-Chứng minh định lí dạng 1 là dùng các suy luận và các kiến thức đã biết để khẳng định rằng mệnh đề 1 là mệnh đề đúng, nghĩa là chứng minh rằng với mọi x thuộc X, nếu Px đúng thì Qx đúng[r]
Trang 1Bài 1: Mệnh đề - Mệnh đề chứa biến
I - Mệnh đề - Mệnh đề chứa biến
1 Mệnh đề:Một Mệnh đề lôgic(gọi tắt là mệnh đề)là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc một câu khẳng định sai Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai -Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai
- Câu không phải là câu khẳng định hoặc câu khẳng định mà không có tính đúng - sai thì không phải là mệnh đề
Ví dụ 1:
1) Hãy
2) “5 + 7 + 4 = 15” sai)
3) "# 2002 là # %& sai)
4) Góc vuông có + , 800 (là sai)
5) + 7 là /0 + nguyên 0+ (là 1
6) Hôm nay
7) :; có <= không ? (không là
? 0 @4 @A) kí CD các ) E cái in hoa: ? A, H B,…
2
Ví HL 2:
1)
2) “ a = b + 1”
II Mệnh đề phủ định:
1 TU 6 K V /0 G ta thêm ,W) CR0 0X "không" ,W) "không
P
+ P 1 thì saiP
+ P sai thì P 1
2 Ví HL 3:
i P: " là + E% 0]Y
P: " không
ii Q: " 8 3"
Q: " 8> 3"
III-Mệnh đề kéo theo:
Trang 21
? P Q ) ] sai khi P 1 Q sai
Ta 0 @4 W6 các tình %+ sau
eZ hai P và Q % 1 G khi ( P Q là 1 P
? P 1 và Q sai, khi ( P Q là sai
Ví dụ 4: Cho 0O giác ABCD Xét hai
[FdO giác ABCD là 1 hình ) E &0
_FdO giác ABCD là 1 hình bình hành”
P_F"M% 0O giác ABCD là hình ) E &0 thì 0O giác ABCD là hình bình hành”
QP "M% 0O giác ABCD là hình bình hành thì 0O giác ABCD là hình ) E &0 P
2 Định lý toán học: Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng, thường có
dạng: P Q
-P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận Hoặc P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)
-Q(x) là điều kiện cần để có P(x)
,W) điều kiện đủ U có Q(x) là P(x)
điều kiện cần U có P(x) là Q(x)
Ví dụ 5: P “Tam giác ABC có hai góc CD 600
” Q"Tam giác ABC là tam giác %Y
Y"M% tam giác ABC có hai góc CD 600 thì tam giác ( lìà tam giác %Y "Tam giác ABC có hai góc CD 600 là
giác %Y
-"Tam giác ABC là tam giác
CD 600"
IV-Mệnh đề đảo - Hai mệnh đề tương đương
- Khi PQ là 1 thì QP
2 Hai
Q
P
? PQ 1 M% )Z hai P và Q cùng 1 ,W) cùng sai
? PQ 1 khi )Z hai kéo theo PQvà QP %
1 P
Trang 3Ví dụ 6: ? “Tam giác ABC là tam giác có ba góc CD nhau M% và ) ]
thích
Xét P: “ Tam giác ABC là tam giác có ba góc CD nhau”
Q: “Tam giác có ba ); CD nhau”
Khi ( P Q 1 m QP 1 P Q& PQ
Ví dụ 7: Cho 0O giác ABCD, các sau:
P: “ABCD là hình bình hành”
Q: “ABCD có các
P và Q là các 0@k @k nhau
Ví dụ 8 : Xét các
A: “36 chia M0 cho 4 và chia M0 cho 3”;
B: “36 chia M0 12”
Khi (F A đúng; B đúng
AB: “36 chia M0 cho 4 và chia M0 cho 3 M% và ) ] M% 36 chia M0 12”
đúng
V-Kí hiệu , :
1 Kí hiệu :
-" x X P x, ( )" có ý
-Ví dụ 9: xN:n 0
2 Kí hiệu :
-" x X P x, ( )" có ý
tính
-Ví dụ 10:xR x2 x
:
3.Phủ định của mệnh đề chứa kí hiệu , :
- Cho
" x X P x, ( )" " x X P x, ( )"
- Cho
" x X P x, ( )" " x X P x, ( )"
Ví
1, P: xR:x 1 x
x x R x
P: : 1
2, Q: xZ:x2 3x 2 0
0 2 3 : : xZ x2 x
Q
M0
-Bài 2: Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học
I Định lý và chứng minh định lý:
Trang 4-Trong toán N)G định lý là E 1
" x X P x, ( ) Q x( )"(1)
-Trong
-Chứng minh định lí dạng (1) là dùng các suy luận và các kiến thức đã biết để khẳng định rằng mệnh đề (1) là mệnh đề đúng, nghĩa là chứng minh rằng với mọi
x thuộc X, nếu P(x) đúng thì Q(x) đúng.
Phép
+Dùng các suy
Q(x) là 1 P
-Đôi khi việc chứng minh trực tiếp một định lý gặp khó khăn, khi đó ta dùng cách chứng minh gián tiếp
-Một cách chứng minh gián tiếp thương dùng là chứng minh bằng phản chứng -Cách chứng minh bằng phản chứng được tiến hành như sau:
Dùng suy
II Điều kiện cần – Điều kiện đủ:
Cho V lí " x X P x, ( ) Q x( )"(1)
- P(x)
III Định lí đảo – Điều kiện cần và Đủ.
? " x X Q x, ( ) P x( )"(2)
(2) có 0 U 1 G có 0 U sai
và ta nói P(x) là điều kiện cần và đủ U có Q(x)
" x X P x, ( ) Q x( )"
-Ngoài ra ta còn nói “ P(x) M% và ) ] M% Q(x)” ,W) “P(x) khi và ) ] khi Q(x)”
M0
-Bài 3: Tập hợp - các phép toán trên tập hợp
I Khái niệm tập hợp:
1-r các 6 i 0^ cùng có chung /0 ,W) /0 vài tính ) p0 nào (P
Trang 5 aX.
-Ví HL 1:
d&6 A6 các + 0q nhiên v < k 10
2 Cách xác định tập hợp:
-Ta có 0 U xác V 0&6 A6 CD /0 trong các cách sau:
-Ví HL 2:
{1;2;4;5;10}
Gd&6 A6 các + 0q nhiên < k 100 chia M0 cho 5
{x| x = 5k,-1< k < 20, k N}
3.Tập hợp rỗng:
-Ví HLF {x R/ x 2 < 0}
- A xA
II-Tập hợp con:
- A B x (x A x B)
-Minh
-Ta có các tính ) p0 sau:
i,A A
iii, A
III-Tập hợp bằng nhau:
-Khi A B và B A ta nói
-A = B x (x A x B)
-Ví HLF A={2;3}
B={x R| x 2-5x+6=0}
Ta có A=B
B A A
Trang 6IV-Giao của hai tập hợp:
-AB ={x| x A và x B}
- x A B {x A và x B}
AB
V-Hợp của hai tập hợp:
-AB={x| x A ,W) x B}
- x A B {x A ,W) x B}
AB
-Ví HLF Cho hai 0&6 A6
A={3;4;6;8;9}
B={1;2;3;4;5;6;7}
i,AB={3;4;6}
ii,AB={1;2;3;4;5;6;7;8;9}
VI-Hiệu và phần bù của hai tập hợp:
B Kí
+ A\B= {x| x A và x B }
+ x A\B { x A và x B }
-Minh
A B
A
A\B
Trang 7VII-Các tập hợp số đã học: *
N N Z Q R
1.Tập hợp các số tự nhiên:
- N = {0, 1, 2, 3, 4, 5 }
- N* = {1, 2, 3, 4, 5 }
2.Tập hợp các số nguyên:
- Z = { -3,-2,-1, 0,1,2,3, }
3.Tập hợp các số hữu tỉ
b a
,W) + 0 &6 phân vơ ; khơng 0%i hồn
4.Tập hợp số thực:
là R
VIII-Các tập hợp con thường dùng của R( ; ):
Pb ,Z F
(a;b) = {xR| a < x < b}
| a < x}
R
| x < b}
R
Ví HLF
1, (1; 2 ) = {xR| 1< x < 2}
2,( -5 ; = {xR| -5 < x}
PT,; F
[ a; b ] = {xR| a x b}
Ví HLF
[-2; 3 ] = { xR| -2 x 3}
[ a; b) = {x R | a x < b}
( a; b] = {x R | a < x b}
[ a; ) = {x R | a x}
; b ) = {x R | x < b}
M0
-Bài 4: Số gần đúng – sai số
I-Số gần đúng:
1 Trong nhiều trường hợp ta không thể biết được giá trị đúng của đại lượng mà ta chỉ biết số gần đúng của nó Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận
đưAc các số gần đúng
Trang 8Ví
2 = 4
S1= 3,1 4 = 12,4 (cm2)
S2 = 3,14 4 = 12,56 (cm2)
Các giá 03V S1 ,S2 là các giá 03V i 1 vì là /0 + i 1
2 " & xét: Trong 0 q) 0MG , ;)G tính toán ta 0 @4 & @A) các + i
1
II-Sai số tuyệt đối:
1.Sai
, Q&
'
a
a' |a a' |
Ta có 0 U 8 giá @A) a' không *@A0 quá /0 + H@k d nào (P
- "M% a' d thì |aa' | d d a a' d
a' d a a' d
Quy a a' d
do
Ví
chính xác
T/ dài @4 chéo hình vuông là 3 2cm
"M% p 2= 1,4 thì / dài @4 chéo là 4,2 cm
Khi ( 4,2 < 3 2 < 3 1,42 = 4,26
Suy ra:3 2 4 , 2 < 4 , 26 4 , 2 =0,06
Q& 3 2= 4,2 0,06
2 Sai
-Sai
là a' Ta có: ' '
| ' |
a a a
"M% a a' d thì a' d , do ( '
| ' |
d a a
"M% a' càng
III-Quy tròn số gần đúng:
1.Ôn 0&6 quy 0) làm tròn +
Trang 9Ví
Ta có: x 3567000
y 54690000
Ví HL 2: Quy tròn M hàng 6 i 03# các + sau x= 23,45268; y =589,4692
Ta có x 23,45
y 58,47
2 Cách
Quy tròn các + sau:
a) 374529 200: 374529 375000
b) 4,1356 0,001: 4,1356 4,14
... 600giác %Y
-& #34;Tam giác ABC tam giác
CD 600"
IV -Mệnh đề đảo - Hai mệnh đề tương đương
- Khi PQ... tốn học, định lí mệnh đề đúng, thường có
dạng: P Q
-P gọi giả thiết, Q gọi kết luận Hoặc P(x) điều kiện đủ để có Q(x)
-Q(x) điều kiện... 8> 3"
III -Mệnh đề kéo theo:
Trang 21