Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần l−ợt là các dây cung của hai đ−ờng tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đ−ờng sinh của h×nh trô.. TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh trô[r]
Trang 1Trường THPT Phan Đăng Lưu
– Môn thi: ! " Khối B, D
Thời gian l m b i: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (2 điểm) Cho h m số y = (1 x)3
1 Khảo sát v vẽ đồ thị h m số đ cho
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị h m số y = (1 x )3, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 5)
Câu II (2 điểm)
1 Giải hệ phương trình
2 Giải phương trình cos 3x+6 sinx=3, với ẩn x∈ℝ
Câu III (2 điểm)
1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong: y = x – x2 v y = x3– x
2 Cho a, b, c l ba số dương thỏa m n abc = 1 Chứng minh rằng
2 2 2
a +b +c ≥ a + b+ c
Câu IV (2 điểm)
1 Cho hình trụ có bán kính đáy v chiều cao bằng nhau Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB v CD lần lượt l các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC v AD không phải l đường sinh của hình trụ Biết diện tích của hình vuông ABCD l 100 m2 Tính diện tích xung quanh của hình trụ v cosin góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông v mặt phẳng đáy
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(0; 0; 2), B(0; 4; 0), C( 6; 0; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, song song với đường thẳng BC v khoảng cách giữa đường thẳng
BC v mặt phẳng (P) bằng 3 22
11
# ) * (2 điểm): Thí sinh chỉ được l#m một trong hai phần ( A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu Va (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình h nh ABCD, có giao điểm của AC v BD l I(2; 1) Các
điểm M( 1; 1), N(1; 0), P(3; 1), Q( 1; 2) lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2 Tìm số phức thỏa m n đồng thời hai điều kiện: 1 3
B Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình l xư 3yư =2 0 v hai điểm phân biệt A(1; 3), B không thuộc đường thẳng d Lập phương trình đường thẳng AB; Biết rằng khoảng cách từ điểm B đến giao điểm của đường thẳng AB v đường thẳng d bằng hai lần khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d
2 Giải bất phương trình logx(log2(4xư6) )≤1, với ẩn x l số thực
333333333333333333333333333333333333 Hết 33333333333333333333333333333333333333 Thí sinh không được sử dụng t#i liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2Trường THPT Phan Đăng Lưu
– Môn: ! " Khối B,D
H m số có tập xác định l ℝ; y’ = 3(1 – x)2; y'≤ ∀ ∈0, x ℝ; 'y = ⇔ =0 x 1 Do đó h m số nghịch biến trên ℝ 0 25
H m số không có cực trị; ;
x ư∞ 1 +∞
y’ 0
y
0.25
0.25
Gọi x0 l ho nh độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị số y = (1 x )3 , tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 5)
Nếu x0 > 0 thì phương trình tiếp tuyến đó l y = 3(1 – x0)2(x – x0) + (1 – x0)3 0.25 Vì tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0; 5) nên ta có 5 = 3(1 – x0)2( – x0) + (1 – x0)3 (1)
(1) ⇔ 2x03 – 3x02 – 4 = 0 ⇔ (x0 – 2)(2x02 + x0 + 2) = 0 ⇔x0 = 2 (thỏa m n x0 > 0) Vậy phương
trình tiếp tuyến với đồ thị h m số y = (1 x )3 tại điểm có ho ng độ dương l y = 3x + 5 0.25
Vì đồ thị h m số y = (1 x )3 đối xứng nhau qua trục tung v điểm A nằm trên trục tung nên tiếp tuyến có
Tại x0 = 0 h m số y = (1 x )3 không có đạo h m nên không có tiếp tuyến tại đó
Vậy phương trình tiếp tuyến thỏa m n b i toán l y = 3x + 5 v y = 3x + 5
(Nếu thí sinh không nêu được trường hợp x 0 = 0, thì vẫn cho điểm)
0.25
+∞
ư∞
Trang 3Câu II 2.0
1 Giải hệ phương trình
( )
( )
I
II
(HD: Để đưa phương trình (1) về PT tích như vậy TS có thể bi n ủ i thành hi u hai bỡnh phương
ho c thêm bớt rồi đặt nhân tử chung hoặc xem (1) l phương trình bậc hai theo x, giải x theo y rồi
phân tích th nh nhân tử ho c nhõn (2) v i 3 r i c ng v i (1) r i ủưa v nhõn t )
0.5
( )
I
1, 2
II
0.25
(1)⇔4 cos xư3cosx+3(2 sinxư = ⇔1) 0 cos (4 cosx xư +3) 3(2 s inx 1)ư =0 0.25
2
cos (1 4 sin ) 3(2 s inx 1) 0 1 2 sin cos 2 sin cos 3 0
cos 2 sin cos 3 0 ( )
⇔
0.25
2
5 2
2 6
( )b ⇔cosx+sin 2xư =3 0 Vì cosx ≤ 1 v sinx ≤ 1 nên PT (b) vô nghiệm
Vậy nghiệm của PT đ cho l
2 6
5 2 6
k
= +
∈
Ho nh độ giao điểm của hai đồ thị l nghiệm của PT x x2 = x3 x ⇔ x3 + x2 – 2x = 0 ⇔
0 1 2
x x x
=
=
= ư
0.25
1
3 2
2
2
ư
x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx
=
8 5 37
ư
37 12
Trang 42 2 2
a +b +c ≥ a+ b + c (1)
Ta có 12 12 2 2 ;c 12 12 2 2 ;a 12 12 2 2 b
a +b +c ≥ + + (2) 0.5 Tương tự cho a, b, c ta có a + b + c ≥ ab bc ca 1 1 1
+ + = + + (3) Từ (2) v (3) Ta có (1)
0.5
Gọi E l hình chiếu của B trên mặt đáy dưới suy ra DE l đường kính
(Vì DC⊥CB nên DC⊥CE)
Gọi bán kính đáy của hình trụ l r suy ra BE = r v DE = 2r Vì
ABCD l hình vuông có diện tích bằng 100m2 nên DC = CB = 10 m
0.25
Từ tam giác DCE vuông tại C v tam giác BCE vuông tại E suy ra
DE2– DC2 = BC2– BE2, suy ra 4r2– 100 = 100 – r2 Vậy r = 2 10 0.25
Vì EC⊥DC, BC⊥DC nên góc((EDC); (ABCD)) = góc(EC; BD) =
10 5
CE BCE
BC
Gọi d l đường thẳng đi qua A v song song với BC, suy ra PT đường thẳng d l
3 2 2
x t
y t z
=
=
=
v mp(P) chứa
đường thẳng d Do đó mp(P) đi qua điểm A v A’(3; 2; 2)
0.25
Gọi phương trình mặt phẳng (P) l Ax + By + Cz + D = 0 (ĐK A2 + B2+C2 > 0) Vì (P) đi qua A, A’ nên
+ =
0.25
, ( ) ( ; ( ))
11
+
Từ đó ta có hệ
Nếu B=0 thì A=0 v C=0 nên không thỏa m n điều kiện Do đó
B khác 0 vì vậy chọn B = 3 suya A = 2, C = 3, D = 6 hoặc A = 2, C = 225/13, D = 450/13 Vậy
phương trình mặt phẳng (P) l 2x – 3y – 3z + 6 = 0 hoặc 2x – 3y – (225/13)z + 450/13 = 0
(TS cú th gi i b ng cỏch g i PT mp (P) ủi qua A là …, r i gi i h n BC P =0và d(B, (P)) =3 22
11
)
0.25
Gọi M’ l điểm đối xứng của M qua I, suy ra M’(5; 1) v M’ thuộc đường thẳng CD Do đó phương trình
của đường thẳng CD l x – y – 4 = 0 Gọi Q’ l điểm đối xứng với Q qua I, suy ra Q’(5; 0) v Q’ thuộc
đường thẳng BC Do đó phương trình của đường thẳng BC l y = 0 Suy ra điểm C(4; 0)
0.5
Điểm A đối xứng với C qua I nên A(0; 2) Do đó phương trình của đường thẳng AB l x – y + 2 = 0 Do
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình l x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 (ĐK A2 + B2 C > 0)
0.25
A
B
C
D
E
F
Trang 5Vì đường tròn đi qua A, B, C nên ta có hệ
ư + + = = ư
Vậy phương trình đường tròn
cần tìm l x2 + y2 – 2x + 2y – 8 = 0
Gọi z = a + bi (a, b l số thực) Khi đó
2 2 2 2
1 1
a bi
a b
ư +
ư +
b
Vậy số phức c n tìm l z = 1 + i
0.5
Gọi M l giao điểm của đường thẳng AB v đường thẳng d, H l hình chiếu vuông góc của B trên d Vì BM = 2 BH nên góc giữa đường thẳng AB v đường thẳng d bằng 300 0.25
Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 3 ) nên PT đường thẳng AB: m (x 1) + n (y 3 ) = 0 (m2 + n2 > 0)
Vì góc giữa đt AB v đt d bằng 300 nên 0
2 2
3 cos 30 2
ư
= +
0.5
Giải
2 2
2 2
ư
= + được m = 0, n = 1 hoặc m = 3, n = 1
Vậy phương trình đường thẳng AB l y = 3 hoặc 3x y = 0
0.25
Điều kiện xác định của BPT l 0, 1 log 74 1
4x 6 1
x x
x
> ≠
⇔ > >
ư >
Khi đó logx(log2(4xư6) )≤ ⇔1 log2(4xư ≤ ⇔6) x 4xư ≤6 2x (*) 0.25
Đặt t = 2x, Bpt (*) trở th nh t2 – t – 6 ≤ 0 Giải được 2 ≤ t ≤ 3, hay 2 ≤ 2x ≤ 3 suy ra x ≤ log23 0.25 Kết hợp điều kiện xác định ta có nghiệm của Bpt l log47 < x ≤ log23 0.25
333333333333Hết333333333333