Chuyên đề: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan (cho học sinh TB và yếu)

Sơ đồ khảo sát hàm số + Tập xác định hàm số + Chiều biến thiên  Tính đạo hàm  Giải phương trình y '  0  Tính giới hạn hàm số khi x    Lập bảng biến thiên  Kết luận các khoảng đồ[r]

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ : KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ

A Hàm bậc ba :

I Sơ đồ khảo sát hàm số

+ Tập xác định hàm số

+ Chiều biến thiên

 Tính đạo hàm

 Giải phương trình y' 0

 Tính giới hạn hàm số khi x 

 Lập bảng biến thiên

 Kết luận các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số, cực trị của hàm số

+ Vẽ đồ thị hàm số

 Tìm các điểm đặc biệt ( giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ , điểm uốn hoặc các điểm khác )

 Biểu diễn các điểm cực trị và các điểm đặc biệt lên hệ trục tọa độ Oxy , dựa vào chiều mũi tên trong bảng biến thiên để vẽ đồ thị của hàm số

CHÚ Ý : Hàm số bậc ba có hai cực trị hoặc không có cực trị

Pt y’ = 0 có

hai nghiệm

phân biệt

2

-2 O

2

-2

Pt y’ = 0 có

Pt y’ = 0 vô

4

2

II Các dạng toán liên quan thường gặp

1 Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên R

 Miền xác định : D = R

Trang 2

 Tính đạo hàm y'

 Hàm số đồng biến trên R

0



 

 



2 Hàm số có cực đại và cực tiểu

 Hàm số có cực đại và cực tiểu  y' 0 có hai nghiệm phân biệt    0

3 Hàm số đạt cực trị tại x0

 Hàm số đạt cực trị tại khi : x0 0

0

'( ) 0 ''( ) 0

y x







4 Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Các bước thực hiện :

Giả sử biện luận theo m số nghiệm của phương trình f x m( ; ) 0

 Biến đổi phương trình đã cho thành : g x( )h m( ) (1)

 (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C) y g x ( ) và đường thẳng d y h m:  ( ) Do đó số giao điểm của chúng chính là

số nghiệm của phương trình (1)

 Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận theo 5 trường hợp sau : + h m( ) < giá trị cực tiểu : phương trình có 1 nghiệm + h m( ) = giá trị cực tiểu : Phương trình có 2 nghiệm + Giá trị cực tiểu < h m( ) < giá trị cực đại : Phương trình có 3 nghiệm

+ h m( ) = giá trị cực đại : Phương trình có 2 nghiệm + h m( ) > giá trị cực đại : Phương trình có 1 nghiệm

5 Số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) :C y f x( ) và đường thẳng d :

( )

y g x

 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d : f x( )g x( ) (2)

 Biến đổi (2) thành dạng phương trình tích số , giả sử (2) có nghiệm là ta có x0

(2) f x( )g x( ) 0

 2

0

(x x ax )( bx c ) 0 0

2

x x

g x ax bx c







Trang 3

Tùy theo yêu cầu của bài toán , ta lập luận liên quan đến số nghiệm của (2) , dẫn đến điều kiện về nghiệm của (3)

6 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

a Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) y f x( ) tại điểm

( ; ( ))

M x f x

 Tính đạo hàm y' f x'( )

 Tính f x'( )0

 Áp dụng công thức : y f x'( )0 x x 0 f x( )0

Chú ý : Nếu đề bài chỉ cho ta phải tìm x0 y0  f x( )0

Nếu đề bài cho , ta phải tìm bằng cách giải phương y0 x0

trình f x( )y0

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) y f x( ) khi biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k

 Tính đạo hàm y' f x'( )

 Gọi M x y( ; ) ( )0 0  C là tiếp điểm Ta có : f x'( )0 k

 Giải phương trình trên tìm , suy ra x0 y0  f x( )0

 Áp dụng công thức : y f x'( )0 x x 0 f x( )0

Chú ý : Đôi lúc đề bài không cho trực tiếp giá trị k mà gián tiếp cho

nó thông qua quan hệ giữa hai đường thẳng là song song nhau hoặc vuông góc nhau Khi đó ta phải đi tìm k bằng các điều kiện sau : Giả sử có hai đường thẳng d y kx m:   và d y k x n' :  ' 

/ / ' '

 

Bài tập rèn luyện :

Bài 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số:

1 y x 33x2 tại điểm trên (C) có hoành độ bằng 2

2 y x 4x2 tại điểm trên (C) có tung độ bằng 8

3 2 3 tại giao điểm của (C) với trục tung

x y

x







Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số

1 y x 33x2 2 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9

2 y x 42x2 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y24x

3 2 3 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

x y

x







1 2

Trang 4

Bài 3 : Tìm m để hàm số:

1 y x 33(m1)x2(2m23m2)x m m ( 1) có cực đại và cực tiểu

2 y(m2)x23x2mx5 có cực đại và cực tiểu

3 y x 33mx2(m21)x2 đạt cực đại tại x 2

Bài 4 : Tìm m để hàm số :

1 y x 3(m2)x2(m2)x2 đồng biến trên R

3

Bài 5 : Chứng minh rằng hàm số sau luôn có cực đại và cực tiểu :

y x  mx  m  x m

Bài 6 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của các hàm số :

1 y x 33x2 9x1 2 y x 33x23x5 3

y  x x 

4 y(x1) (42 x) 5 3 2 1 6

x

y  x x  x

Bài 7 : Cho hàm số y  x3 3x21 có đồ thị là (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Biện luận theo k số nghiệm của phương trình : x33x2 k 0

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm , biết x0 y x''( ) 00 

Bài 8 : Cho hàm số y x 33x22 có đồ thị là (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24

Bài 9 : Cho hàm số 1 3 3 2

5

2 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x36x2 m 0 có ba

nghiệm phân biệt

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 2

Bài 10 : Cho hàm số y2x33x21 , có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm tọa độ giao điểm của (C) với đường thẳng d: y x 1

3 Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình : 2x33x2 m 0

Bài 11 : Cho hàm số y  x3 3x22, có đồ thị (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = -2

3 Tìm m để đường thẳng d : y mx 2 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt

Bài 12 : Cho hàm số y2x33(m21)x26mx2m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x 1

Trang 5

B Hàm số trùng phương

 Giải phương trình y' 0

 Tính giới hạn hàm số khi x 

 Kết luận các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số, cực trị của hàm số

 Tìm các điểm đặc biệt ( giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ , các điểm khác )

 Biểu diễn các điểm cực trị và các điểm đặc biệt lên hệ trục tọa độ Oxy , dựa vào chiều mũi tên trong bảng biến thiên để vẽ đồ thị của hàm số

CHÚ Ý : Hàm số trùng phương : y ax 4bx2c a ( 0)có 1 cực trị khi a và b cùng dấu hoặc b = 0, có 3 cực trị khi a và b trái dấu

Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a 0)

Pt y’ = 0 có

ba nghiệm

phân biệt

-2

2

Pt y’ = 0 có

-2

II Các dạng toán thường gặp giống như hàm số bậc ba

III Bài tập rèn luyện :

Bài 1 : Cho hàm số 1 4 2 3 có đồ thị là (C)

3

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của đồ thị hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 2

3 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x46x2  1 m 0

Trang 6

Bài 2 : Cho hàm số : y (1 x2 2) 6 có đồ thị là (C)

2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : m x 42x2 0

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24

Bài 3 : Cho hàm số y  x4 2x2 3 có đồ thị là (C)

2 Dựa vào đồ thị (C), xác định m để phương trình : x42x2 m 0 có

4 nghiệm phân biệt

Bài 4 : Cho hàm số 4 2( 2 1)

4

x

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với oy

Bài 5 : Cho hàm số y  x4 x26

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1

6

Bài 6 : Cho hàm số y x 46x25 có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ dồ thị (C) của hàm số

2 Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt :

2

x  x  m

Bài 7 : Cho hàm số y x 4(3m2)x23m (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0

2 Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị của hàm số (1) tại 4 điểm phân biệt

C HÀM NHẤT BIẾN

 Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

 Kết luận các khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số

 Tìm các điểm đặc biệt ( giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ , các điểm khác )

 Biểu diễn các điểm đặc biệt lên hệ trục tọa độ Oxy , dựa vào chiều mũi tên trong bảng biến thiên để vẽ đồ thị của hàm số

Trang 7

CHÚ Ý : Hàm số nhất biến không có cực trị , đồ thị luôn có đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang và nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

Hàm số y = (  0 ,   0 )



bc ad c

d cx

b ax

D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0

4

2

4

2

-2

Bài 1 Cho hàm số 2 1 (C)

1

x y x







1 Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ 1

2

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ 1

2

4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến

3

5 Tìm m để đường thẳng  : 5 2 cắt (C) tại 2 điểm phân

3

biệt

Bài 2 Cho hàm số 1 (C)

1

x y x







2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ 1

2

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song

9

2

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  2

1

8

5 Tìm m để đường thẳng  3 : 2 1 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm

3

phân biệt có hoành độ âm

Trang 8

1

x y x







2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  1 : 8 1

5 Tìm m để đường thẳng  2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm

1

3

phân biệt có hoành độ dương

1

x y

x







2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

3 Tìm m để đường thẳng  d1 :y mx 2m7 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB

4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d2 :x y  2 0

5 Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên

2

x y

x







2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ hai

3 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M 3;4 và tiếp xúc với đồ thị (C)

4 Tìm m để đường thẳng  d1 :y mx  3 m đồ thị (C) tại hai điểm A,

B phân biệt Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB

x y

x







2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai

3 Viết phương trình đường thẳng qua điểm 3;6 và tiếp xúc với

5

đồ thị (C)

Trang 9

5 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai đường tiệm cận của (C) là một hằng số

1

x y x







2 Tìm m để đường thẳng  d :x y m  0 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B

3 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai đường tiệm cận của (C) là một hằng số

1

x y x







2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và đường thẳng  d1 :y x

1

x y x







1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm những điểm trên (C) sao cho khoảng từ điểm đó đến trục hoành gấp đôi khoảng cách từ đó đến trục tung

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại những điểm tìm được ở câu

2

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	167,69 KB