Bảng biến thiên - Điểm không xác ñịnh - Dấu của ñạo hàm - Chiều biến thiên -Các giá trị của giới hạn.. Lưu ý: Giao ñiểm của hai tiệm cận là tâm ñối xứng của ñồ thị.[r]
Trang 1S Giáo d c và Đào t o
TP H Chí Minh Đ KI M TRA H C KỲ 2 ( 2009-2010)
Môn Toán l p 12
Th i gian làm bài : 120 phút A.PH N CHUNG CHO T T C H C SINH ( 7 ñi m)
Câu 1 (2,5 ñi m)
1
2 3
C x
x y
+
+
= a) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C) c a hàm s
b) Tính di n tích hình ph ng (S) gi i h n b i ñ th (C), tr c Ox,
tr c Oy và ñư ng th ng x =1
y= − và
tr c Ox Quay hình ph ng này xung quanh tr c Ox Tính th tích kh i tròn
xoay ñư c t o nên
Câu 3 (1,5 ñi m)
0
2
1dx
x
0
dx e
x x
Câu 4 (2 ñi m)
Trong không gian Oxyz, cho ñư ng th ng (D) :
−
=
−
=
+
=
t 1 z
2t 3 y
t 2 x
và ñi m A(2 ; 1 ; 0)
a)Ch ng minh ñi m A không thu c ñư ng th ng ( D ).Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a A và ( D )
b)Tìm t a ñ các ñi m M thu c ñư ng th ng ( D ) cách ñi m A m t kho ng b ng 3
B.PH N RIÊNG : ( 3 ñi m)
H c sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n( ph n I ho c ph n II)
I)Theo chương trình chu n
1) Gi i các phương trình sau trong t p s ph c:
a) z2 +3z+4=0
b) z2 +2=0
2) Trong không gian Oxyz, tìm t a ñ ñi m H là hình chi u vuông góc c a
ñi m A(− 2 ; 1; 3 ) lên ñư ng th ng ( d) :
2
1 2
1
−
=
x
II)Theo chương trình nâng cao
1) Tìm các s ph c z trong m i trư ng h p sau:
a) z2 +i= 0
b) z4 + 1 = 0
2) Trong không gian Oxyz, vi t phương trình m t c!u ( S ) ñi qua ñi m
A(2 ; 3 ; 4) và ti p xúc v i mp(Oxy) t i ñi m H(1 ; -2 ; 0)
Lop12.net
Trang 2ĐÁP ÁN
Đ KI M TRA H C KỲ 2 ( 2009-2010) Môn Toán l p 12
A.PH N CHUNG CHO T T C H C SINH ( 7 ñi m)
Câu 1 (2,5 ñi m)
1
2 3
C x
x y
+
+
= a) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C) c a hàm s
S bi n thiên
) 1 (
1 ' 2 > ∀ ≠ − +
x
Hàm s ñ ng bi n trên các kho ng ( −∞ ; − 1 ) và ( − 1 ; +∞ ) 0,25 ñ
Hàm s không có c c tr
1
2
+
+
=
±∞
→
±∞
x Lim y Lim
x
x Lim y− và Lim y x +
Đư ng th ng y= 3 là ti m c n ngang
Đư ng th ng x= − 1 là ti m c n ñ ng 0,25 ñ
B ng bi n thiên
- Đi m không xác ñ nh
- D#u c a ñ o hàm
- Chi"u bi n thiên -Các giá tr c a gi i h n
0,25 ñ
Đ th c$t tr c Oy t i ñi m ( 0 ; 2 ), c$t tr c Ox t i ñi m (
3 2
− ;0)
V ñ th Lưu ý: Giao ñi m c a hai ti m c n là tâm ñ i x ng c a ñ th
0,25 ñ
b)Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ñ th (C), tr c Oxvà tr c
Oyvà ñư ng th ng x = 1
Giao ñi m c a ( C )v i tr c Ox : (
3 2
−
; 0 )
1
2
3 >
+
+
=
x
x
∫
+
−
= +
+
=
1
0
1 0 1
0
) 1 3
( ) 1
1 3 ( 1
2 3
x Ln x dx x
dx x
x
y= − và tr c
Ox Quay hình ph ng này xung quanh tr c Ox Tính th tích kh i tròn xoay
ñư c t o nên
y = − v i tr c Ox : y = 0 , x = ±2 0,25 ñ
Lop12.net
Trang 3V y th tích kh i tròn xoay c!n tìm là
−
−
−
+
−
= +
−
=
2
2 2
5 3 4
2 2
2
2 2
) 5 3
8 16 ( )
8 16 ( )
4
15
512 ) 5
32 3
64 32 (
Câu 3 (1,5 ñi m)
Tính các tích phân :
1
0
2
1dx
x x
Đ t u =x2 +1 thì du=2xdx 0,25 ñ
Ta có :x = 0 thì u= 1
x = 1 thì u = 2
V y I =
3
1 8 )
3
( 2
2
1 2
1
=
b) J=∫ 1
0
dx e
x
x x
x e thì v e e
v' = 1 = − = − − (ta ch n v là m t nguyên hàm c a v’)
Ta có J=
e
e e
e
e e dx e e
1
0
1 0
−
= +
− +
−
=
− +
−
= +
0,5 ñ Câu 4 (2 ñi m)
Trong không gian Oxyz, cho ñư ng th ng (D) :
−
=
−
=
+
=
t 1 z
2t 3 y
t 2 x
và ñi m A(2 ; 1 ; 0)
a)Ch ng minh ñi m A không thu c ñư ng th ng ( D ).Vi t phương trình m t ph ng (P) ch a A và ( D )
Th t a ñ ñi m A vào phương trình tham s c a ( D ) :
) ( 1 t
0 t t
1 0
2t 3 1
t 2 2
lý vô
=
=
⇔
−
=
−
=
+
=
Đư ng th ng ( D ) ñi qua B(2 ; 3 ; 1) và có vectơ ch% phương
=
→
D
a (1 ; - 2 ; -1) Mp(P) ch a ( D ) và ñi m A nên ñi qua A, có vectơ pháp tuy n là
=
→
] , [a AB
(AB→ = ( 0 ; 2 ; 1 )) Phương trình mp(P):
0 1 2 0
2 ) 1 )(
1 ( 0 ) 2
b)Tìm t a ñ các ñi m M thu c ñư ng th ng ( D ) cách ñi m A m t kho ng b ng 3
Đi m M thu c (D) nên : M(2+t ; 3 -2t ; 1-t) 0,25ñ
Kho ng cách gi&a hai ñi m A , M :
AM= ( 2 +t− 2 )2 + ( 3 − 2t− 1 )2 + ( 1 −t)2 = 3
Lop12.net
Trang 41 2
0 4 10 6 3 ) 1 ( ) 2 2
0,25ñ
3
4
; 3
11
; 3
5
0,5 ñ
B.PH N RIÊNG : ( 3 ñi m)
I)Theo chương trình chu n
1) Gi i các phương trình sau trong t p s ph c:
a) z2 + 3z+ 4 = 0
Ta có ∆ = 9 − 16 = − 7
∆ có hai căn b c hai là : ±i 7 Phương trình có hai nghi m :
2
7
3 i
z= − ±
0,75 ñ
b) z2 +2=0⇔ z2 =−2=2i2 ⇔z =±i 2 0,75 ñ
2) Trong không gian Oxyz, tìm t a ñ ñi m H là hình chi u vuông góc c a
ñi m A(-2 ; 1; 3 ) lên ñư ng th ng ( d) :
2
1 2
1
−
=
x
Phương trình tham s c a ñư ng th ng ( d):
+
−
=
−
=
+
=
t z
t y
t x
2 1 2
3
0,25 ñ
Đư ng th ng (d ) có vectơ ch% phương là a→d =(1 ; -2 ; 2) 0,25 ñ
Đi m H thu c (d) : H ( 3 + t ; -2t ; -1 + 2t) 0,25 ñ
) 2 4
; 2 1
; 5
Ta có AH vuông góc v i ( d) nên AH→ .a→d = 0 ⇔ 5 +t+ 2 + 4t− 8 + 4t = 0
9
1
=
9
7
; 9
2
; 9
28 − −
0,25 ñ Cách khác :
Xét m t ph ng (P) qua A và vuông góc v i ñư ng th ng ( d)
Vi t phương trình mp(P) qua A( -2 ; 1 ; 3 ), có vectơ pháp tuy n là
=
→
d
a (1 ; -2 ; 2) Mp(P) : ( x+2)1 + (y-1) (-2) + ( z-3)2 = 0⇔ x-2y+2z-2 = 0
H chính là giao ñi m c a (d) và mp(P):
=
− +
−
+
−
=
−
=
+
=
0 2 2 2
2 1 2 3
z y x
t z
t y
t x
9
7
; 9
2
; 9
28 − −
Lop12.net
Trang 5II)Theo chương trình nâng cao
1) Tìm các s ph c z trong m i trư ng h p sau:
a) z2 +i= 0
Ta có z2 +i= ⇔z2 = −i
0
Nên z là các căn b c hai c a s ph c −i
Ta ñ t z=a+bi v i a, b là các s th c thì :
(a+bi)2 =−i⇔a2 −b2 +2abi=−i
=
−
=
−
=
=
⇔
=
−
=
⇔
−
=
±
=
⇔
−
=
=
−
⇔
2 2 2 2
2 2 2 2 1
2 1 2
1 2
0
2
2 2
b
a v b
a a
b a ab
b a ab
b a
2
2 2
2 −
2
2 2
2 +
−
b) Ta có z4 + 1 = 0 ⇔ z4 = − 1 =i2 ⇔ (z2 =i)v(z2 = −i)
i z
v i z
v i z
v i z
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
+
−
=
−
=
−
−
= +
=
⇔
0,5 ñ
2) Trong không gian Oxyz, vi t phương trình m t c!u ( S ) ñi qua ñi m A(2 ; 3 ; 4) và ti p xúc v i mp(Oxy) t i ñi m H(1 ; -2 ; 0)
G i I là tâm c a m t c!u thì I thu c ñư ng th ng ( d) qua H, vuông góc
v i mp(Oxy)
Đư ng th ng ( d) qua H ( 1 ; -2 ; 0 ) và có VTCP là ( 0 ; 0 ; 1 )
Phương trình ñư ng th ng ( d )
+
=
+
−
=
+
=
t z
t y
t x
0
0 2
0 1
0,5 ñ
Tâm I thu c ( d) : I ( 1 ; -2 ; t)
Ta có :
) 4 ( ) 3 2 ( ) 2 1 ( )
2 2 ( ) 1 1
4
21 8
16
4
21
; 2
;
Bán kính m t c!u ( S ) : IH =
4
21
) 4
21 ( ) 4
21 ( ) 2 ( ) 1
H T
Lop12.net