Kinh nghiệm: Tìm phép biến đổi trên phần tử đại diện để tìm lời giải về tính tổng trong bài toán tổ hợp

Qua kinh nghiệm phân tích tìm lời giải nhờ việc tìm các phép biến đổi trên phần tử đại diện trong bài toán tính tổng trong tổ hợp dựa vào khai triển Niu-Ton.. Ta rút ra lược đồ cách giải[r]

Tìm phép biến đổi trên phần tử đại diện để tìm lời giải

về tính tổng trong bài toán tổ hợp.

(Nguyễn Tiến Minh T.H.P.T Hồng lam Hồng Lĩnh Hà Tĩnh)

Trong các bài toán tính các tổng liên quan đến tổ hợp, cái khó là việc định 12 tìm lời giải sao cho dễ tiếp thu, không máy móc tiếp thu thụ động

Việc tìm ra các phép biển đổi trên phần tử đại diện mà cụ thể là trên số hạng tổng

quát ở nhị thức Niu-Tơn , từ đó trình bày lời giải một cách tự nhiên rất có hiệu lực để giải loại toán này

I Các ví dụ minh hoạ

n n

C

S 12 1 22 2   2

Phân tích: Ta hãy xuất phát từ khai triển:

  n n (*)

n n

n n n

x C x

C x C C

Ta hãy tìm mối liên quan giữa số hạng tổng quát của tổng S và số hạng tổng quát của

(*) Hay nói cách khác là từ số hạng tổng quát của (*) bằng các phép toán nào để

biến thành số hạng tổng quát của S ?

- Số hạng tổng quát của (*) là k

n k

u 

- Số hạng tổng quát của S là k

n

v  2

- Tìm các phép toán biến đổi sao cho từ 2.ở đây mỗi

x v

u k  k  k   

mũi tên biểu thị một phép toán cần tìm Ta bắt đầu.

( lấy đạo hàm) ( nhân với x) (lấy đạo hàm) (cho

/

) ( k

k

x

kx kx k  2 k 1

x k x= 1 ) 2

k



Vì các phép toán đã tìm được ở trên phần tử đại diện nên phải thực hiện trên 2 vế của tổng S Theo sơ đồ đó ta có thể ghi lại một cách tự nhiên lời giải như sau.

Lời giải:

n n

n n n

x C x

C x C C

+ Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: n1xn1 C1n 2xC n2 3x2C n3  nx n C n n

+ Nhân cả 2 vế với x ta có: nx(1x)n1  xC n1 2x2C n2 3x3C n3  nx n C n n

+ Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có:

3 2

) 1 )(

1 ( )

1

+ Cho x =1 ta có :

S = ( 1).2n2

n n

Nhận xét: rõ ràng việc trình bày lời giải chỉ là một “ việc ghi lại” mà thôi

1

1 2

3

1 2 2

1

n n

n n

n C

C C

S

















Phân tích:

- Số hạng tổng quát của (*) là k (1)

n k

C x

- Số hạng tổng quát của S là

1

1







k

k

) 2 ( 1

1 1

1 1







k k

x k k

- Ta phải tìm các phép biến đổi từ .

1

1





k x

k k

nhận xét rằng số mũ k ở x nâng lên mũ (k+1) có đươc nhờ phép lấy nguyên hàm của k

hàm k

x

Phép biến đổi 1: (3)

1 1

1











 x a b k b k a

k dx x

k k

b

a

k k

Phép tính 2: So sánh (3) và (2) ta suy ra : b = 2 và a = 1 vậy tích phân cần lấy ở

phép biến đổi có cận đã xác định.

Lời giải

Ta có :

  n n

n n

n n n

x C x

C x C C





























1

2 1

1

3 2

)

1

(

2

1

1 2

3 1 2

n n n

n n

n

C x n C

x C

x x C dx

x





































n n n

n n

n n n n

n n

n

C n C

C C

C C

C C

n

x

1

1

3

1 2

1 2

2

2

2 2

2 2 1

2 1

S

n

n n







1

2

Bài toán 3 Xét tổng S =

Với n > 4 Tính n biết: S

n n n

n n

n n

n

C n C

C c

C20 22 24 26 22 2 22

1 2

2 1

2

2

7

2 5

2 3

2

2















13

8192

Phân tích: - số hạng tổng quát của (*) là: x k C2k n

Để “lấp đầy” các số hạng trong tổng đầy đủ khi sử dụng (*) ta xét:

1 2

2

5

2 4

2 3

2 2

2 1

2 4

2 3

2 2

2 1

2 0

2

n n n

n n

n

n C

C C

C C

P

















- Số hạng tổng quát của P là: .

















k n k

k

C

k 1 2 . 2. 1 2

- Từ đó ta có các phép biến đổi đi từ số hạng tổng quát của (*) đi đến số hạng tổng

quát của P như sau:

1

1 0

1 1

1

1

0

1









k

x k dx

2 Nhân với 2.

3 Tìm Mối liên hệ giữa P và S từ đó suy ra S và tìm đươc n.

Lời giải.

Ta có : 1x2n C20n C21n xC22n x2  C22n n x2n.

























1 2

1

3

1 2

1 1

1

0

2 2 3

2 2 2

1 2 0

2

n n

n n

n

C n x

C x

C x C dx

x



















1 2

1

4

1 3

1 2

1 0

1 1

2

)

1

2 3

2 2

2 1

2 0

2

1

2

n n n

n n

n

n

C n C

C C

C n

x

) 1 ( 1 2

2

3

2 2

2 2

1

2

1

2

2 2

2 1 2 0

2

1

2

n n n

n n

n

C n C

C C



























1 2

1

4

1 3

1 2

1 )

1

2 3

2 2

2 1

2 0

2 1

0

n n

n n

n

n C

C C

C dx x

(2).

1 2

2

4

2 3

2 2

2 2

1

2

2 3

2 2

2 1

2 0

2

n n n

n n

n C

C C

C

n       



Trừ 2 vế của (1) và (2) ta có :

13

8192 1

2

22 1











n n

n

Bài toán 4 Tính tổng S 2n1C1n 2.2n2C n2 3.2n3C n3  nC n n

Phân tích: -Số hạng tổng quát của S là : k.2nk C n k.= 2n.(k.x k) cho x= 2 1

- số hạng tổng quát (*) là : x k C n k

ta có các phép biến đổi sau:

1.lấy đạo hàm của (x) là kxk k 1

2.nhân với n

2

3.Cho x= 2  1

4.Chia cho 2

Lời giải.

Từ : (1+x)nC n0 C1n xC n2x2  C n n x n Đạo hàm cả 2 vế ta có:

3 2

)

1

( x n 1 C1n xC n2 x2C n3 nx n 1C n n

2 .Cho x=2 ta có:

n n n n n

n n n n n n

n

C x n C

x xC

C x

n(1 ) 1 2 1 2.2 2 3.2 2 3 2 1

n n

n n n n n

n

C n C C

C

n.3 2 2 3.2 2

S = n.3n 1

Bài toán 5 Tìm hệ số của x10 trong khai triển:  nbiết rằng

x x

x 3 4

1 2 2

1 2 1 1





n n n

C

Lời giải 12 hết ta tìm n từ đẳng thức (1).

Xuất phát từ

1 2 2 2 1 2 2

2 1 2 1 1 1 2 2

2 1 2 1

1 2 0

1 2 1























n n n n n

n n n

n n n

n n

n

x C x C x

C x C x

C x C C

x

(2)

Từ (2) cho x =1 ta có:

Do )

( )

(

22 1  20 1  12 1  22 1  2 1  211 221  22 1  22n11

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n

C C

C C

C C

C C































1 2 1 2 2

1 2 2 1 2 1

1 2 1

2

1

2

1

2k n C n n k C n C n n :;C n C n n ;C n n C n n

C

4 )

1 2

(

2

2

n

n

Ta có:

i

i k k

k

k n

x C x

C x

x x x

x x x

x































0

3 4 4

0 4 4

3 4 4

4 4

3 4

3

) ( )

1 ( )

1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 )

1 ( 1 1

Số hạng tổng quát của khai triển là: (1)k.x k3i C4k.C4i với i; k là các số tự nhiên

Theo bài ra ta cần tìm: k + 3i = 10

4

;

0 i k 

k 1 4

 hệ số của x10 là: C41.C43 C44.C42 22

i 3 2

Bài 6 Tìm n biết 2 0 3 1 4 2  ( 2) n 320

n n

n

C S

n k n k

C

Lời giải.

Xuất phát từ:

  n n (*)

n n

n n n

x C x

C x C C

Lấy dạo hàm cả 2 vế ta có:

nx(1x)n1  xC1n 2x2C n2 3x3C n3 nx n C n n.Cho x = 1 ta có:

n.2n1 C1n 2C n2 3C n3  nC n n.(1)

Trong (*) cho x =1 ta có:

Nhân cả 2 vế với 2 thì có:

2n C n0 C n1 C n2  C n n

(2) Cộng (1) và (2) ta có:

n n

n n























n n

n n

n n

n

C n C

C C

C

n2 1 2 1 2 0 (1 2) 1 (2 2) 2 (3 2) 3 ( 2)

320 2

) 4 (

n n

n

Do n > 4 nên vế phải 5

4 2

5 2 320 2

2 2

n S

lớn hơn 1 nên n < 7 và n > 4 Thử ta thấy chỉ có n = 6 thoã mãn

Vậy n = 6

Bài 7 Chứng minh rằng: S = 20 32 22 34 24  32 22n 22n1(22n 1)

n n n

n

C

Lời giải: Ta xét thêm 3 12 33 23 35 25  32 1 22n1

n n n

n

C P

Ta có S + P = C20n 3C21n 32C22n 33C23n 34C24n  32n1C22n n132n C22n n

n n

n n n

x C x

C x C C

x 2 20 12 22 2 22 2

Lại cho x = - 3 ta có: S – P = 22n.

2

2







n n

S

II Kết luận Qua kinh nghiệm phân tích tìm lời giải nhờ việc tìm các phép biến đổi trên

phần tử đại diện trong bài toán tính tổng trong tổ hợp dựa vào khai triển Niu-Ton Ta rút

ra '1 đồ cách giải 1 sau:



n

k

k n

C k f

0

) (

n n

n n n

x C x

C x C C

số hạng tổng quát của S là u k  f(k)C n k.Số hạng tổng quát của (*) là x k C n k

2 Tìm dãy các phép toán thực hiện trên số hạng tổng quát của (*) để biến thành số hạng tổng quát của S theo sơ đồ:

)

(

)

g

x k   

( nhiều lúc phải viêt f(k) = h(n).g(k) + v(n) u(k) Khi đó các phép toán thực hiện trên

xk phải thực hiện theo nhiều %12 )

biêt đã 1 xác định đã định 12 ở tổng S

4 Việc làm trên giúp 1" học chủ động tự tìm ra lời giải của loại toán trên , tiếp thu chủ động gây hứng thú trong học tâp, đồng thời có khả năng sáng tạo ra nhiều bài toán mới và không phụ thuộc vào các tài liệu có sẵn

III Một số bài toán tự giải theo cách thức trên

1 Tính tổng S = 1.2.C20092 2.3.C20093 3.4.C20094  2008.2009.C20092009

2 Tính tổng S = 2n1C n1 2.2n2C n2 3.2n3C n3  nC n n

3 Tính tổng S = 2009C20080 2008C120082007C20082  2C20082007 C20082008

4 Tìm số hạng chúa x5 trong khai triển: 1xx2 x310

1

1

2 4

1 2 3

1 2 2

n n

n n

n C

C C

C













1 1

3

2 1

2

1 1

1

0

) 1 (

3 2

1













n

n n n

n n

A

C n A

C A

C A

C

2 2 2 2 2 4

2 4 2 2 2 2 2 0 2

n n

n n

n n n n

8.Gọi a3n3 là hệ số của x3n-3trong khai triển (x2+1)n(x+2)n Tìm n để a3n3 26n

9 Tìm hệ số của x10trong khai triển (1+x)10(x+1)10từ đó suy ra giá trị của tổng S =

     C100 2  C101 2  C102 2   C1010 2

10 Tìm số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức:

n

x

x

x 



1 3

C

11 Tìm số tự nhiên n thoã mãn:

1 2

8192 1

2

2

5

2 3

2















n

C n C

C

Đs: n =6

x

n

x

x 









4

2 1

2C +0

n

1

6560 1

2

3

2 2











n

C n C

n n

n

4 21

2012 2011

2

4 3

2 3 2

2 2 1

20C20100 1C20101 2C20102 2010C20102010





 )

 

) 2 )(

1

(

2







k k

C k

k

k

Đs:

2011

1

100 6

100 4

100 2

2

2009 2004

2009 8

2009 4

2009 0

Đs: 2100322007 ( xét khai triển số phức  2009 )

1 i

1

121 1

2

3

2 2

0















n

C n C

C

n n n

n n

Đs: n =4

7