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất

Vậy khi k   3 thì đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại 1 điểm duy nhất

C Bài toán tiếp tuyến của đường cong y = f(x)

I Phần lý thuyết

Học sinh nắm được cách viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

)

(

:

)

(C y f x ở các trường hợp sau:

1 Phương trình tiếp tuyến tại M0(x0;y0)  (C) :y f(x)(xx0) y

0

2 Cho biết hệ số góc k  xét phương trình f (x) k

Từ đó suy ra toạ độ tiếp điểm

3 Phương trình tiếp tuyến với (C) qua M0(x0;y0)

Lý luận và xét hệ

y x x k x f

) (

) ( ) ( 0

0 0 0

II Phần bài tập áp dụng

1 Bài 1 : Cho hàm số

a, Học sinh tự làm

b, d là đường thẳng qua M(  6 ; 5 ) và có hệ số góc k d có phương trình :

5 ) 6 (  

x k x

x C

2 ) 2 ( 4

5 ) 6 ( 2 2 )

1y:)d(4

1

k2   2  

2 Bài 2 : Cho hàm số y x3  3x (C)

Tìm trên đường thẳng y  2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

m x k x x

) 1 ( 3

2 ) ( 3

Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt g(x)  2x2 ( 3m 2 )x 3m 2 có

2 nghiệm phân biệt   1

0 6 6 )

1

(

0 ) 2 3 ( 8 ) 2 3

m m

m m

g

m

3 Bài 3 : Cho hàm số y 2x3 3 (m 3 )x2 18mx 8 (C m)

Tìm m để (C m) tiếp xúc với trục hoành

Bài giải :

TXĐ : D = R

m x m x

0 8 18 )

3 ( 3 2

0 8 54 ) 3 ( 27 54

0

2 2

3

m m m

m m

m m

m m

m

D Vấn đề Tập hợp điểm - Điểm cố định

I Phần lý thuyết

1, Tìm tập hợp các điểm M di động thoả mãn các điều kiện đã cho, ta thường làm như sau:

a Tìm toạ độ M có chứa tham biến

b Khử tham biến m ta được hệ thức độc lập giữa x, y (F(x,y)  0)

c Giới hạn theo điều kiện, ta được tập hợp phải tìm

2, Điểm cố định

Cho họ đường cong (C m) có phương trình y f ( m x; ) m

II Bài tập áp dụng

1 Bài 1 : Cho hàm số

1

4 2

Bài giải :

 Biện luận số giao điểm cùng đồ thị

 I(x I;y I) là trung điểm của AB

m x

I I

I

2 4

4

 y I   2x I  4

Tập hợp I là đường thẳng y   2x 4

loại bỏ đoạn AB : A(  2 ; 0 ) và B( 0 ;  4 )

2 Bài 2 : Cho hàm số y x4  2mx2  2m 1 (C m)

CMR : (C m) luôn đi qua 2 điểm cố định A, B khi m thay đổi

Bài giải : )

2 024

4 0

 y x m x m

) ( 0

1 0

0

m

C y

 luôn đi qua 2 điểm cố định M(  1 ; 0 ) và N( 1 ; 0 )

E Vấn đề dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình - Tìm GTLN và GTNN

1 Bài 1 : Cho y x3  3x (C)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Dùng đồ thị (C) để tìm GTLN và GTNN của hàm y   3 sin3 x sin 3x

1t 3;1

Nên y = -2     k2

2x1t

t 1;1

2 Bài 2 : Cho hàm số y  m2x4 2x2 m (với tham số m0,mR)

Khảo sát sự biến thiên của hàm số khi m 0

Từ đĩ tìm m sao cho m2x4 2x2 m0 x R

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho

2 Tìm các điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó

đến trục hoành bằng 2 lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung

Bài 2

Cho hàm số y = 2mx3 – (4m2 + 1) x2 + 4m2 với m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m = 1

2 Tìm m sao cho đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành

Giải

1 Học sinh tự giải

2

Nếu m = 0 thì y = –x2 (P)

Dĩ nhiên (P) tiếp xúc trục hoành tại O (0,0)

Nếu m  0 hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ ph-ơng trình

3 2

3

1 4 ) 1 4 ( 3

1 4

m

+ 4m2 = 0

3 2 3

2 2

9

) 1 4 ( ) 1 4 ( 27

2

m

m m

(loại)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho

2 Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ đ-ợc đúng

k = f’ (x) = – 2

) 1 (

Từ A vẽ đúng 1 tiếp tuyến đến (C)  (*) có 1 nghiệm

 (*) có nghiệm kép  1 hoặc (*) có 1 nghiệm x1 = 1 và x2  1

1aP

01a1)1a(21a1

1a

1axx

02a2'

2 1

 a = –1 Vậy có 2 điểm A(0 ; 1) v A’(0 , –1)

Bài 4

Cho hàm số y = x3 – 3x

Khảo sỏt sự biết thiờn và vẽ đồ thị (C)

Tìm các điểm trên đ-ờng thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ đ-ợc

k = f’ (x) = 3 (x2 – 1)

x3– 3x = 3(x2 – 1)(x – m) + 2 Ph-ơng trình hoành độ tiếp điểm (d) và (C)

x3– 3x = 3x3 – 3mx2– 3x + 3m + 2

 2x3– 3mx2 + 3m + 2 = 0

 (x + 1)(2x2 – (3m + 2) x + 3m + 2) = 0 (*)

Gọi  (x) = 2x2 – (3m + 2) x + 3m + 2 Yêu cầu bài toán

 (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt –1

Bài 5

Cho hàm số y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m

1 Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng (–1 , 1)

2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –1

Vậy hàm số đồng biến trên R (loại so yêu cầu)

* Nếu m < 2 thì ’ > 0 gọi x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của (x) Lúc đó:

y Hàm số giảm trong khoảng (–1 , 1)

0 ] 1 6

3 [ 3 ) 1 (

m a

m a

 m –10

2 Học sinh tự giải

 y = 4 sin³t – 3 sint = –3sint

Hiển nhiên y –1 ; 1

Vậy yêu cầu của bài toán thỏa  m = –3

Bài 7

Giải 1 - Nếu m = 0 thì y = x đồng biến trên R (nhận so ycbt) (1)

- Nếu m  0 : D = R \ –

m 1 y' = 2 2 2 2 ) 1 ( 1 2     mx m mx x m Hàm số (1) đồng biến trên ( 0 ; +)  g(x) = m2 x2 + 2mx + 1 – m2 0 x > 0 Ta có: ' = m2– m2 ( 1 – m2) = m4 > 0 m  0 Vậy g ( x ) = 0 luôn có 2 nghịêm phân biệt: x1 = – 1  1 m x2 = – 1  1 m x – – 1  1 m

m 1  m m  1 +

y' + 0 - - 0 +

y + +

– –

Ta thấy (1) đồng biến trên ( 0, +)  x2 = – 1  1  0 m

Cho hàm số y = (1)

1 mx

m x

mx2





 với m là tham số

1 Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (0; + )

2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C) khi m = 1

3 Tìm số tiếp tuyến có thể có với (C) đi qua mỗi điểm của (C)

 1 0

m m

 0 < m  1 (2) Vậy hàm số (1) đồng biến trên ( 0, + )

1

0 0 0

0 2 0

x x

0 0 2

) 1 (

2 )

( '

) ( 1

1

x

x x x f

k

y x x k x

x x

=> Pt hoành độ tiếp điểm:

2 1

1

0 2

0 2

x x x x x

x x

1

1 2 1

1

0 0 2 0 0

2 0

x x

(vì M  (C))

1 1

2 1

1

0

2 0 0

0 2 0

x x x x

 x2

- 2x0x + 2

0

x = 0 (*) Phương trình (*) có nghiệm kép:

x = x0

Chỉ có 1 tiếp điểm duy nhất

Vậy tại mỗi điểm của (C) chỉ có 1 tiếp tuyến duy nhất

Bài 8

Cho hàm số y =

1

2 3 ) 2 ( 2

(1)

a Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 0

c Gọi x1, 2 là 2 nghiệm của y' = 0

'

' xm

v u

Vậy: (yCĐ)2 + (yCT)2 = (2x1 + m + 2)2 + (2x2 + m + 2)2

= 4 2

2 2

1 x

x  + 4(m+2) (x1 + x2) + 2(m + 2)2 = 4 [4 + 4m] - 8 (m+2) + 2(m+2)2

’(m) = 4m + 1 (HS tù gi¶i tiÕp)

mx

4m)x2x)(

1m(y

2m3

m  1

 m = 2 v m =

910

m 

54

 m = 2 v m =

9

10

c D = R \ -1 (v× m  0)

y’ =

2

2 2

)mmx(

m2m3x)1m(m2x)1m(m

v

u =

m

)2x2)(

1m(  

Gọi x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của y’ = 0

Ta có: S = x1 + x2 =

)1m(m

)1m(m2







= -2

P = x1x2 =

)1m(m

)2m3(m

2m3

2 

(x1 - 1)

m

)1m(

2m3

Bài 10

Cho hàm số

1x

m8mxx

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -1

b Viết phương trình parabol qua điểm cực đại, cực tiểu của (C) và tiếp xúc đường thẳng 2x – y – 10 = 0

c Trong trường hợp tổng quát hãy xác định tất cả các giá trị của tham số m để điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số ở về 2 phía của đường thẳng:

=> 7 = 16a + 4b + c (1)

N( -2, - 5)  (P)

=> - 5 = 4a - 2b + c (2) Phương trình hoành độ giao điểm (P) vµ (d): y=2x – 10 lµ

ax2 + bx + c = 2x - 10

 ax2

+ (b - 2)x + c + 10 = 0 (d) tiếp xúc (P)

a0 (b - 2)2 - 4a(c+ 10) = 0 (1) (2) (3)

)1x(

8x2x

9x - 7y - 1 = 0

 t1.t2 < 0



2 2

79

1ys7xs

R R

79

1y7x9

i 11

Cho hàm số y = x3

– 3mx2 (m2 2m  3x  4

a Khảo sát và vẽ đồ thị C khi m  1

b Viết phương trình parabol đi qua điểm cực đại, cực tiểu của C và tiếp xúc đường thẳng y 2x  2

c Trong trường hợp tổng quát hãy xác định tất cả các tham số m để hàm

số đã cho có điểm cực đại, cực tiểu ở về 2 phía của tr c tung

Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu và 2 điểm này ở về 2 phía y’0y

 gx có 2 nghiệm x1,x2 sao cho x1  0  x2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m 2

2 Tìm để Cm c t tr c hoành tại 3 điểm phân biệt trong đó có đúng 2 điểm có hoành độ âm

 gx1  gx20

Vậy yCĐ fm  12m 1 m  2 3m

yCT  fm 12m 1m 2 3m

Yêu cầu bài toán

y’ có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 với x1 x2 và x1 0  yCĐ.yCT  0

m  0

 0  m 

3 2

là giá trị cần tìm

Kết:

Trên đây là một số kinh nghiệm bản thân tôi đã áp dụng và thấy có tác dụng tốt Rất mong được các thầy cơ và các đồng nghiệp góp ý, giúp đỡ để tôi đạt được kết quả tốt hơn Xin chân thành cảm ơn!