DẠY HỌC TRÒ QUA MỘT BÀI TOÁN THI GIÁO VIÊN GIỎI Nguyễn Tiến Minh Giáo viên THPT Hồng lam – Hà Tĩnh Có nhiều cách để từ một bất đẳng thức đơn giản ta đi đến một bất đẳng thức tổng quát h[r]
Trang 1DẠY HỌC TRÒ QUA MỘT BÀI TOÁN THI GIÁO VIÊN GIỎI
Nguyễn Tiến Minh
( Giáo viên THPT Hồng lam – Hà Tĩnh)
Có nhiều cách để từ một bất đẳng thức đơn giản ta đi đến một bất đẳng thức tổng quát hơn từ đó thu được nhiều kết quả đồng thời đi đến những bài toán mở khá thú vị Đó là nội dung tôi muốn trình bày trong bài viết này thông qua một chuổi các bài toán sau đây
Trong kỳ thi giáo viên giỏi Hà Tĩnh năm 2011-2012 có bài toán sau đây:
Bài toán 1. Cho 3 số dương có a + b +c =1 Chứng minh Bất đẳng thức sau đây :
81
1
2 2
2 b c
a
abc
Ta dễ thấy ( theo bất đẳng thức co-si)
27
1
abc
Nên không thể suy ra bất đẳng thức (1) Do tính ngược chiều của 2 bất
3
1 ) (
3
2
2
2 b c abc
a
đánh giá ở trên Đây củng là một sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán về chứng minh bất đẳng thức
Bài toán trở thành không dễ dàng Khi chưa tìm được cách giải ngay ta nên đưa bài toán về trường hợp
đặc biệt bằng cách giảm số biến của bài toán.
Ta đi đến xét:
Bài toán 2 Cho a và b là 2 số dương thay đổi thoã mãn: a b 1 Chứng minh bất đẳng thức:
.(2)
8
ab a b
4
xy x y
2
ab a b abab ab ab ab 2
ab ab
Dấu “ = ” xẩy ra 1
2
x y
Ta sẽ tìm cách giải bài toán 1 bằng cách đưa về bài toán 2 đơn giản hơn cho 2 biến dương a và b tuỳ ý bằng cách đặt a b M 0 a b 1 Từ đó từ bài toán 1 thay a và b lần lượt bởi ta sẽ
M
a v M
thu đươc bất đẳng thức : 2 2 1 4 (*)
8
ab a b M
Bây giờ ta giải bài toán 1 Ta có P abc a ( 2b2c2)c ab a ( 2b2)c ab a3 ( 2b2)
( sử dụng bất
4 2
(1 ) (3 2 1) (1 )(3 3 )(3 2 1)
đẳng thức Co si cho 3 số dương ) dấu “ = ” a = b = c = 1/3 Như vậy bất đẳng thức (2) là đúng
Bài toán 1 có thể giải bằng trực tiếp bằng phương pháp dồn biến trực tiếp.Song con đường đi từ bài toán
1 sẽ tự nhiên hơn Từ kết quả của 2 bài toán trên ta hy vọng rằng bài toán tổng quát sẽ đúng Ta đi đến
giải bài toán tổng quát sau với n biến dương Tức là ta phải giải bài toán sau:
Bài toán 3.
Trang 2“ Cho n số dương x x1, , :2 x x n 1x2 x n 1.Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
”
1 2 1 2 1
P x x x x x x
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n : P 1n 1 (3)
n
Thật vậy với n = 2 do kết quả bài toán 1 nên bất đẳng thức (3) đúng
Giả sử ( 3 ) đúng với n = k.: T sẽ chứng minh bất đẳng thức ( 3 ) đúng cho n+1 số dương mà
Thật vậy ta có Nên theo giả thiết quy nạp
1 2 n n 1 1
n
x
x x x
ta có:
(** ) Khi đó ta có:
2 2
1
n
P x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
( ta gọi x = x n1) 2 3 ( theo giả thiết quy nạp ( ** ) và theo bất đẳng thức Co si )
1
1
1
n n
= Tức là bất đẳng
1
1
n n
1 (n1)n
thức (3 ) đúng với n +1 Từ đó theo nguyên lý quy nạp ( 3 ) đúng với n 2
Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi x1 x2 x n x n 1 1. Như vậy giá trị lớn nhất của P là
n
Bài toán 3 đã được giải quyết
2
1
(n1)n
Bây giờ với n số dương tuỳ ý ta đặt 1 2
n
x
x x
Từ bài toán 3 ta thay x x1, 2 x n lần lượt bởi x1 , x2 , x n ta thu được bất đẳng thức tổng quát ở bài
toán 4 sau Đây là một bất đẳng thức rất đẹp mà con đường đi đến lại là bất đẳng thức đơn giản đó là bất đẳng thức ( 1 )
Bài toán 4.
Cho n số thực dương ( n2) x x1, 2 x n thoã mãn: x1 x2 x n 1 ta có bất đẳng thức sau đây:
1 2 n 1 2 n
1
n n n
n
Con đường tổng quát bài toán (1) chưa phải là kết thúc Bây giờ ta mở rộng trên tập hợp các số mũ nguyên dương của các biến trong bài toán Để dùng phép quy nạp có thể áp dụng được hay không theo kiểu ở trên ta phải lần lượt xét:
Bài toán 5. Hãy tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) P3 ab a 3b3Với a, b là 2 số dương thoã mãn a +b = 1
Trang 3Để bài viết không quá dài trường hợp a) của bài toán xin dành cho bạn đọc tự giải bằng cách tương tự như giải bài toán 1
Ở đó ta sẽ thu được kết quả là : max 3 3 3 =
2
P ab a b
( ; ) (3 3); (3 3)
1
( ; ) (3 3);( (3 6)
x y
x y
Điều nhận thấy ở bài toán 5a) là mặc dù vai trò a,b trong bài toán là bình đẳng nhưng dấu “ = “ ở kết luận của bất đẳng thức thu được lại là các cặp ( a; b ) đối xứng mà không xẩy ra khi 2 biến bằng nhau do
đó để giải bài toán 5b) khó lòng đưa về trường hợp 2 biến Sau đây Tôi sẽ đưa ra một lời giải cho bài toán 5b)
Do a +b + c =1 nên trong 3 số a; b; c luôn có :hoặc là có 2 số không nhỏ hơn 1/3 và một số không lớn hơn 1/3 hoặc là có 2 số không lớn hơn 1/3 và một số không nhỏ hơn 1/3 tức là ta luôn có:
(**) Dấu “ = “ (a; b ; c ) = ( 1/3; 1/6; 1/2 ) và các
a b c ab bc ac abc
hoán vị của nó
Từ hằng đẳng thức quen thuộc: a3 b3 c3 3abc(a b c a )( 2b2 c2 ab bc ac )
3abc + = 3abc +1 - 3 (ab+bc+ac)
a3 b3 c3 (a b c )23(ab bc ac )
( do (**) )
Theo bất đẳng thức (**) ta có 3 3 3 3
P abc a b c
Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi (a; b ; c ) = (
2
1/3; 1/6; 1/2 ) và các hoán vị của nó Tóm lại ta đã giải quyết xong 2 trường hợp của bài toán 5
Bài toán mở 6 Gọi k 1 2 ( 1k 2k )1k với n và là số tự nhiên ; Trong đó:
Thì giá trị lớn nhất của bằng bao nhiêu ?
i
n
k n
P
Rõ ràng bài toán chỉ mới giải quyết được khi ( k; n ) = ( 2; n ) ; ( 2;3 ) và ( 3;3 )
Theo dõi kết quả của các bài toán 5a) và 5b) ta thấy rằng bài toán tổng quát 6 không thể giải quyết được bằng con đường quy nạp như ở chuổi các bài toán đi từ bài toán 2 đến bài toán 5 Chính vì vậy bài toán 6 (và bài toán 7) sau đây vẫn là câu hỏi chưa có câu trả lời
Bài toán mở 7. n là số tự nhiên ( n lớn hơn hoặc bằng 2 ) và r là một số thực tuỳ ý Với n số dương thay đổi thoã mãn:
i
n
Gọi r 1 2 1r 2r r Thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức là bao nhiêu ?
P x x x x x x
Bài toán 6 và bài toán 7 là 2 bài toán mở mà chính tác giả bài viết này rất mong bạn đọc quan tâm và
trao đổi.
Cuối cùng mời các bạn giải các bài tập sau như là những kết quả vận dụng thú vị thu nhận và rút ra được ở bài viết này Nếu không biết nguồn gốc các chuỗi bất đẳng thức trên thì việc tìm ra lời giải của
nó hoàn toàn không phải dễ dàng
Bài tập 1 Với 2 số dương x và y chứng minh : 5 3 3
x y xy x y
Trang 4Bài tập 2 Với 3 số dương x, y, z Chứng minh : 6 3 3 3
216
x y z xyz x y z
Bài tập 3 Cho 3 số dương x; y; z thoã mãn :x 2y 3z1 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
P xyz x ( 22y23 )z2
Bài tập 4 tìm tất cả các nghiệm dương của phương trình sau: 5 2
x x x
( Nguyễn Tiến Minh Hồng Lĩnh mùa giáp hạt 2011 )
Trang 5
5