Qua A dựng mặt phẳng P vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng P và hình chóp... Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có .[r]
Trang 1kiểm tra chất lượng ôn thi Đh - cđ (Lần 2)
Môn: Toán (khối a), năm học 2009 - 2010
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm)
Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số y x3 3x2 2
1 Khảo sỏt và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Biện luận số nghiệm của phương trỡnh theo tham số m.
1 2
2
2
x
m x
x
Câu II (2.0 điểm )
1 Giải phương trỡnh: 3 4 sin22x2cos x2 1 2 sin x
2 Giải phương trỡnh: 2 3
2
Câu III (1.0 điểm) Tớnh tớch phõn
3 2 3
x sin x
cos x
Câu IV(1.0điểm) Trong khụng gian Oxyz cho đường thẳng d: và mặt phẳng
3
2 1
2
1
x
.Tỡm tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng Viết phương 0
1 2
: )
trỡnh của đường thẳng đi qua điểm vuụng gúc với d và nằm trong A (P)
Câu V:(1.0điểm) Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;2), B(2;0;2) Tỡm quỹ tớch cỏc điểm cỏch đều hai mặt phẳng (OAB)và (Oxy)
PHẦN RIấNG ( 3.0 điểm): Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trỡnh Chuẩn
Câu VI.a(2.0 điểm)
1 Cho hàm số 3 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của và chứng minh rằng
2 sin )
(
2
x
cú đỳng hai nghiệm
2 Giải hệ phương trỡnh sau trong tập hợp số phức:
i z
z
i z
z
2 5
5 5
2 2
2 1
2 1
Câu VII.a(1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC cú A ; 0 5 Cỏc đường phõn giỏc và trung tuyến xuất phỏt từ đỉnh cú phương trỡnh lần lượt là B d : x y1 1 0,d : x2 2y0. Viết phương trỡnh ba cạnh
của tam giỏc ABC.
B.Theo chương trỡnh Nõng cao
Câu VI.b (2.0 điểm)
1 Giải phương trỡnh 2 9 1
4
1 4 6 9 3
1 4
3 x x x x
2 Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường sau: y = x.sin2x, y = 2x, x =
2
Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều SABCD cú cạnh bờn bằng a và mặt chộo SAC là tam giỏc
đều Qua dựng mặt phẳng A (P) vuụng gúc với SC.Tớnh diện tớch thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P)
và hỡnh chúp
…Hết đề …
Họ và tên thí sinh: ……… ……… ; Số báo danh:
Trang 2ĐÁP ÁN Câu I 2 điểm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x 33x22.
Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R.
Sự biến thiên: y' 3x26x. Ta có 0 0
2
x y'
x
0,25
Bảng biến thiên:
y' 0 0
y
2
0,25 a)
Biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m.
1 2
2
2
x
m x
x
Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 Do đó số nghiệm
1
m
x
của phương trình bằng số giao điểm của yx22x2x1, C' và đường thẳng y m,x 1.
0,25
1
f x khi x
f x khi x
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x1.
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x1 qua Ox.
0,25
Dựa vào đồ thị ta có:
+ m 2: Phương trình vô nghiệm;
+ m 2: Phương trình có 2 nghiệm kép;
+ 2 m 0: Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+ m0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
0,25 b)
0,25 Câu II 2 điểm
Giải phương trình 3 4 sin22x2cos x2 1 2 sin x
Biến đổi phương trình về dạng 2sin x3 2 sin x 1 2sin x 1 0 0,75 a)
Do đó nghiệm của phương trình là
0,25
Trang 3 Điều kiện: 0 2 1 1
Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho
0,25
Với x1 Đặt t log x2 và biến đổi phương trình về dạng
0
1 t 4t 1 2 t 1
0,5
Giải ra ta được 1 2 4 1 Vậy pt có 3 nghiệm x =1;
t ;t x ; x .
1 4
2
0,25
Câu III 1.0 điểm
Tính tích phân
3 2 3
x sin x
cos x
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có
với
3
3
3
dx J
cosx
0,25
Để tính J ta đặt t sin x. Khi đó
2
3 3
2
0,5 a)
I ln .
0,25
Câu IV 1.0 điểm
Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng A (P) Viết phương
trình của đường thẳng đi qua điểm vuông góc với d và nằm trong A (P)
Tìm giao điểm của d và (P) ta được 2 1 7
0,25
Ta có u d 2 1 3; ; ,n P 2 1 1; ; u u ;n d p1 2 0; ;
Vậy phương trình đường thẳng là 2 1 2 7
Câu V 1.0 điểm
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;2), B(2;0;2) Tìm
quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB)và (Oxy)
Trang 4, 2 2 2; ; 2 1 1 1; ;
OA OB
OAB x y z: 0
Oxy z: 0
cách đều và
; ;
N x y z OAB Oxy d N OAB , d N Oxy ,
1 3
3
Vậy tập hợp các điểm N là hai mặt phẳng có phương trình
x y z x y 3 1 z0
0.25
0.5
0.25 Câu VIa 2.0 điểm
1.
Cho hàm số 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của và chứng
2 sin )
(
2
x
minh rằng f(x)0 có đúng hai nghiệm
Ta có f ( x ) e x x cos x. Do đó f ' x 0 e x x cos x. 0,25
Hàm số y e x là hàm đồng biến; hàm số y x cosx là hàm nghịch biến
vì y' 1 sin x 0, x Mặt khác x0 là nghiệm của phương trình
nên nó là nghiệm duy nhất
x
e x cos x
0,25
Lập bảng biến thiên của hàm số y f x (học sinh tự làm) ta đi đến kết luận phương trình f(x)0 có đúng hai nghiệm
Từ bảng biến thiên ta có min f x 2 x 0.
0,5
Cho hàm số 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của và chứng
2 sin )
(
2
x
minh rằng f(x)0 có đúng hai nghiệm
Ta có f ( x ) e x x cos x. Do đó f ' x 0 e x x cos x. 0,25 2.
Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:
i z
z
i z
z
2 5
5 5
2 2
2 1
2 1
Đáp số: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)
Câu
VII.a
1.0 điểm
Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có A ; 0 5 Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là
Trang 5 Ta có A' BC BC : x3y 1 0. 0,25
Tìm được C28 9; AC : x7y35 0 . 0,25
Câu VI.b 2.0 điểm
4
1 4 6 9 3
1 4
3 x x x x
Biến đổi phương trình đã cho về dạng 2 2 2 9 2
4
1.
2
x
x log
0,5
2.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x,
x =
2
Ta có: x.sin2x = 2x x.sin2x – 2x = 0 x(sin2x – 2) =0 x = 0 DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lµ:
0
2
dx x x dx
x x x S
x
x v
dx du dx x dv
x u
2 2
2 cos )
2 2
2 2
S
0.5
0.5
Câu
VII.b
1.0 điểm
Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều Qua dựng mặt phẳng A (P) vuông góc với SC.Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp
Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC. Gọi I AC' SO. 0,25
Kẻ B' D' // BD. Ta có
2
AD' C' B'