• Đầu tiên ta chọn ra 2 học sinh để làm lớp trưởng và lớp phó, chú ý rằng hai chức danh đó là khác nhau Một cách xếp 2 học sinh làm lớp trưởng và lớp phó là một chỉnh hợp chập 2 của 40 S[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010
Mụn thi : TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề
I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Cõu I (2,0 điểm)Cho hàm số (C)
1 x
2 x y
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
2 Cho điểm A(0;a) Xác định a đẻ từ A kẻ )*% hai tiếp tuyến tới (C) sao cho
hai tiếp điểm )./ ứng nằm về hai phía trục ox
Cõu II (2,0điểm)
0 22 2
0 9 6 4
2 2
2 2 4
y x
y x
y y x x
Cõu III (1,0điểm) Tớnh tớch phõn I=
4 4
6x 1
dx
Cõu IV (2,0 điểm)Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a,
SO(ABCD) Gọi M, N lần 9)* là trung điểm của SA và BC Tính góc giữa )C/ thẳng MN
và mặt phẳng (ABCD) và thể tích khối chóp M.ABCD, biết rằng
2
10
a
MN
Câu V (1 điểm) Cho ba số a, b, c sao cho
1
0 , ,
abc
c b a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA = a3b c
1
a c
b3
1
b a
c3 1
Phần Riêng: (3 điểm)
Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2 điểm) 1)Cho ABC có PT hai cạnh là: 5x2y60, 4x7y-210.Trực tâm của
tam giác trùng với gốc toạ độ O, lập +)./ trình cạnh còn lại.
2.Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d với
d : x 1 y 1 z Viết phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng đi qua điểm M,
cắt và vuụng gúc với đường thẳng d và tìm toạ độ của điểm M’ đối xứng với M qua d
Câu VII.a (1 điểm) Một lớp học có 40 học sinh, cần cử ra một ban cán sự gồm một lớp
4)X/8 một lớp phó và 3 ủy viên (Biết rằng không phân biệt các chức danh là ủy viên) Hỏi
có bao nhiêu cách lập ra một ban cán sự.
B Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm) 1)Trong măt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(4;3), đường thẳng (d) :
x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 cắt nhau tại M Tỡm B( ) àd v C( ')d sao cho
A là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MBC
2) Trong kg Oxyz cho đường thảng ( ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0
Viết PT mặt cầu(S) cú tõm I và khoảng cỏch từ I đến mp(P) là 2 và mặt cầu(S) cắt mp(P
)theo giao tuyến đường trũn (C)cú bỏn kớnh r=3
Trang 2Câu VII.b (1 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để )C/ thẳng y 2 xm cắt đồ thị hàm
số tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục
x
x
x
2
tung.
_ Hết _
HƯỚNG DẨN GIẢI
I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Cõu I 1/*-Tập xác định:D=R\{1}
*-Sự biến thiên
) 1 x (
3 '
Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng( ;1) và (1; )
b-Cực trị:hàm số không có cực trị
1 x
2 x (
lim
) 1 (
1 x
2 x (
lim ) 1 ( x hàm số có tiệm cận đứng x=1
hàm số có tiệm cận ngang
1 x
2 x ( lim
d-Bảng biến thiên: x - 1 +
y 1 +
- 1
1
*-Đồ thị:
Đồ thị nhận I(1; ) làm tâm đối xứng1
Giao với trục toạ độ:Ox (-2 ; 0)
Oy (0; 2)
2/(1,0 điểm) I)./ trình tiếp tuyến qua A(0;a) có dạng y=kx+a (1)
) 3 ( k ) 1 x ( 3
) 2 ( a kx 1 x
2 x
2
1
x
Thay (3) vào (2) và rút gọn ta )*%J( a 1 ) x2 2 ( a 2 ) x a 2 0 ( 4 )
Để (4) có 2 nghiệm x 1 là:
2 a
1 a 0
6 a 3 '
0 3 ) 1 (
1 a
Hoành độ tiếp điểm x1; x2 là nghiệm của (4)
1 x
2 x y
1
1 1
1 x
2 x y
2
2 2
2
-2
5 y
x o
-2
1 1
Trang 3Để hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục ox là: 0
) 2 x )(
1 x (
) 2 x )(
2 x ( 0 y y
2 1
2 1
2
Vậy thoả mãn đkiện bài toán
3
2 a 0 3
6 a 9 0 1 ) x x
(
x
x
4 ) x x
(
2
x
x
2 1
2
1
2 1
2
1 a 3
2
Cõu II (2,5 điểm) 1) Giải PT : 2 2 2 1 (1)
Bg: (1)
2
5
2 (1,0 điểm)Giải hệ phương trình:
0 22 2
0 9 6 4
2
2
2 2
4
y x
y
x
y y x
x
* Hệ phương trình tương đương với
0 22 )
2
(
4 ) 3 (
)
2
(
2 2
2 2
2
x
y
x
y
Dat * Thay vào hệ phương trình ta có:
2
2
3
4
u v
u v u v
2 hoặc
0
u
v
0 2
u v
thế vào cách đặt ta được các nghiệm của hệ là : 2; ; ; ; :
3
x y
2 3
x y
2 5
x y
2 5
x y
4 4
6x 1
dx
* Đăt t = -x => dt = -dx
* Đổi cận: ;;
I =
4 2
4
Cõu IV (2,0 điểm)Trong kg Oxyz cho đường thảng ( ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0
Viết PT mặt cầu(S) cú tõm I và khoảng cỏch từI đến mp(P) là 2 và mặt cầu(S) cắt mp(P )theo giao tuyến đường trũn (C)cú bỏn kớnh r=3
Bg:m cầu(S) cú tõm I g sửI(a;b;c ) =>(a;b;c) thoả mản PT của (1)
*d I P ; 2 (2)
Từ (1) và(2) ta cú hệ PT:
2
a b c
b t
c t
2
Trang 4Vậy cú 2 mặt cầu theo ycbt :
1
2
V
(1 điểm) Đặt x = Khi đó:
c
z b
y a
1 ,
1 , 1
(*)
x y
z z x
y z y
x A
1 1 1 1 1 1
3 3
3
2
3
3 3
3
xy z x z
xz y z y
yz x
y x
z x z
y z y
x A
2
c b
a
2 2
2
a b
c a c
b c b
a
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số V)./ ta có:
a c b c b
a
2
b a c a c
b
2
c b a b a
c
2
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có :
2
c b
a
2 2
2
a b
c a c
b c b
a
Bạn đọc tự đánh giá dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
2
3 2
3 2
3 2
2 2
z y x y x
z x z
y z y x
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 Vậy minA = khi a = b = c =
2
3
1
0,25
0.5
0,25
1 ( 1,0 điểm )
Ta giả sử tam giác ABC có cạnh AB :
0 6 2
5x y AC: 4x7y-210, suy ra tọa độ của
A là nghiệm của hệ +)./ trình:
, giải hệ suy ra A(0; 3)
21 7 4
6 2 5
y x
y x
Nhận thấy A thuộc Oy, OA là )C/
cao của tam giác, OABC BC//Ox
suy ra +)./ trình của BC có dạng y = y0
i)C/ cao BB’ đi qua trực tâm O và vuông góc với AC suy ra BB’ có +)./ trình là: 7(x – 0) - 4(y – 0) = 0 hay BB’: 7x – 4y = 0
Điểm B =BB' AC tọa độ của B là nghiệm của hệ +)./ trình:
7
4 6
2 5
0 4 7
y
x y
x
y x
i)C/ thẳng đi qua B(- 4; - 7) và song song với Ox chính là )C/ thẳng BC suy ra +)./ trình cạnh BC: y = - 7
Vậy +)./ trình cạnh còn lại của tam giác ABC là y = -7
0,25 0,25
0,25 0,25
VI.a
(2 điểm)
2 ( 1,0 điểm )
• i)C/ thẳng (d1) và (d2) lần 9)* có
véctơ chỉ +)./ là:
1
1 0
0 1
; 0 8
1 0
; 8 1
0 0
= (0; -8; 1),
(-1; 1; 2)
2
u
• Do mp(P) chứa )C/ thẳng (d1) và song song với )C/ thẳng (d2) nên (P) có cặp
0,25
A
B
C O(0; 0)
A
B’
A’
(d1)
(d2)
P
M
Trang 5véctơ chỉ +)./ là u1và u2
Vậy mp(P) có véctơ pháp tuyến là:
(-17; -1; -8)
1 1
8 0
; 1 2
0 1
; 2 1
1 8 , 2
1 u u n
• mp(P) còn đi qua điểm A(1; -1; 0) (d1) I)./ trình của mặt phẳng (P) là:
17(x1)1.(y1)8(z0)0 (P):17x y8z160 (*)
(Kiểm tra điều kiện song song)
Lấy điểm M(0; 0; 2) thuộc )C/ thẳng (d2), nhận thấy M cũng thuộc (P) vậy (d2)
, không thỏa mãn yêu cầu là (d) // mp(P)
)
(P
Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu của bài toán
0,25
0,25
0,25
VII.a
(1 điểm)
• Đầu tiên ta chọn ra 2 học sinh để làm lớp 4)X/ và lớp phó, (chú ý rằng hai chức
danh đó là khác nhau)
Một cách xếp 2 học sinh làm lớp 4)X/ và lớp phó là một chỉnh hợp chập 2 của 40
Số cách xếp 2 học sinh làm lớp 4)X/ và lớp phó là 2
40
A
Còn lại 38 học sinh
• Tiếp đó ta chọn 3 học sinh làm ủy viên (không phân biệt thứ tự)
Số cách chọn 3 học sinh làm ủy viên là 3
38
C
• Theo qui tắc nhân ta có số cách chọn ra một ban cán sự là :
cách 13160160 383
2
40C
A
0,25
0,25
0.5
1 ( 1,0 điểm )
SO(ABCD) Dựng MH//SO, H thuộc AC,
khi đó MH (ABCD), suy ra góc giữa
)C/ thẳng MN với mp(ABCD) chính là
góc M NˆH Ta cần tính
Xét tam giác CNH có :
2
, 4
2 3
4
CN
a AC
0 2
2 2
45 cos
2HC CN CN
HC
Hay
4
3 4 8
4
10
a
HN
2
1 10
2 4
10
a
a MN
HN
Dẫn đến 600. Vậy góc giữa )C/ thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 600
Thể tích khối chóp M.ABCD.
Trong tam giác HMN có,
8
30 2
3 4
10 60
tan 60
HN
MH
MH là chiều cao của khối chóp M.ABCD Vậy thể tích của khối chóp này là:
24
30 8
30 3
1
3
a MH S
0,25
0,25
0,25 0,25
VI.b
(2 điểm)
2 ( 1,0 điểm )
• Ta có AB(0; 1; -2),AC (-1; 0; -1)
• Do )C/ thẳng DH vuông góc với
AB , AC nên )C/ thẳng DH có véctơ
chỉ +)./ là uAB,AC
= 10 12;12 01;01 01
0,25
C A
S
B
D
O
N H
M
a
2 10
a
Trang 6Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn d, ta cú MH là đường thẳng đi qua M,
cắt và vuụng gúc với d
d cú phương trỡnh tham số là:
Vỡ H d nờn tọa độ H (1 + 2t ; 1 + t ; t).Suy ra :MH = (2t 1 ; 2 + t ; t)
Vỡ MH d và d cú một vectơ chỉ phương là = (2 ; 1 ; 1), nờn :u
2.(2t – 1) + 1.( 2 + t) + ( 1).(t) = 0 t = Vỡ thế, 2 =
MH
u MH
Suy ra, phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng MH là: x 2 y 1 z
Theo trên có ( ;7 1; 2) mà H là trung điểm của MM’ nên toạ độ M’
3 3 3
_Hết _
= (-1; 2; 1)
i)C/ thẳng DH còn đi qua điểm D(1; 1;
1) nên ta có +)./ trình tham số của
)C/ thẳng DH là:
) ( , 1
2 1
1
R t t z
t y
t x
0,5
0,25
VII.b
(1 điểm)
I)./ trình hoành độ giao điểm:
(1) ) 0 ( 0 1 ) 1 ( 3 2
2
x x
m x
m x x
x x
Nhận thấy x = 0, không là nghiệm của +)./ trình (1) và có biệt số:
, suy ra +)./ trình (1) luôn có hai phân biệt khác
m m
0 với mọi m, tức thẳng luôn cắt )C/ cong tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m.
Theo định lí Viét ta có
3
1 2
1
a
b x
x
6
1 2
2
x I
Điểm IOy x I 0 m10 m1
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
0,25
0,25 0,25 0,25
D
H
B