Một số bài toán về cực trị trong không gian oxyz

Lời giài đề nghị 1/ M thuoäc P sao cho tam giaùc MAB coù chu vi nhoû nhaát: Ta có CVABC = AB + MA+ MB , do AB không đổi nên CVABC nhỏ nhất khi và chỉ khi MA+MB nhoû nhaát... Ñieàu kieän [r]

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz (Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmôn Toán theo chương trình Chuẩn & Nâng Cao)

Môn Toán lớp 12

-Bài toán 1.

Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A( 1; 4; 2) ; B( -1; 2; 4), mặt phẳng (P):x+y-z+6=0 và đường

2

z 1

2 z 2

1

x

:

1/ Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất

2/ Tìm toạ độ điểm M trên d sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất

Lời giài đề nghị

1/ M thuộc (P) sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất:

Ta có CV(ABC) = AB + MA+ MB , do AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ nhất khi và chỉ khi (MA+MB) nhỏ nhất

P(A)=1+4-2+6=9 > 0 và P(B)= -1+2-4+6=3 > 0 nên A và B nằm một bên mặt phẳng (P); do đó điểm M cần tìm là giao điểm của đường thẳng (A’B) và mặt phẳng (P) ; với A’ là điểm đối xứng của A qua (P)

Thật vậy , ta có :MA+MB = MA’+ MB = A’B ; với điểm N bất kỳ trên (P) thì

NA+NB= NA’+NB A’B ( Xét tam giác A’NB) , dấu đẳng thức xãy ra khi N M (đpcm)

Giải:

Phương trình của đương thẳng AA’:























t 2 z

t 4 y

t 1 x

Hình chiếu vuông góc H của M trên (P) là giao điểm của AA’ và (P) : H(-2;1;5)

H là trung điểm của AA’ nên: A’(-5;4;8)

Phương trình đường thẳng A’B:

























t 2 4 z

t 2 y

t 2 1 x

Điểm M là giao điểm của đường thẳng A’B và (P) : M(-3;3;6)

Đáp số : M(-3;3;6)

Ghi Chú: Bài toán vô nghiệm nếu A và B nằm hai bên mặt phẳng (P)

2/ Tìm M thuộc d sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất.

Ta có CV(ABC)= AB+MA+MB, do AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ nhất khi và chỉ khi (MA+MB) nhỏ nhất

Phương trình tham số của d: Đặt M(1-t;-2+t;2t)























t 2 z

t 2 y

t 1 x

d



   

9

35 3

5 t 6 40 t 20 t 6 t

2 2 t 6 t MA

2 2

2 2









 



















     

9

5 3

7 t 6 36 t 28 t 6 t

2 4 t 4 t 2 MB

2 2

2 2









 























Ta được: 

























 















 





9

5 3

7 t 9

35 3

5 t 6 MB MA

2 2

9

5 3

7 t 9

35 3

5 t t

f

2 2













 















 



Ta tìm giá trị nhỏ nhất của f(t)

Trong mặt phẳng Oxy, chọn điểm ba : ;M'( ;0)

3

5

; 3

7 ' B

; 3

35

; 3

5 '

























Ta có f(t)= M’A’ + M’B’ nên f(t) nhỏ nhất khi và chỉ khi (M’A’+M’B’)nhỏ nhất, điều nầy xãy

ra khi ba điểm A’,B’,M’ thẳng hàng hay  ( do M’ thay đổi trên Ox còn A’ và B’ nằm





t.M'B' '

A ' M

hai bên Ox) Điều kiện cùng phương của hai véctơ cho

) 7 1 ( 3

7 7 5 t

































7 1 ( 3

7 14 10

; ) 7 (!

3

7 1

; ) 7 1 ( 3

) 7 2 1 ( 2 M

Ghi chú: 1/ Có thể tìm điểm M bằng phương pháp hình học sau: gïọi A1 và B1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên d Điểm M cần tìm sẽ là điểm chia đoạn thẳng A1B1 theo tỉ số:

1

1

BB

AA

3

14

; 3

1

; 3

4 B 3

10

; 3

1

; 3

2





















  dựng điểm M như thế là thoả đề bài từ bài toán dựng hình đơn giản trong không gian)

2/ Phương pháp hình học trên cho thấy : đặc biệt , nếu (AB) song song với d thì điểm M cần tìm là giao điểm của d với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

Một số bài toán cực trị khác trong không gian Oxyz:

Bài toán 2: Cho hai điểm A ; B và đường thẳng d Tìm trên d điểm M để :

a) (MA2+MB2) nhỏ nhất b) MA MB nhỏ nhất c) Tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất Bài toán 3: Cho điểm A và đường thẳng d Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d có d(M,d) lớn nhất (Đề thi Đại Học Khối A năm 2008)

Bài toán 4 : Cho hai đường thẳng d và d’ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với d’ góc lớn nhất

Bài toán 5 : Cho mặt phẳng (P) và đường thăng d Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất

Bài toán 6: Cho hai điểm A;B và đường thẳng d Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B là : a) Lớn nhất b) Nhỏ nhát

CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN (Bài Toán 2 )

********************

Bài tập minh hoạ :Trong không gian Oxyz, cho hai điểm : A(1;4;2) , B(-1;2;4) và đường thẳng

2

z 1

2 y 1

1 x : ) d





Tìm toạ độ điểm M trên (d) sao cho:

1/ MA MB nhỏ nhất 2/(MA2 MB2)nhỏ nhất 3/ Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất

Lời giải tham khảo

1/ MA MB nhỏ nhất

Cách 1: Phương pháp giải tích

Với M( 1-t ; -2+t ; 2t ) thuộc (d) thì: MA (t ;6t; 22t);MB (2t; 4t; 42t)

Do đó : MAMB (22t ;102t ;64t )  MAMB 24(t2)2 44  44

Vậy MA MB nhỏ nhất là 44 khi t-2=0 hay t=2

Đáp số : M(-1; 0; 4 )

Cách 2: Phương pháp hình học

Với điểm M bất kỳ trên (d)

Gọi I là trung điểm của AB , ta có theo qui tắc cộng véctơ thì :MAMB 2.MI

Do đó : MA MB = 2.MI Vậy MA MB nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất Điều nầy xảy

ra khi IM vuông góc với (d) , nghĩa là M là hình chiếu vuông góc của I trên (d) (do I cố định)

Giải : Đặt M(1-t ; -2+t ; 2t) (d) Trung điểm I của AB có toạ độ I(0;3;3)

Do đó MI(1t ;5t ;32t).Đường thẳng (d) có véctơ chỉ phương: a (1;1;2)

2 t 0 ) 2 )(

t 2 3 ( ) 1 )(

t 5 ( ) 1 )(

t 1 ( 0 a MI )

d (

MI              

Đáp số : M(-1;0;4)

2/ (MA 2 + MB 2 ) nhỏ nhất:

Cách 1: Phương pháp giải tích

M(1-t; -2+t ; 2t) (d) cho: MA2+MB2 = (t2+(6-t)2+(2-2 t)2+(-2+t)2+(4-t)2+(4-2t)2

= 12t2– 48 t +76 = 12(t-2)2 +28 28 Vậy (MA2+MB2) nhỏ nhất là 28 khi t=2 hay M(-1;0;4)

Cách 2: Phương pháp hình học:

Gọi I là trung điểm AB ; ta có hệ thức độ dài trung tuyến MI trong tam giác MAB:

2

AB 4

MI MB

MA

2 2

2

2    ; do AB là hằng số nên : (MA2+MB2) nhỏ nhất khi và chỉ khi

MI nhỏ nhất, mà I cố định nên MI nhỏ nhất khi IM vuông góc với(d) hay M là hình chiếu vuông góc của I trên (d)

Giải: Đặt M(1-t ; -2+t ; 2t) (d) Trung điểm I của AB có toạ độ I(0;3;3)