Những kết quả nhận được từ một bài toán quen thuộc

Cuộc hành trình của bài toán trên với dụng ý : Nếu với bạn các quá trình suy luận trên là đơn giản thì cũng còn bao việc phải tiếp tục suy nghĩ đó là: 1.. Từ bài toán 2 cùng với cách chu[r]

Những kết quả nhận được từ một bài toán quen thuộc

-*** -I Đặt vấn đề

Dạy cho học sinh bài tập này rồi đến bài tập khác nếu chỉ chú ý đến số lượng mà thiếu dạy tư duy thì nhiều khi vô íc Đành rằng muốn có học sinh giỏi thì Thầy phải đọc nhiều,làm nhiều, trang bị nhiều kiến thức kỹ năng cho học sinh.Trong khi trò ( thậm chí cả Thầy ) chưa tìm được lời giải của một bài toán thì việc hướng dẫn cho trò nghiên cứu lời giải thông qua tài liệu là điều cần làm Điều đó sẽ có ý nghĩa khi chúng ta hiểu đựơc các khâu “ chốt ” có tính quyết định của lời giải Kèm theo đó là phải có thái độ nhận xét , phê phán hoặc không thoã mãn những điều còn hạn chế theo nhiều nghĩa : ví dụ như lời giải còn chưa được tự nhiên, hoặc chưa có tính tổng quát, vv Để rồi từ đó tìm cách khắc phục, hoặc tìm ra lời giải tốt hơn đi đến những bài toán tổng quát hơn Sau đây là những ví dụ nhằm minh hoạ cho các ý tưởng trên nhằm góp phần rền luyện năng lực giải toán cho hoc sinh

II Các ví dụ.

Bài toán sau đây bạn đã từng gặp với nhiều cách giải :

Bài toán A Cho 3 số thực a, b , c thoã mãn: Chứng minh P=

















3

2 , , 0

c b a

c b

c b

Truớc hết chúng ta xét một lời giải sau của bài toán 1

Lời giải1.

Do vai trò bình đẳng như nhau của a, b, c nên ta có thể giả sử: abc Từ đó ta có :

(1) 2 1

3

3abc a a

) 0 (

2 2 2 2 2



9 6

2 2  



P a a 2a2 6a952(a2 3a2)5

Dễ thấy dấu “ = ‘’ trong bài toán 1 xẩy ra khi và chỉ khi ( a; b; c ) = ( 2;1; 0 ) ( có một số bằng

2, một số bằng 1 và một số bằng 0 ) Rõ ràng lời giải rất ngắn gọn! Đọc kỹ lời giải ta rút được một

số nhận xét sau

Nhận xét 1 : - Khâu chốt quyết định ở lời giải 1 là:

2) Sử dụng tính bình đẳng của các biến

1) đưa ra được đánh giá : b2 c2 bc2(*)

dấu ‘ = ‘’ ở (*) 











0

0

c b

3) Với b và c không bằng 0 lúc đó (*) không xây ra đẳng thức hay nói cách khác lời giải bài toán

sẽ ra sao? ta xét bài toán 2 sau đây.

Bài toán 2 Cho 3 số thực x, y , z thoã mãn: Chứng minh

















12

5

;

; 3

z y x

z y x

P = x2 y2 z2 50

Ta sẽ tìm cách đưa về giả thiết trên đoạn có cận trái là 0 để sủ dụng (*) với lời giải sau đây

Lời giải: Đặt: Do 3 x , y , z và a+ b + c = 3 Theo bài





















 3 3 3

z c

y b

x a

 5 0a;b;c2

toán 1 ta sẽ có:

2

2

2 b c   x  y  z  x  y z  x yz  

a

Dễ thấy dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ( x; y ; z ) = ( 5;4;3 ) ( có một

50 2 2

số bằng 5, một số bằng 4 và một số bằng 3 )

Nhận xét 2 Theo dõi qua trình giải các bài toán trên ta thấy rằng bất đẳng thức tổng quát cho sự

mở rộng (*) là: x k a1k a2k  a n k xa1 a2  a nkx0;a i 0.(kN;)

Dấu “ = ”  (**)



















0

0 3

i

a a

a

a

Bất đẳng thức này có thể chứng minh dễ dàng Từ đó ta có thể đề xuát bài toán tổng quát sau:

Bài toán tổng quát I 1

Cho n+1 số x;a1;a2; a n ( n> 2) thoã mãn: > a> 0

ã

 





































a n

b a b

b a a a x

n i a a

x

n i

1

)

; 1 (

; 0

;

2 1

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x k a1k a2k  a n k với k là số tự nhiên ; k 2

 Ta có quyền giả sử x =        n a

b x x n b x x x

1 )

1 ( .

2 1

 Sử dụng bất đẳng thức trên ta có k  k Xét hàm

x b x

x b x x

Ta có f/(x) kx k1 (bx)k1 f x  x b x b  0;a ( do đkiện của

2 0

2 2 ) (

 bài toán) Từ đó có bảng biến thiên hàm số f (x) như sau:

n

b b n

b n

b

k k













































(

1

;

1 1   







n

b b a n

b

x xa; a2 a3  a n 0 a1 

thoã mãn

1

1    





n

b a b a

n

b

b

P = B  xa;a1 ba Vậy MaxP = Max ; A B

(bài toán 1 là trường hợp đặc biệt khi n = 2 a= 2; b = 3 Max P = 22 15)

x a

1



n

b

2

b

- + )

( / x

f (x)

Nhận xét 3: Trong bài toán tổng quát I1 ta đâ giới hạn đkiện:

1 a

n

b a







Điều kiện “ kép” này thực chất là để đảm bảo cho các số x và a1 0;a Vậy thì khi đièu kiện

này không thoã mãn tức là khi thì bài toán tổng quát tìm Max P sẽ như thế nào? Tất nhiên khi

đó bất đẳng thức mở rộng (**) không còn hiệu lực nữa.Ta bắt đầu :

Cho các số x; a1;a2; a n 0;a thoã mãn: xa1a2  a n b Giá trị lớn nhất của P =

bằng bao nhiêu trong các trường hợp sau:

k n k

k

x  1  2  

Trường hợp 1:

1 a

n b 

 (Câu trả lời quá đơn giản Bài toán đặt ra lúc này là vô nghĩa.)

1 b a

n

b  



Trường hợp 3 b2a

Ví dụ bài toán cụ thể sau :

Bài toán 3.

Cho 3 số t; m; n thoã mãn:

Gía trị lớn nhất của P bằng bao nhiêu?

 















5

2

;

0

;

;

h

m

t

h

m

h m



( ở đây a=2;b=5; n =2; 3 )

3

5

n

b    

 Như trên ta đã nói bất đẳng thức đã sử dụng (**) không còn hiệu lực

Vậy lời giải bài toán tổng quát cho trường hợp này ra sao? (ta tạm gọi là bài toán I2.sau đây) Để bài viết quá dài tôi xin tạm thời dừng lại bài toán này ở đây và xin hẹn gặp lại trong bài viết khác

Cuộc hành trình của bài toán trên với dụng ý : Nếu với bạn các quá trình suy luận trên là đơn

giản thì cũng còn bao việc phải tiếp tục suy nghĩ đó là:

1) Bạn hãy giải bài toán 3

2) Hãy giải bài toán tổng quát trên nhằm khắc phục một “ lỗ hổng” khi hoặc

1 b a

n

b  



cụ thể là:

2a

b

Bài toán I2.

“ Cho n+1 số x, a1,a , 2 a nthoã mãn:

 



































1

2

; 0

; 2 1

a b n

b

a b a a

a x

a a

x

n i

Hãy tìm giá trị lớn nhất của P x k a1k a2k  a n k(kN;k 2)

3 ) Từ bài toán 2 cùng với cách chuyển về bài toán 1 rồi đưa đến bài toán tổng quát I1 ( còn một

“ lỗ hổng” ) bạn hãy thay giảthiết  0;a trong bài toán I1 bằng giả thiết ;( 0)với “ lỗ hổng” trên để có bài toán tổng quát hơn bài toán I1 Hơn thế nữa nếu bạn khắc phục được cả 2

điều ấy thì đã đi đến điều mà bài viết này mong đợi Bạn hãy đề xuát bài toán tổng quát cuối cùng cho bài toán 1 và tiếp tục giải nó biết đâu từ đó lại thu được những điều mới lạ!

4) Với giả thiết của các bài toán trên nhưng nếu thay P bằng các biểu thức khác mà các biến có vai trò bình đẳng thì ta sẽ được lớp các bài toán tương tự nhưng đầy tính sáng tạo khi giải nó

Bài toán B.

Cho 2 phương trình:

x c

bx

Lời giải:

Thật vậy giả sử (*) có nghiệm tức là tồn tại 2 0 0 Suy ra:

0

0 :ax bx c x

2 0 0

2 0 0

2

nghiệm x0.Từ đó ta có mệnh đề 1) được chứng minh

Bây giờ có thể ra cho học sinh 2 câu hỏi sau:

Câu hỏi 1: Tìm điều kiện của a,b, c để phương trình (**) có nghiệm?

Câu hỏi 2: Tìm điều kiện của a,b, c để phương trình (**) vô nghiệm?

- Sai lầm của học sinh trả lời câu hỏi 1 là : “ Điều kiện để (**) có nghiệm là phương trình

(*) có nghiệm

- Sai lầm của học sinh trả lời câu hỏi 2 là: “ Điều kiện để (**) vô nghiệm là phương trình

(*) vô nghiệm

 Thực ra mệnh đề 1) mệnh đề: “ Phương trình (**) vô nghiệm  PT (*) vô nghiệm”

 Như vậy việc trả lời 2 câu hỏi trên là chưa có cơ sở

 Với 2 câu hỏi trên thực chất là tìm đk cần và đủ của a, b, c để phương trình (**) vô

nghiệm ( có nghiệm)

Như vậy lời giải trên không có hiệu lực để trả lời các câu hỏi 1) và 2) Ta phải đi tìm một hướng

khác để giải

Để giải (**) ta đưa (**) về hệ đối xứng bằng cách đặt : yax2 bxc.Khi đó (**) tương

đương với:



























































































) 2 ( 0 1

) 1 ( 0

) 1 )(

(

2

2 2

2 2

y c bx ax

b ay ax

y c bx ax

y x b

ay ax y x

y c bx ax y

c bx ax

x c by ay

Vậy (**) vô nghiệm









vn

vn

) 2 (

) 1 (



















) 3 ( 0 )

1 (

ax

y x

) ( 4 ) 1 ( 0

0

; 1

; 0 0

) 1 (

2

ac b

a

c b a vn

c b

x

ax



























































































4 4 ) 1 ( 0 ) 1 ( 4 ) 1 ( )

0 ( 0 1 )

(

1

; 0 )

2

ac b

ac b

a vn

a b

a x a ab x

a

b a vn

Kết hợp cả 2 trường hợp trên ta có: “ Điều kiện cần và đủ để phương trình (**) vô nghiệm là

Chú ý rằng đây cũng chính là điều kiện cần và đủ để (*) vô nghiêm Nhưng kết luận





















4 )

1

(

0

; 1

;

0

2 ac

b

c b

a

của học sinh ở trên kia là một sự “ hú hoạ “ mà thôi

Từ đó ta có 2 mệnh đề đúng sau : “ pT (**) vn PT (* ) vn ” và “ PT (**) có nghiệm (*)có nghiêm.”

Từ kết quả này ta có thể sáng taọ nhiều bài toán về giải phương trình rất hấp dẫn

II Các ví dụ áp dụng.

Ví dụ 1 Giải phương trình: x2 x2 2  x2 x22x.(1) có dạng (**)

Ta xét phương trình : x 2x2 x (2) có dạng (*) ở đây a=1; b = -1; c=2

Do (2) x2 2x20vô nghiệm vậy (1) vô nghiệm

Ví dụ 2 Giải phương trình : x4 2x3 4x2 4x40.(3)

Trước hết ta viết x4 2x3 4x2 4x40x4 2x3 4x2 5x4x.Bây giờ ta tìm các

số m và n sao cho: x4 2x34x2 5x4x2 mxn2 mx2 mxnn

Bằng cách đồng nhất các hệ số của các đa thức ở 2 vế ta có hệ:





















































2 1 4

5 2

4 2

2

2

2

2

2

n m n

mn

n

m

mn

n

m

m

m

x x   x x   x



Do phương trình x2 x2 x x2 2x20 Đây cũng là nghiệm của (3) Từ đó:

( 3) x2 2x2x2 20 x1 1 3;x2 1 3;x3  2;x4  2

Ví dụ 3 Phương trình sau đây có nghiệm hay không:

x2 x1 2 2x2 x11 x

Đkiện x0

Đặt x t (t 0).x2 x1t2 2t1 Phương trình đã cho có dạng:

.(*) 1 ) 1 2 ( 2 )

1

2

(t2  t 2  t2  t  t

Xét phương trình: t2 2t1t ( t2 t10 ) vô nghiệm nên (*) vô nghiệm Vậy

phương trình đã cho vô nghiệm

III Kết luận Trên đây là những câu chuyện dạy học toán theo lối suy nghĩ tôi đã từng làm

.Hiện nay tài liệu toán thật nhiều Nhưng ý tưởng dạy và rèn luyện tư duy thì phải thực hiện theo những con đường không phảI theo kiểu chạy tìm giữa biển ,bởi các bài toán cũng mênh mông như biển cả

Bài viết dừng lại ở đây

Sau đây là một số bài tập tự giải mà quá trình hình thành trong quá trình suy luận ở trên

Một số bài tập.

1 Cho 3 số thực a, b , c thoã mãn:  













 3

2

; 0 , ,

c b a

c b a

Chứng minh: a4 b4 c4 17

2 Cho 3 số thực a, b, c thoã mãn:

















6

3

;

; 1

c b a

c b a

Chứng minh rằng a3 b3 c3 36

3 Cho 4 số thực a, b, c, d thoã mãn :



















8

4 , , , 0

d c b a

d c b a

Chứng minh: a) a2 b2 c2 d2 32

b) a3 b3 c3 d3 128

4.Cho 3 số thực a,b , c thoã mãn :  













 3

2

; 0 , ,

c b a

c b a

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2(bc)b2(ac)c2(ab)2abc

( Đs: MaxP = 6 )

5.Cho 4 số thực a, b , c ,d thoã mãn:  















 8

4

; 0

;

;

;

d c b a

d c b a

Tìm giá trị lớn nhất của P =

) (

2 ) (

) (

) (

)

(Đs: Max P = 128)

6 Giải các phương trình sau:

0 9 9

8  x  x  

x

7 Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: x2 mx42 mx2 m2(x1)4m40

(Nguyễn Tiến Minh THPTBC Hồng Lam – Tháng 4/2009)