Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O.. 2 Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng.[r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010
Môn Thi: TOÁN – Khối A
ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số 2 4
1
x y
x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3;0) và N(–1; – 1)
Câu II: (2 điểm)
1) Giải phương trình: 4cos4x – cos2x 1cos 4 cos3
2
2) Giải phương trình: 3x.2x = 3x + 2x + 1
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: K =
2
0
1 sin
.
1 cos
x
Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh bên bằng 1 Các mặt
bên hợp với mặt phẳng đáy một góc α Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABC
Câu V: (1 điểm) Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng:
27a b c abc
II PHẦN RIÊNG: (3 điểm)
A Theo cương trình chuẩn:
Câu VI.a: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh là 5x – 2y + 6 = 0 và 4x + 7y – 21 = 0 Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O
2) Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng
và mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z = 0
Câu VII.a: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất hàm số y = 2 cos
sin (2 cos sin )
x
x x x với 0 < x ≤
3
B Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (D): x – 3y – 4 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 – 4y = 0 Tìm M thuộc (D) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm A(3;1)
2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d): 2 4
và hai điểm A(1;2; –1), B(7; –2;3) Tìm trên (d) những điểm M sao cho khoảng cách từ đó đến A và B là nhỏ nhất
Trang 2Hướng dẫn Câu I: 2) MN: x + 2y + 3 = 0 PT đường thẳng (d) MN có dạng: y = 2x + m
Gọi A, B (C) đối xứng nhau qua MN Hoành độ của A và B là nghiệm của PT:
2 4 2
1
x
x m
x 2x2 + mx + m + 4 = 0 ( x ≠ –1) (1) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt (1) có = m2 – 8m – 32 > 0
Ta có A(x1; 2x1 + m), B(x2; 2x2 + m) với x1, x2 là nghiệm của (1)
Trung điểm của AB là I 1 2
; 2
x x
x x m I ;
4 2
m m
( theo định lý Vi-et)
Ta có I MN m = –4, (1) 2x2 – 4x = 0 A(0; –4), B(2;0)
Câu II: 1) PT cos2x + cos3
4
x
= 2
3
4
x
3
x k
k m m
2) Nhận xét; x = 1 là các nghiệm của PT PT 3 2 1
x Dựa vào tính đơn điệu PT chỉ có các nghiệm x = 1
Câu III: Ta có
tan
x x
tan 2 2
2
x
x 2
x cos
= 2
e
Câu IV: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung điểm của BC
AMS Gọi I là tâm của mặt cầu nội tiếp hình chóp, I SO; N là hình chiếu của I trên SM, MI là phân giác của AMS
Ta có SO = OM tan = 3
6
a
tan ( Với a là độ dài của cạnh đáy)
Ta có SO2 + OM2 = SB2 – BM2
2
2
2 3
a
r = OI = OM.tan
2
=
2
tan 2
Vậy V =
3
3 2
4 tan
2
Câu V: Vì a + b + c = 2 nên độ dài mỗi cạnh nhỏ hơn 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho ba số dương: 1 – a, 1 – b, 1 – c
3 – (a + b + c) 3 (1 3 a)(1 b)(1 c) > 0 1 (1 )(1 )(1 ) 0
27
28
1 27
27
27
27
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2
3
Câu VI.a: 1) Giả sử AB: 5x – 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 A(0;3)
Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = 0 B(–4; –7)
A nằm trên Oy, vậy đường cao AO nằm trên trục Oy BC: y + 7 = 0
Trang 32) Gọi A(a; 0; 0) Ox
( ; ( ))
3
2
( ; )
3
d A d
d(A; (P)) = d(A; d)
2
2
a a Vậy có một điểm A(3; 0; 0)
Câu VII.a: Vì cosx ≠ 0 nên chia tử và mẫu của hàm số cho cos3x ta được: y =
2
1 tan
x
Đặt t = tanx t (0; 3] Khảo sát hàm số y =
2
2 3
1 2
t
t t trên nửa khoảng 0;
3
y’ =
2 3 2
t t ; y’ = 0 0
1
x x
Từ BBT giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi x =
4
Câu VI.b: 1) M (D) M(3b+4; b) N(2 – 3b; 2 – b)
N (C) (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 0 6
5
b ; b
Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc 38 6 8 4
M ; , N ;
2) Ta có (6; 4; 4)
AB AB//(d) Gọi H là hình chiếu của A trên (d) Gọi (P) là mặt phẳng qua A và (P) (d) (P): 3x – 2y + 2z + 3 = 0
H = (d) (P) H(–1;2;2) Gọi A là điểm đối xứng của A qua (d) H là trung điểm của AA A(–3;2;5) Ta có A, A, B, (d) cùng nằm trong một mặt phẳng
Gọi M = AB(d) Lập phương trình đường thẳng AB M(2;0;4)
Câu VII.b: Gọi β = r( cos + isin) β3 = r3( cos3 + isin3)
Ta có: r3( cos3 + isin3) = 3 cos2 sin2
3 3 2
3
r
k
3 3
r
k