Giáo án Giải tích 12 - Tuần 3: Cực trị hàm số đa thức

Viết phương trình đường cong đi qua các điểm CĐ và CT của đồ thị hàm số: - Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu có 3 cực trị.. Từ đó suy ra các điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn ph[r]

Tuần 3

(Từ ngày 21/9/2009 đến ngày 26/9/2009)

cực trị hàm số đa thức

A Kiến thức cơ bản

1 Điều kiện cần: Hàm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm tại điểm x0 và đạt cực trị tại điểm x0 thì f’(x0) = 0

2 Điều kiện đủ: Nếu hàm số f(x) liên tục trên một lân cận của điểm x0 và đổi dấu khi x đi qua x0 thì f(x) đạt cực trị tại x0

3 Quy tắc 1: Lập bảng biến thiên

4 Quy tắc 2: Sử dụng đạo hàm cấp 2

B Các dạng toán thường gặp.

I Dạng I: Tìm cực trị của hàm số đa thức

* Kĩ năng tính nhanh cực trị của hàm số y f x( )ax3 bx2 cx d a ;( 0)

- Nếu hàm số đạt cực trị tại các điểm x1;x2 thì ta có f’(x1) = f’(x2) = 0 nên ta chia

đa thức f(x) cho f’(x) ta được y = f’(x).q(x) + r(x) Từ đó suy ra giá trị cực trị

1 Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:

a y x 33x2 9x5 b y x 4 8x3 22x2 24x10

c y x 4 2x2 1 d y   x3 3x2 1

e y x 33x2 4x2 f 1 4 2 3

y  x x 

2 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a y 2x   3 x2 4x5 b y  x2  x 1 x2  x 1

2

3 1

x y

x





1 1

x y





 

e y  1 3x5 x2 2 f y3x 10x2

II Dạng II: Điều kiện để hàm số có cực trị

* Cho hàm số y f x( )ax3 bx2 cx d a ;( 0), ta có:

2

'( ) 3 2

f x  ax  bx c

a Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi f’(x) không đổi dấu:

+/ a = b = 0 và c khác 0

+/ 0

0

a



 



b Hàm số có đúng một cực trị: f’(x)= 0 có nghiệm duy nhất: a = 0 và b khác 0

c Hàm số có hai cực trị (có CĐ và CT): f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt

d Hàm số có CĐ và CT với các hoành độ thỏa mãn điều kiện K:

- Điều kiện để hàm số có CĐ và CT: f’(x) = 0 có hai nghiệm x1; x2 phân biệt

- Vận dụng định lí Viet và kiểm tra điều kiện K

e Hàm số có CĐ và CT trong khoảng I: Phương trình f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt trong khoảng I

f Hàm số có CĐ (hoặc CT) trong khoảng I: Lập BBT để suy ra các điểm cực trị

Điều kiện để hàm số có CĐ (hoặc CT) trong khoảng I là xCĐ (hoặc xCT) thuộc I

g Hàm số có CĐ và CT thỏa mãn xCĐ < xCT khi a > 0 và  0

Hàm số có CĐ và CT thỏa mãn xCĐ > xCT khi a < 0 và  0

h Hàm số đạt CĐ (hoặc CT) tại điểm x0: 0

0

'( ) 0

"( ) 0;( "( ) 0)

f x







y  f x  mx  m x  m x

a Hàm số có cực trị

b Hàm số đạt CĐ và CT tại x1; x2 thỏa mãn x1+ 2x2 = 1

c Hàm số đạt CĐ và CT tại các điểm có hoành độ dương

d Hàm số đạt CĐ và CT thỏa mãn xCĐ < xCT

e Hàm số đạt CĐ tại điểm x0 = 0

2 Cho hàm số y  f x( )x3 3mx2 3(m2 1)x m 33m

Cmr với mọi m hàm số đã cho luôn có CĐ và CT; đồng thời khi m thay đổi thì các điểm CĐ, CT luôn chạy trên hai đường thẳng phân biệt

Hướng dẫn:

- Chứng minh phương trình f’(x) = 0 luôn có hai nghiệm pb

- Tìm y1 = f(x1) và y2 = f(x2) sau đó rút gọn m để tìm quỹ tích

( ) (cos 3sin ) 8(cos 2 1) 1 3

y f x  x  a a x  a x

a Cmr hàm số đã cho luôn có CĐ, CT

b Giả sử hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 và x2 Cmr: 2 2

x x 

4 Cho hàm số y f x( )x3 2(cosasin )a x2 sin 2a x 1

a Tìm a để hàm số có cực trị

b Giả sử hàm số đạt cực trị tại các điểm x1 và x2 Tìm a để: 2 2

x x x x

5 Cho hàm số y  f x( )x4 8mx3 3(1 2 ) m x24 Tìm m để:

a Hàm số có cực đại và cực tiểu với tổng bình phương các hoành độ bằng 27

b Hàm số có CĐ, CT với các hoành độ không âm

c Hàm số chỉ có CT mà không có CĐ

Hướng dẫn:

2

0

x







a Hàm số có CĐ và CT (có 3 cực trị) khi f’(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt Điều kiện là g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình g(x) = 0 thì điều kiện bài toán là:

2 2

5

6

x x       m m

b Hàm số có CĐ, CT với các hoành độ không âm khi g(x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt ĐS: 1 1 7



  

c Hàm số chỉ có CT mà không có CĐ khi:

+/ g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0:

g

 



  



6 Cho hàm số y f x( )x42mx2 2m m 4 Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm CĐ và CT là các đỉnh của một tam giác đều

Hướng dẫn:

- Hàm số có CĐ, CT khi f’(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt ( m > 0)

- Khi đó ta có các điểm cực trị là:

- Điều kiện để tam giác ABC đều là:

AB AC

AB BC





7 Cho hàm số y  f x( )x4 mx3mx2 mx1

Chứng minh rằng với mọi m hàm số không thể đồng thời có CĐ và CT

Hướng dẫn:

- Ta có

3 2

4 '( ) 0 ( )

x

x x



 

- Số nghiệm của phương trình f’(x) = 0 là số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = g(x)

- Ta có: nên hàm số y = g(x) luôn nghịch

biến Suy ra phương trình g(x) = m có đúng một nghiệm, tức là f’(x) = 0 có đúng một nghiệm Vậy, hàm số không thể đồng thời có CĐ và CT

8 Cho hàm số y  f x( )x4 6x2 4x6 Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có 3

điểm cực trị và gốc tọa độ O là trọng tâm tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị đó

Hướng dẫn:

- Ta có: f x'( ) 4 x312x4

- Nhận xét: f’(-2) = - 4; f’(-1) = 12; f’(1) = - 4; f’(2) = 12 Từ đó suy ra phương trình f’(x) = 0 luôn có ba nghiệm phân biệt với mọi m Vậy đồ thị hàm số luôn có

ba điểm cực trị với mọi m

- Giả sử các điểm cực trị là A x y B x y C x y( ; ); ( ; ); ( ; )1 1 2 2 3 3 thì ta có:

+/ x1x2 x3 0

2

3 0 2( 3) 0 6 0

x x x x x x x x x x x x

       Suy ra O(0; 0) là trọng tâm tam giác ABC

III Dạng III: Đường thẳng (đường cong) đi qua các điểm cực trị.

* Bài toán 1: Cho hàm số y f x( )ax3bx2 cx d Viết phương trình

đường thẳng đi qua các điểm CĐ và CT của đồ thị hàm số:

- Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu

- Giả sử A x y B x y( ; ); ( ; )1 1 2 2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số Khi đó

ta có f x'( )1  f x'( ) 02  (*)

- Chia y cho y’ ta được: y f x q x'( ) ( ) r x( ) Do điều kiện (*) nên ta có: y1 r x y( );1 2 r x( )2 Từ đó suy ra các điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn phương trình đường thẳng y r x ( )

* Bài toán 2: Cho hàm số y f x( )ax4 bx3cx2 dx e Viết phương trình

đường cong đi qua các điểm CĐ và CT của đồ thị hàm số:

- Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu (có 3 cực trị)

- Giả sử A x y( ; )0 0 là điểm cực trị của đồ thị hàm số Khi đó f x'( ) 00  (*)

- Chia y cho y’ ta được: y  f x q x'( ) ( ) r x( ) Do điều kiện (*) nên ta có:

Từ đó suy ra các điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn phương trình đường

y r x

cong y r x ( )

1 Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị các hàm số sau:

a y x 3x2 94x95

b y x 33x2 6x8

2 Tìm tham số m để đồ thị các hàm số sau có CĐ, CT và viết phương trình đường thẳng

đi qua các điểm cực trị:

a y x 33(m1)x2 2(m2 7m2)x2 (m m2)

b y 3x3 3(m3)x2  11 3m

c y x 3mx27x3

d y x 33(m1)x2 (2m2 3m2)x m m ( 1)

e y 2x33(3m1)x2 12(m2 m x) 1

3 Cho hàm số y  f x( )x3 3mx2 4m3 Tìm m để các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm

số đối xứng nhau qua đường thẳng ( ) : y x 

Hướng dẫn:

- Ta có: y' 3 x26mx và 1 2 3.

m

y  x  y m x m

- Điều kiện để hàm số có CĐ, CT là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt  m 0

- Giả sử A x y B x y( ; ); ( ; )1 1 2 2 là các điểm cực trị Ta có:

x x  m x x  y   m x  m y   m x  m

Suy ra phương trình đường thẳng AB là: y  2m x2 4m3

- Gọi I là trung điểm đoạn AB Khi đó, điều kiện để A và B đối xứng nhau qua đường thẳng ( ) : y x  là:

2

2 2

m AB

m

I

 

4 Cho hàm số y x 33x2m x m2  Xác định m để các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm

số đối xứng nhau qua đường thẳng ( ) : x2y 5 0

5 Cho hàm số 3 3 2 Xác định m để các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số

2

y x  mx m

nằm về hai phía của đường thẳng ( ) : x y 0

6 Cho hàm số y mx 33mx2 (2m1)x 3 m Xác định m để hàm số có CĐ, CT Cmr đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định

7 Chứng minh đồ thị các hàm số sau có ba điểm cực trị cùng nằm trên một Parabol:

a y x 4 x35x2 1

b 1 4 3 2

4

y  x x  x  x

c y x 4 6x2 4x6

8 Cho hàm số y x 4 (m1)x2 1

a Tìm m để hàm số có CĐ, CT

b Xác định phương trình đường cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số

9 Cho hàm số 1 4 3 3 2

a Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị

b Xác định phương trình đường cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số