Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định.[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010
Môn Toán - Khối A, B (ĐỀ T4)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1 (C)
1
x y x
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2.Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất
Câu II (2,0 điểm) 1 Giải hệ phương trình:
8 sin xcos x 3 3 sin 4x3 3 cos 2x9sin 2x11
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
1 2
1 2
1 (x 1 )e x x dx
x
Câu IV(1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a 2 , BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) Biết thể của khối tứ
3
a
diện ABCD bằng 3 15
27
a
Câu V (1,0 điểm) Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2x2y2xy1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4
P xy
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a( 2,0 điểm)
1 Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 - 2x +6y -15=0 (C ) Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng: 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A;B sao cho AB = 6
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: d1 : 2 1 và
x y z
d2 : 7 2 Xét vị trí tương đối của d1 và d2 Cho hai điểm A(1;-1;2) và B(3 ;- 4;-2), Tìm tọa
x y z
độ điểm I trên đường thẳng d1 sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho , z1 z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z24z 11 0 Tính giá trị của biểu thức A =
1 2 2
1 2
B Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b(2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2 2 1 và đường thẳng :3x + 4y =12 Từ điểm M bất kì trên
kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M(1;2;3) Lập phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba tia
Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
y y
x x
x y
y x
2 2
2
2 2
2
log 2 log 72 log
log 3 log log
………Hết………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ THI THỬ 03 NĂM 2010
1 * Tập xác định: D = R\{ - 1}
* Sự biến thiên
- Giới hạn và tiệm cận: lim lim 2; tiệm cận ngang: y = 2
; tiệm cận đứng: x = - 1
lim ; lim
- Bảng biến thiên
Ta có ' 1 2 0 với mọi x - 1
( 1)
y x
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (- ; -1) và ( -1; + )
1đ
I
2
Gọi M(x0;y0) là một điểm thuộc (C), (x0- 1) thì 0
0 0
1
x y x
Gọi A, B lần lợt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì
MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | 0 - 2| = | |
0
1
x x
1 1
x
Theo Cauchy thì MA + MB 2 0 =2
0
1
x 1
1
x
MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x0 = 0 hoặc x0 = -2.Như vậy ta có hai điểm cần tìm là
M(0;1) và M’(-2;3)
0,5
0,5
1
4
Thay (1) vào phương trình (*) ta có :
8 sin 6 x cos x 6 3 3 sin 4x3 3cos x2 9sin 2x11
2
2 2
3
8 1 sin 2 3 3 sin 4 3 3 2 9sin 2 11 4
3 3 sin 4 3 3 2 6sin 2 9sin 2 3
3 sin 4 3 2 2sin 2 3sin 2 1
0,5 0,5
Trang 3
3 2 2sin 2 1 (2sin 2 1)(sin 2 1)
Gi¶i (2) : 12 ( ) ; Gi¶i (3)
5 12
k Z
7 12
k Z
KÕt luËn :
II
2
Ta có: 2x3y32y2x2 2y x x32x y2 2xy25y3 0
Khi y0 thì hệ VN
Khi y0, chia 2 vế cho y3 0
y
t32t2 2t 5 0 t 1
Khi t1,ta có : HPT 2 1, 1
1
y x
y
0,5
0.5
III
(x 1 )e x x dx e x x dx (x )e x x dx I I
Tính I1 theo phương pháp từng phần I1 =
2
2 2
2
x
5 2
3 2
0,5đ
0,5
IV
Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH AE⊥
Ta có △ACD cân tại A nên CD AE⊥
Tương tự △BCD cân tại B nên CD BE⊥
Suy ra CD (ABE) CD BH⊥ ⇒ ⊥
Mà BH AE suy ra BH (ACD) ⊥ ⊥
Do đó BH = 𝑎 và góc giữa hai mặt phẳng
3 (ACD) và (BCD) là 𝛼
Thể tích của khối tứ diện ABCD là 𝑉 =1
3𝐵𝐻.𝑆𝐴𝐶𝐷=𝑎
3 15 27
⇒𝑆𝐴𝐶𝐷= 𝑎2 5
3⇒𝐴𝐸.𝐷𝐸 = 𝑎
3 ⇒𝐴𝐸
2
𝐷𝐸2= 𝑎45
9
0,5
0,5
𝑎 3
𝑎 2
𝑎
𝛼
H
D E C B
A
Trang 4Khi đú :𝐴𝐸2,𝐷𝐸2là 2 nghiệm của pt: x2 - 2𝑎2x + 𝑎45 = 0
9 hoặc
2 2
2 2
3 5 3
a AE
a DE
2 2
2 2
5 3 3
a AE a DE
trường hợp 𝐷𝐸2=5𝑎 vỡ DE<a
2
3 𝑙𝑜ạ𝑖 Xột △BED vuụng tại E nờn BE = 𝐵𝐷2‒ 𝐷𝐸2= 𝑎2‒𝑎
2
3 = 𝑎
2 3
Xột △BHE vuụng tại H nờn sin = 𝛼 𝐵𝐻
𝐵𝐸=
𝑎 3
𝑎 2 3
= 1
2⇒𝛼 = 45
0
Vậy gúc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là 𝛼 = 450
V
Đặt txy Ta cú: 2 1
5
xy x y xy xyxy
3
5 t 3
2
2 2 2 2 2 7 2 2 1
P
Do đú: ,
2 2
7 '
2 2 1
t t P
t
P' 0 t 0,t 1( )L
P P
4
KL: GTLN là và GTNN là 1 ( HSLT trờn đoạn )
4
2 15
1 1
;
5 3
0,5
0,5
1 Đường trũn ( C) cú tõm I(1;-3); bỏn kớnh R=5
Gọi H là trung điểm AB thỡ AH=3 và IH AB suy ra IH =4⊥
Mặt khỏc IH= d( I; Δ )
Vỡ Δ d: 4x-3y+2=0 nờn PT của Δ cú dạng
3x+4y+c=0
d(I; Δ )= |𝑐 ‒ 9|
5 = 4⇔[ 𝑐 = 29
𝑐 =‒ 11 vậy cú 2 đt thỏa món bài toỏn: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0
0,5 0,5
VIa
2 Véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là: (4; - 6; - 8) u1 ( - 6; 9; 12)
2
u
+) và u1 cùng phương
2
u
+) M( 2; 0; - 1) d1; M( 2; 0; - 1) d2 Vậy d1 // d2.
*)AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d1
Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d1 Ta có: IA + IB = IA1 + IB A1B
IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B
Khi A1, I, B thẳng hàng I là giao điểm của A1B và d
Do AB // d1 nên I là trung điểm của A1B
*) Gọi H là hình chiếu của A lên d1 Tìm được H 36 33 15; ;
29 29 29
0,5
I
A H B
Trang 5Nếu thớ sinh làm bài khụng theo cỏch nờu trong đỏp ỏn mà vẫn đỳng thỡ được đủ điểm từng phần như đỏp
ỏn quy định.
Cỏc bạn học sinh nếu cần giải đỏp cỏc thắc mắc, gặc trực tiếp hoặc giỏn tiếp Thầy Hoàng Khắc Lợi
ĐT 0915.12.45.46
-Hết -A’ đối xứng với A qua H nên -Hết -A’ 43 95; ; 28
29 29 29
I là trung điểm của A’B suy ra I 65; 21; 43
29 58 29
0,5
VIa
Giải pt đó cho ta được cỏc nghiệm: 1 1 3 2 , 2 1 3 2
2 2
2
11
4
0,5 0,5
1 Gọi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2)
Tiếp tuyến tại A có dạng 1 1 1 Tiếp tuyến đi qua M nên (1)
x x y y
Ta thấy tọa độ của A và B đều thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt
do M thuộc nên 3x0 + 4y0 =12 4y0 =12-3x0
4 0 4 0
4
xx yy 4 0 (12 3 )0
4
xx y x
Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB đi qua với mọi M thì
(x- y)x0 + 4y – 4 = 0 0 1 Vậy AB luôn đi qua điểm cố định F(1;1)
4x y y 4 0 x y1
0,5
0,5
VIb
2 Mặt phẳng cắt 3 tia Ox,Oy,Oz tại A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) có dạng
:x y z 1, , ,a b c 0
Do M nên: 1 2 3 cos 3 6
a b c abc
3 1
6
9
a
c
Mặt phẳng cần tìm: 6x+3y+2z-18=0
0,5
0,5
VIb
ĐK: x,y > 0
- hệ phương trỡnh
y y
x x
x y
y x
2 2
2
2 2
2
log 2
log 3 log 2 3
log 3 log log
- Suy ra: y = 2x
1 3 log 2
1
2
x
1 3 log 2
2
2
y
0,5 0,5