Bài giảng chuyên đề : Bài toán liệt kê; Cấu trúc dữ liệu và giải thuật; Quy hoạch động; Lý thuyết đồ thị

Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3 Dạng tìm môđun của số phức... Yêu cầu bài toán tỏa mãn khi và chỉ khi: .[r]

SỐ PHỨC

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Khái niệm số phức

Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i2 = -1 được gọi là số phức

a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo

Tập hợp số phức được kí hiệu là C

Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên RC

Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo

2 Biểu diễn hình học

Số phức z = a + bi a b R,   được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi u  a b, trong mp(Oxy) (mặt phẳng phức)

3 Hai số phức bằng nhau

'

'

a a

b b





4 Cộng và trừ hai số phức

 a bi a b i' '   a a '  b b i'

 a bi a b i' '   a a '  b b i'

 Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi

5 Nhân hai số phức

 a bi   a b i' '   aa bb' '  ab ba i' '

 k a bi  ka kbi k R   

6 Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi 

z z

z z  z z

z z z z

 

 

.

z z a b

z là số thực  z z

z là số ảo   z z

7 Modul của số phức

Cho số phức z = a + bi

z  a b  z z  OM

y b

a

M (a,b)

Trục thực

Trục ảo

' '

z z  z z

z z

z  z

z  z  z z  z z

8 Chia hai số phức

2

1

0

z

 ' ' 1 ' '

2

.

.

z z



9 Căn bậc hai của số phức

 z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi 2 x2 2

w

2

z

xy b





 w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0

 w 0  có đúng hai căn bậc hai đối nhau

 Hai căn bậc hai của a > 0 là  a

 Hai căn bậc hai của a < 0 là  a i

10 Phương trình bậc hai

(A, B, C là các số phức cho trước,

 

Công thức nghiệm giống phương trình bậc 2 trên tập số thực

Nếu z0C là một nghiệm của (*) thì cũng là nghiệm của (*)z0

11 Dạng lượng giác của số phức

 z r cos  isin r0 là dạng lượng giác của số phức z = a + bi

0

sin

a

r b r















  là một acgumen của z, Ox OM, 

 z   1 z cos isin 

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI

Dạng tìm phần thực, phần ảo của một số phức

Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức i + (2 – 4i) – (3 – 2i)

Giải:

Ta có: i + (2 – 4i) – (3 – 2i) = ( 0 + 2) + (1- 4)i + (-3 + 2i) = (2 – 3) + (-3 + 2)i = -1 – i

Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – 1

Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của số phức    3 3

1 i 2i

Giải:

Ta có:        

 

1 i 2i 2 10i

Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10.

Bài 3: (A10) Tìm phần ảo của số phức z, biết   2 

z i  i

Giải:

Ta có: z 1 2 2 1i  2i 5 2i  z 5 2i

Phần ảo của số phức z bằng:  2.

Bài 4: (CD10) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện      2 Tìm phần

2 3  i z  4 i z   1 3i

thực và phần ảo của z

Giải:

Gọi z = a + bi a R b R ,   Đẳng thức đã cho trở thành 6a  4b - 2(a  b)i  8 - 6i

Vậy số phức z đã cho có phần thực là -2, phần ảo là 5

Bài 5: (CDA09) Cho số phức z thỏa mãn   2    Tìm phần thực và

1 i 2 i z    8 i 1 2i z

phần ảo của z

Ta có:   2   

1 i 2 i z    8 i 1 2i z

      

8 1 2 

8

2 3

i

i





Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3

Dạng tìm môđun của số phức

Bài 1: (A10) Cho số phức z thỏa mãn  3 Tìm môđun của số phức

1

i z

i





Giải:

Ta có:  3

1  3i   8

1

i





Vậy z iz 8 2

Dạng tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: (D10) Tìm số phức z thỏa mãn: z  2 và là số thuần ảo.z2

Giải:

Gọi z = a + bi a R b R ,  , ta có: z a2b2 và z2 a2b22abi

Yêu cầu bài toán tỏa mãn khi và chỉ khi:

1

b

Vậy các số phức cần tìm là: 1 + i; 1 – i; -1 + i; -1 – i

Bài 2: (B09) Tìm số phức z thỏa mãn: z 2 i  10 và z z  25

Giải:

Gọi z = a + bi a R b R ,  ,

Ta có: z  2 i a  2 b 1 ;i

Từ giả thiết ta có: z 2 i  10   2 2  

và z z  25 a2b2 25  2

Giải hệ (1) và (2) ta được 3 5



Vậy các số phức cần tìm là: z  3 4i hoặc z 5

Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z2 z 0

Giải:

Gọi z = x + yi x R y R ,  , khi đó

 2

z   z x yi  x y 

x2y2 x2y22xyi0

2 2 2 2 0

xy



 





2

2

0

0 0 0

x

y

x x

  

  









   



0

0

x

y

 











0 0 1 0

x y y y

 









 













Vậy các số phức cần tìm là: z0;z i z ;  i

Giải phương trình trên tập hợp các số phức

Bài 1: (CD10) Giải phương trình z2 1 i z   6 3i 0 trên tập hợp các số phức

Giải:

Phương trình có biệt thức  2  

1 i 4 6 3i 24 10i

1 5i

 

Phương trình có hai nghiệm là: z  1 2i và z 3 i

Bài 2: (A09) Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình z1 z2 z22z10 0 Tính giá trị của biểu thức A z 2 z 2

Ta có:  224.10  36 36i2

Phương trình có hai nghiệm là: z1  1 3i và z2   1 3 i

và

 2 2

Vậy A z12 z2 2  20

Bài 3: (CDA09) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: 4z 3 7i z 2i

z i



Giải:

Điều kiện: z 1

Phương trình đã cho tương đương với z2 4 3i z   1 7i 0

Phương trình có biệt thức  2  

4 3i 4 1 7i 3 4i

2 i

Phương trình có hai nghiệm là: z  1 2i và z  3 i

Dạng tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức (Quỹ tích)

Bài 1: (D09) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả

mãn điều kiện z 3 4i  2

Giải:

Gọi z = x + yi x R y R ,  , ta có: z  3 4i x 3 y4i

Từ giả thiết ta có:   2 2   2 2

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, -4), bán kính R = 2

Bài 2: (B10) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa

mãn: z i  1 i z

Giải:

Gọi z = x + yi x R y R ,  , ta có:

1 

z i  i z  x y 1i  x y   x y i 

2   2  2 2

1

 x2y2 2y 1 0

2  2

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0, -1), bán kính R = 2