Về kĩ năng: HS biết cách xét dấu một nhị thức, tam thức, biết nhận xét khi nào hàm số đồng biến, nghịch biến, biết vận dụng quy tắc tìm cực trị của hàm số vào giải một số bài toán đơn gi[r]
Trang 1Tiết : 1 + 2
Bài 1:
SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I Mục tiờu:
1 Về kiến thức: Học sinh nắm được khỏi niệm đồng biến, nghịch biến, tớnh đơn điệu của đạo hàm,
quy tắc xột tớnh đơn điệu của hàm số
2 Về kĩ năng: HS biết cỏch xột dấu một nhị thức, tam thức, biết nhận xột khi nào hàm số đồng biến,
nghịch biến, biết vận dụng quy tắc xột tớnh đơn điệu của hàm số vào giải một số bài toỏn đơn giản
3 Về tư duy: Biết qui lạ về quen, tư duy cỏc vấn đề của toỏn học một cỏch logic và hệ thống, lập
luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quỏ trỡnh suy nghĩ
4 Về thỏi độ: Cẩn thận chớnh xỏc trong lập luận , tớnh toỏn và trong vẽ hỡnh Tớch cực xõy dựng bài,
chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sỏng tạo trong quỏ trỡnh tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ớch của toỏn học trong đời sống, từ đú hỡnh thành niềm say mờ khoa học, và cú những đúng gúp sau này cho xó hội
II Phương phỏp:
1 Phương phỏp: Thuyết trỡnh, gợi mở, vấn đỏp, nờu vấn đề
2 Cụng tỏc chuẩn bị:
- Giỏo viờn: giỏo ỏn, sgk, thước kẻ, phấn, …
- Học sinh: Sgk, vở ghi, dụng cụ học tập,…
III Tiến trỡnh bài học:
I.Tớnh đơn diệu của hàm số
1 Nhắc lại định nghĩa
-Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trờn K
nếu với mọi cặp số x1, x2 thuộc K mà :
x1<x2 => f(x1) < f(x2)
-Hàm số y = f(x) nghịch biến biến (tăng)
trờn K nếu với mọi cặp số x1, x2 thuộc K
mà : x1<x2 => f(x1) > f(x2)
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trờn
K đ ược gọi chung là hàm số đơn điệu
trờn K
nhận xét:
+ Hàm f(x) đồng biến trên K
tỉ số biến thiên:
2 1
1 2 1 2
2 1
f (x ) f (x )
+ Hàm f(x) nghịch biến trên K
tỉ số biến thiên:
Hoạt động 1: Yờu cầu HS
- Nêu lại định nghĩa về sự đơn
điệu của hàm số trên một khoảng K (K R) ?
- Từ đồ thị ( Hình 1) trang 4 (SGK) hãy chỉ rõ các khoảng
đơn điệu của hàm số y = cosx trên ; 3
2 2
- Uốn nắn cách biểu đạt cho học sinh
- Chú ý cho học sinh phần nhận xét:
- Nêu lại định nghĩa về sự
đơn điệu của hàm số trên một khoảng K (K R)
- Nói được: Hàm y = cosx
đơn điệu tăng trên từng khoảng ;0 ;
2
3 2
, đơn điệu giảm trên 0 ;
Trang 22 1
1 2 1 2
2 1
f (x ) f (x )
+ Nếu hàm số đồng biến trờn K thỡ đồ thị
haứm soỏ ủi leõn tửứ traựi sang phaỷi
+Nếu hàm số ngḥich biến trờn K thỡ đồ
thị haứm soỏ ủi xuoỏng tửứ traựi sang phaỷi
2 Tớnh ủụn ủieọu vaứ daỏu cuỷa ủaùo haứm
Định lý: Cho hàm số y = f(x) cú đạo hàm
trờn K
a/ Nếu f’(x) > 0 x K thỡ hàm số
f(x) đồng biến trờn K
b/ Nếu f’(x) < 0 x K thỡ hàm số
f(x) nghịch biến trờn K
Túm lại, trờn K: '( ) 0 ( )
'( ) 0 ( )
Chỳ ý: N ếu f’(x) = 0, x K thỡ f(x)
khụng đổi trờn K
Vớ dụ 1: Tỡm cỏc khoảng đơn điệu của
hàm số:
a/ y = 2x2 + 1 b/ y = sinx trờn (0;2 )
Chỳ ý: Ta cú định lý mở rộng sau đõy:
Giả sử hàm số y = f(x) cú đạo hàm trờn K
Nếu f’(x) 0(f’(x) 0), x K và f’(x) =
0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thỡ hàm số
đồng biến(nghịch biến) trờn K
Vớ dụ 2: Tỡm cỏc khoảng đơn điệu của
hàm số: y = 2x3 + 6x2 +6x – 7
TX Đ: D = R
Ta cú: y’ = 6x2 +12x+ 6 =6(x+1)2
Do đ ú y’ = 0<= >x = -1 v à y’>0 x 1
Theo định lý mở rộng, hàm số đó cho
luụn luụn đồng biến
II Qui tắc xột tớnh đơn điệu của hàm số
1 Qui tắc:
-Tỡm tập xỏc định
-Tớnh đạo hàm f’(x) Tỡm cỏc điểm tới
hạn xi (I = 1, 2, …,n) mà tại đú đạo hàm
bằng 0 hoặc khụng xỏc định
- Sắp xếp cỏc điểm xi theo thứ tự tăng
dần và lập bảng biến thiờn
- Nờu kết luận về cỏc khoảng đồng biến,
nghịch biến của hàm số
2 Áp dụng:
Hoạt động 2: Cho các hàm số sau y = 2
2
x
Yờu cầu HS xột đồ thị của nú, sau đú xột dấu đạo hàm của hs
Từ đú nờu nhận xột về mối quan
hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm
-Gợi ý cho HS làm vớ dụ
Hoạt động 3:Khẳng định ngược
lại với định lý trờn đỳng khụng?
-Nờu chỳ ý:
- Nờu qui tắc xột tớnh đơn điệu
Gợi ý cho HS làm vớ dụ:
HS suy nghĩ nờu nhận xột
HS suy nghĩ l àm vớ dụ
- Theo dừi và ghi chộp
Hs thảo luận nhúm để giải quyết vấn đề mà Gv đó đưa ra
Trang 3Ví dụ 3: Xét tính đồng biến và nghịch
biến cuả hàm số: y = x1 3 - x2 -2x + 2
3
1 2
Ví dụ 4: Tìm các khoảng đơn điệu của
hàm số: y = 1
1
x x
Ví dụ 5: Chứng minh rằng x> sinx trên
khoảng (0; ) bằng cách xét dấu khoảng
2
đơn điệu của hàm số f(x) = x – sinx
Giải:
Xét hàm số f(x) = x – sinx (0 ), ta
2
có: f’(x) = 1 – cosx 0 ( f’(x) = 0 chỉ tại
x = 0) nên theo chú ý trên ta có f(x) đồng
biến trên nữa khoảng [0; ).Do đó, với 0
2
< x< ta có f(x) = x –sinx>f(0)=0 hay
2
x> sinx trên khoảng (0; )
2
GV làm ví dụ 5
+ Tính đạo hàm
+ Xét dấu đạo hàm + Kết luận
Củng cố: Củng cố lại các kiến thức học trong bài
Bài tập: Bài 1, 2 ,3 , 4, 5, 6, 7 trang 28, 29 sgk
Trang 4Tiết : 3
LUYỆN TẬP SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM
SỐ
I Mục tiêu:
1 Về kiến thức: Học sinh nắm được khái niệm đồng biến, nghịch biến, tính đơn điệu của đạo hàm,
quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
2 Về kĩ năng: HS biết cách xét dấu một nhị thức, tam thức, biết nhận xét khi nào hàm số đồng biến,
nghịch biến, biết vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số vào giải một số bài toán đơn giản
3 Về tư duy: Biết qui lạ về quen, tư duy các vấn đề của toán học một cách logic và hệ thống, lập
luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ
4 Về thái độ: Cẩn thận chính xác trong lập luận , tính toán và trong vẽ hình Tích cực xây dựng bài,
chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv
II Phương pháp:
1 Phương pháp: Thuyết trình, gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề
2 Công tác chuẩn bị:
- Giáo viên: giáo án, sgk, thước kẻ, phấn, …
- Học sinh: Sgk, vở ghi, dụng cụ học tập,…
III Tiến trình bài học:
1 Kiêm tra bài cũ:
Nêu qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số?
2 Bài mới:
Bài 1: Xét sự đồng biến và
nghịch biến của hàm số
a/ y = 4 + 3x – x2
b/ y = 1/3x3 +3x2 – 7x – 2
c/ y = x4 -2x2 + 3
d/ y= -x3 +x2 -5
Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu
của các hàm số:
a/ y = 3 1 b/ y =
1
x
x
2 2 1
x
c/ y = x2 x 20 d/ y= 22
9
x
x
Bài 3: Chứng minh rằng hàm số
- Yêu cầu HS nêu lại qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số , sau đó áp dụng vào làm bài tập
- Cho HS lên bảng trình bày sau đó GV nhận xét
- Cho HS lên bảng trình bày sau đó GV nhận xét
c/ Yêu cầu HS:
-tìm TXĐ
- Tính y’
- Xét dấu y’, rồi kết luận
- Cho HS lên bảng trình bày
- HS nêu qui tắc và áp dụng làm bài tập
a/ TXĐ: D = R y’ = 3-2x, y’ = 0 <=>x = 3/2
x 3/2
y’ + 0
-y 25/4
Hàm số đồng biến trên khoảng
, nghịch biến trên
3 ( , ) 2
2
2/Đáp án a/ Hàm số đồng biến trên các khoảng
(;1), 1;
b/Hàm số nghịch biến trên các khoảng
(;1), 1;
Trang 5y = 2 đồng biến trên khoảng
1
x
x
(-1;1); nghịch biến trên các
khoảng (;-1) và (1; )
Bài 4: Chứng minh hàm số
y = 2x x 2 đồng biến trên
khoảng (0;1) và nghịch biến trên
khoảng (1; 2)
Bài 5: Chứng minh các bất đẳng
thức sau:
a/ tanx > x (0<x< )
2
b/ tanx > x + (0<x< )
3
3
x
2
sau đó GV nhận xét
- Cho HS lên bảng trình bày sau đó GV nhận xét
GV gợi ý:
Xét hàm số : y = tanx-x y’ =?
-Kết luận tính đơn điệu của hàm số với mọi x thoả 0<x<
2
HS suy nghĩ làm bài
HS suy nghĩ làm bài
HS theo dõi GV gợi ý và chứng minh
Củng cố: Củng cố lại các kiến thức đã học trong bài.
Trang 6Tiết : 4 + 5
Bài 2:
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I Mục tiêu:
1 Về kiến thức: Học sinh nắm được : khái niệm cực đại, cực tiểu Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Quy tắc tìm cực trị của hàm số.
2 Về kĩ năng: HS biết cách xét dấu một nhị thức, tam thức, biết nhận xét khi nào hàm số đồng biến,
nghịch biến, biết vận dụng quy tắc tìm cực trị của hàm số vào giải một số bài toán đơn giản
3 Về tư duy: Biết qui lạ về quen, tư duy các vấn đề của toán học một cách logic và hệ thống.
4 4 Về thái độ: Cẩn thận chính xác trong lập luận , tính toán và trong vẽ hình.
II Phương pháp:
1 Phương pháp: Thuyết trình, gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề.
2 Công tác chuẩn bị:
- Giáo viên: giáo án, sgk, thước kẻ, phấn, …
- Học sinh: Sgk, vở ghi, dụng cụ học tập,…
III Tiến trình bài học:
1 Kiêm tra bài cũ:
Nêu qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số?
2 Bài mới:
I Khái niệm cực đại, cực tiểu.
Định nghĩa:
Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn (a;
b) (có thể a là - ; b là +) vµ ®iÓm
x 0 (a; b).
a/ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho
f(x) < f(x 0 ), x x 0 và với mọi x
Hoạt động 1 : Cho hàm số : y = - x2 + 1 xác định trên khoảng (- ; + ) và
y = (x – 3)2 xác định trên các 3
x
khoảng ( ; ) và ( ; 4)1
2
3 2
3 2 Yêu cầu Hs dựa vào đồ thị (H7, H8, SGK, trang 13) hãy chỉ
ra các điểm mà tại đó mỗi hàm
số đã cho có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)
Qua hoạt động trên, Gv giới thiệu với Hs định nghĩa sau :
HS suy nghĩ trả lời
Theo dõi và chép bài
Trang 7(x 0 – h; x 0 + h) thỡ ta nói hàm số đạt
cực đại tại x 0
B Nếu tồn tại số h > 0 sao cho
f(x) > f(x 0 ), x x 0 và với mọi x
(x 0 – h; x 0 + h) thỡ ta nói hàm số đạt
cực tiểu tại x 0
Ta nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm
x 0 , f(x 0 ) gọi là giá trị cực tiểu của
hàm số, điểm (x 0 ; f(x 0 )) gọi là điểm
cực tiểu của đồ thị hàm số.
Chỳ ý:
1 Nếu hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x0
thỡ x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực
tiểu) của hàm số; f(x 0 ) gọi là giá trị
cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm
số, điểm M(x 0 ;f(x 0 )) gọi là điểm
cực đại (điểm cực tiểu)của đồ thị
hàm số.
2 Các điểm cực đại và cực tiểu gọi
chung là điểm cực trị, giá trị của
hàm số tại đó gọi là giá trị cực trị.
3 Nếu hàm số y = f(x) cú đạo hàm
trờn khoảng (a ; b) và đạt cực đại
hoặc cực tiểu tại x0 thỡ f’(x0) = 0 Hoạt động 2 :
Yờu cầu Hs tỡm cỏc điểm cực trị của cỏc hàm số sau : y
= x4 – x3 + 3 và 4
1
1
2 2
2
x
x x
Hoạt động 3 : Yờu cầu Hs : a/ Sử dụng đồ thị để xột xem cỏc hàm số sau đõy cú cực trị hay khụng : y = - 2x + 1 ; và
y = (x – 3)2 3
x
b/ Từ đú hóy nờu lờn mối liờn hệ
Suy nghĩ và làm bài
Trang 8 Điều kiện đủ để hàm số
cú cực trị.
Định lý:
Giả sử hàm số y = f(x) liờn tục trờn
khoảng K = (x0 – h; x0 + h) và cú đạo hàm
trờn K hoặc trờn K \ {x0}, với h > 0
00 00 0 0
số y = f(x).
00 00 0 0
số y = f(x).
III Quy tắc tỡm cực trị
Quy tắc I:
+ Tỡm tập xỏc định
+ Tớnh f’(x) Tỡm cỏc điểm tại đú
f’(x) bằng khụng hoặc khụng xỏc định
+ Lập bảng biến thiờn
+ Từ bảng biến thiờn suy ra cỏc điểm
cực trị
Quy tắc II:
Ta thừa nhận định lý sau:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo
h; x0 + h), với h > 0 Khi đú:
+ Nừu f’(x) = 0, f’’(x 0 ) > 0 thì x 0 là
điểm cực tiểu.
+ Nừu f’(x) = 0, f’’(x 0 ) < 0 thì x 0 là
điểm cực đại.
Ta cú quy tắc II :
giữa sự tồn tại của cực trị và dấu của đạo hàm
Gv giới thiệu Hs nội dung định lý sau :
Gv giới thiệu Vd1, 2, 3, SGK, trang 15, 16) để Hs hiểu được định lý vừa nờu
Hoạt động 4 : Yờu cầu Hs tỡm cực trị của cỏc hàm số :
y = - 2x3 + 3x2 + 12x – 5 ; y =
x4 – x3 + 3
4 1
Gv nờu qui tẮc tỡm cực trị
Hoạt động 5 : Dựa và quy tắc
I : Yờu cầu Hs tỡm cực trị của cỏc hàm số sau :
y = x3 – 3x2 + 2 ;
1
3 3 2
x
x x
y
Theo dừi và ghi bài
suy nghĩ và làm bài
Theo dừi và ghi bài
suy nghĩ và làm bài
Trang 9+ Tìm tập xác định.
+ Tính f’(x) Giải pt f’(x) = 0 Ký hiệu
xi (i = 1, 2…) là các nghiệm của nó (nếu
có)
+ Tính f’’(x) và f’’(xi)
+ Dựa vào dấu của f’’(x) suy ra tính
chất cực trị của điểm xi
Gv giới thiệu Vd 4, 5, SGK, trang 17) để Hs hiểu được quy tắc vừa nêu
Củng cố: Củng cố lại các kiến thức đã học trong bài.
Bài tập: Bài tập sgk.
Trang 10Tiết : 6 + 7
LUYỆN TẬP VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I Mục tiờu:
1 Về kiến thức: Học sinh nắm được : khỏi niệm cực đại, cực tiểu Điều kiện đủ để hàm số cú cực trị
Quy tắc tỡm cực trị của hàm số.
2 Về kĩ năng: HS biết cỏch xột dấu một nhị thức, tam thức, biết nhận xột khi nào hàm số đồng biến,
nghịch biến, biết vận dụng quy tắc tỡm cực trị của hàm số vào giải một số bài toỏn đơn giản
3 Về tư duy: Biết qui lạ về quen, tư duy cỏc vấn đề của toỏn học một cỏch logic và hệ thống.
5 4 Về thỏi độ: Cẩn thận chớnh xỏc trong lập luận , tớnh toỏn và trong vẽ hỡnh.
II Phương phỏp:
1 Phương phỏp: Thuyết trỡnh, gợi mở, vấn đỏp, nờu vấn đề.
2 Cụng tỏc chuẩn bị:
- Giỏo viờn: giỏo ỏn, sgk, thước kẻ, phấn, …
- Học sinh: Sgk, vở ghi, dụng cụ học tập,…
III Tiến trỡnh bài học:
1 Kiờm tra bài cũ:
Nờu qui tắc tỡm cực trị của hàm số (qui tắc 1 và qui tắc 2)?
2 Bài mới:
Bài 1: Áp dụng qui tắc I
tỡm cỏc điểm cực trị của
hàm số:
a/ y = 2x3 + 3x2 36x
-10
b/ y =x4+2x2 -3
c/ y =x+1/x
d/ y = x3(1-x)2
e/ y = x2 x 1
Bài 2: Áp dụng qui tắc II
tỡm cỏc điểm cực trị của
hàm số:
a/ y = x4 -2x2 + 1
b/ y = sin2x-x
c/ y =s inx + c osx
d/ y = x5 –x3 -2x +1
Bài 3:Chứng minh hàm
số y = x khụng cú đạo
hàm tại x =0 nhưng vẫn
đạt cực tiểu tại điểm đú
- Yờu cầu HS nờu lại qui tắc
I, và lờn bảng trỡnh bày
- Yờu cầu HS nờu lại qui tắc
II, và lờn bảng trỡnh bày
- Hướng dẫn học sinh khá:
Hàm số không có đạo hàm cấp 1 tại x = 0 nên không thể dùng quy tắc 2 (vì
không có đạo hàm cấp 2 tại
x = 0) Với hàm số đã cho,
HS nờu qui tắc và lờn bảng trỡnh bày
HS nờu qui tắc và lờn bảng trỡnh bày
3/- Thấy được hàm số đã cho không có đạo hàm cấp
1 tại x = 0, tuy nhiên ta có:
Trang 11Bài 4: sgk
y= x3 –mx2 -2x +1
Bài 6: Xác định m để
hàm số:
y = f(x) =
2
x m
đạt cực đại tại x = 2
có thể dùng quy tắc 1, không thể dùng quy tắc 2
- Củng cố:
Hàm số không có đạo hàm tại x0 nhưng vẫn có thể có cực trị tại x0
y’ =?, =?
- Phát vấn:
Viết điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x = x0 ?
- Củng cố:
+ Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực đại tại điểm
x = x0:
Có f’(x0) = 0 (không tồn tại f’(x0)) và f’(x) dổi dấu từ dương sang âm khi đi qua
x0 + Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực tiểu tại điểm
x = x0:
Có f’(x0) = 0 (không tồn tại f’(x0)) và f’(x) dổi dấu từ
âm sang dương khi đi qua
x0
- Phát vấn:
Có thể dùng quy tắc 2 để viết điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 được không ?
- Gọi học sinh lên bảng thực hiện bài tập
1 n
2 x 1
n
ếu x > 0
ếu x < 0
x - 0 + y’ - || +
y 0 CT Suy ra được fCT = f(0) = 0 ( cũng là GTNN của hàm
số đã cho
4/ y’ = 3x2-2mx-2, =m 2+6>0 m
=> hàm số luụn cú một cực đại và một cực tiểu 6/Hàm số xác định trên R \ m và ta có:
y’ = f’(x) =
2
x m
- Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì f’(2) = 0, tức là: m2 + 4m + 3 = 0 m 1
2
x 1
2 2
x 1
Ta có bảng:
x - 0 1 2 + y’ + 0 - - 0 +
y CĐ CT Suy ra hàm số không đạt cực đại tại x = 2 nên giá trị
m = - 1 loại
b) m = - 3 y = và y’ =
2
x 3
2
2
x 3
Ta có bảng:
x - 2 3 4 + y’ + 0 - - 0 +
y CĐ CT
Củng cố: Củng cố lại cỏc kiến thức đó học trong bài