Tìm các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Để tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số Fx trên miền D ta có thể sử dụng đạo hàm và kết hợp với việc so sánh giá trị cực đại, cực tiểu với các giá trị đặc biệt ta gọ[r]

GIÁ TR Ị LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ

- Chuyên đề này sẽ trình bày cho các bạn các phương pháp tìm giá trị lớn nhất của hàm số như: dung đạo hàm để tìm GTLN, GTNN ; dùng phương pháp chiều biến thiên hàm số, pp miền giá trị…

- Các bạn sẽ nắm vững được các pp thường gặp để tìm GTLN, GTNN bằng cách dùng hàm số

II KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Lý thuyết

a Định nghĩa:

Giả sử F(x) là hàm số xác định trên miền D Số M gọi là giá trị lớn nhất của F(x) trên miền D nếu như nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1/ F(x) ≤ M

2/ Tồn tại x0 ∈M sao cho F(x0) = M

Khi đó ta sử dụng ký hiệu: M = max F(x)

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của F(x) trên miền D nếu như nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:

1/ F(x) ≥ M

2/ Tồn tại x0 ∈M sao cho F(x0) = m

Khi đó ta sử dụng ký hiệu: m = min F(x)

Chú ý:

Trang 1

- Định nghĩa có 2 phần và ko được xem nhẹ phần nào Nói vậy vì các bạn học sinh

thường bỏ qua phần thứ 2 trong định nghĩa Nói rõ hơn:Từ F(x)≤ M x M thì chưa thể suy ra M = max F(x)

∀ ∈

Xét VD sau:

Cho F(x,y,z) =

+

x

y z +y+z

x +

+

y

x z+x+z

y +

+

z

y x +x+y

z Trên miền D = { x>0, y > 0, z > 0}

Nếu bạn làm:

+

x

y z +y+z

x ≥ 2

+

y

x z+x+z

y ≥ 2

+

z

y x+x+y

z ≥ 2

Từ đó F(x,y,z) ≥ 6 Với x>0, y > 0, z > 0 ∀

Vì thế: Max F(x,y,z) = 6 với x,y,z ∈D

Chúng tôi nói rằng bạn đã sai Vì sao?

Đơn giản bạn hãy thử lấy x = y = z =1 Khi đó F(1,1,1) = 7,5 > 6

Lý do sai là mới từ phần 1 của định nghĩa đã suy ra kết luận

- Các bạn cần phân biệt 2 khái niệm:

+ “giá trị lớn nhất của F(x) trên miền D” với “cực đại của hàm số”

+ “giá trị nhỏ nhất của F(x) trên miền D” với “cực tiểu của hàm số”

Xét VD sau:

Cho hàm số F(x) = x3 – 3x2 trên miền D = {-2 ≤ x ≤ 4}

Ta có: F’(x) = 3x2 – 6x

Lập bảng biến thiên sau:

F’(x) + 0 - 0 +

Ta thấy khi hàm số có cực đại tại (0,0) => giá trị cực đại = 0

Hàm số có cực tiểu tại (2,-4) => giá trị cực tiểu= -4 Trong khi đó dề thấy:

Max F(x) = 12 Min F(x) = -20

Trong VD này:

+ Giá trị lớn nhất của F(x) trên miền > giá trị cực đại của hàm số

+ Giá trị nhỏ nhất của F(x) trên miền < giá trị cực tiểu của hàm số

Như vậy ta có thể nói rằng: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên miền D

mang tính toàn cục; còn giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số mang tính địa phương

Dân gian có câu: “ Xứ mù thằng chột làm vua” Có thể lấy câu ví von này làm VD chứng minh cho tính địa phương của giá trị cực đại

b Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số:

- Để tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số F(x) trên miền D ta có thể sử dụng đạo hàm và kết hợp với việc so sánh giá trị cực đại, cực tiểu với các giá trị đặc biệt (ta gọi đó là các giá trị tới hạn)

- Giá trị tới hạn này thường là giá trị tại đầu mút các đoạn (mà trên đó cần tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số) hoặc là giá trị của hàm số tại các điểm mà không tồn tại đạo hàm

- Lược đồ chung của phương pháp sử dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số F(x) trên miền D cho trước như sau:

+ Tìm đạo hàm F’(x) và từ đó tìm cực đại, cực tiểu của F(x) (dĩ nhiên ta chỉ quan tâm tới cực đại, cực tiểu thuộc miền D)

+ So sánh giá trị cực đại, cực tiểu với các giá trị tới hạn trên miền D

+ Từ đó suy ra được kết luận cần tìm

1 Các bài toán đơn thuần tìm GTLN và GTNN của một hàm số:

Ví dụ 1: Cho x + y = 1, x ≥ 0, y ≥ 0 Tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = 32x + 3y

Từ x + y = 1 => y = 1 – x Thay vào P ta có:

P = 32x + 31-x = 32x +

x

3 3

Do x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 1 => 0 ≤ x ≤ 1

=> 1 ≤ 3x ≤ 3

Đặt t = 3x, khi đó ta đưa bài toán về: Tìm giá trị mã, min của hàm số:

F(t) = t2 + 3

t với 1 ≤ t ≤ 3

Ta có: F’(t) = 2t -

2

3 t

= 2 −

2

2t 3 t Lập bảng xét dấu với chú ý: 1 ≤ t ≤ 3 :

F’(t) - 0 +

Từ đó suy ra:

Min F(t) = F(3 3

2) = 339

4 với 1 ≤ t ≤ 3

Max F(t) = max {f(1), f(3)} = max {4,10} = 10 với 1 ≤ t ≤ 3

Vậy

Max P = Max F(t) = 10

Min P = Min F(t) =

1 ≤ t ≤ 3

33 9 4

Giá trị lớn nhất của P đạt được khi t = 3 <=> 3x = 3 <=> x = 1, y = 0

Giá trị nhỏ nhất của P đạt được khi

t = 33

<=> 3x = 3 3

Suy ra: x= log3 3 3

2 = 1

3log3 33

2

y = 1 - 1

3log3 3 3

2

Nhận xét: Người ta hay dung phương pháp đổi biến trong quá trình tìm giá trị max, min của

hàm số để đưa về 1 bài toán mới có cấu trúc đơn giản hơn Chỉ lưu ý 1 điều: Khi đã đổi biến thì phải đổi miền xác định của bài toán

Như VD trên miền xác định cũ là: 0 ≤ x ≤ 1 Khi chuyển sang biến t mới (do t= 3x) nền miền xác định mới là: 1 ≤ t ≤ 3

Ví dụ 2: Cho hàm số:

y= Sin

+ 2

2x

1 x

+ Cos

+ 2

4x

1 x

+ 1, Với x ∈R

Tìm giá trị max, min của hàm số trên R

áp dụng công thức Cos2u= 1 – 2sin2u, ta có thể đưa hàm số F(x) về dạng:

F(x) = -2Sin2 + 2

2x

1 x + Sin

+ 2

2x

1 x

+ 2

Đặt t = Sin

+ 2

2x

1 x

,

Với x ∈R ta có: -1 ≤

+ 2

2x

1 x

≤ 1

-Sin1 ≤ t ≤ Sin1

(Do [-1,1] ∈[-π

2,π

2] nên ta có điều trên)

Bài toán đưa về tìm giá trị max, min của hàm số:

F(t) = -2t2 + t + 2 với -Sin1 ≤ t ≤ Sin1

Ta có: F’(t) = -4t + 1

Lập bảng biến thiên:

F'(t) /// 0 ///

(bạn có biết vì sao ta có – Sin1 < 1/4 < Sin1 không?)

Từ đó suy ra:

Max F(t) = F(1/4) = 17/8

t ≤ Sin1

Min F(t) = Min {F(Sin1); F(-Sin1)}

t ≤ Sin1 = Min {-2Sin21 – Sin1 + 2; -2Sin21 + Sin1 + 2 }

= -2Sin21 – Sin1 + 2

Tóm lại:

Max F(x) = Max F(t) = F(1/4) = 17/8

x ∈R t ≤ Sin1

Min F(x) = Min F(t) = Min {F(Sin1); F(-Sin1)}

x ∈R t ≤ Sin1 = -2Sin21 – Sin1 + 2

Giá trị nhỏ nhất của F(x) đạt được khi t = - Sin1 = Sin(-1)

+ 2

2x

1 x

= Sin (-1)

<=>

+ 2

2x

1 x

= -1 (Chú ý: -1 ≤

+ 2

2x

1 x

≤ 1)

<=> (x+1)2 = 0

Giá trị lớn nhất của F(x) đạt được khi nào, các bạn tự tính

2 Bài toán giá trị lơn nhất, giá trị nhỏ nhất chứa tham số:

- Trong các bài toán này, giá trị max, min của một hàm số F(x) trên một miền D sẽ phụ thuộc vào tham số m Khi m biến thiên, nói chung các giá trị này cũng thay đổi Cần nhấn mạnh rằng phương pháp dùng đạo hàm tỏ ra có hiệu lực rõ rệt với loại bài toán này

- Có 2 loại bài toán chinhs thường gặp:

+ Tìm giá trị max, min của hàm số F(x) trên miền D theo tham số m

+ Xét 1 bài toán khác sau khi đã tìm xong giá trị max, min

Chúng ta hãy xét các VD sau:

Ví dụ 3: Cho hàm số :

y = Sin4x + Cos4x + m SinxCosx, Với x ∈R

Tìm giá trị max, min của hàm số và biện luận theo m?

Ta có y = 1 – 1

2Sin22x + m

2 Sin2x Đặt t = Sin2x Bài toán quy về: Tìm giá trị max, min của hàm số :

F(t) = -1

2t2 + m

2 t +1 với -1 ≤ t ≤ 1

F'(t) = -t + m

2 Xét các khả năng sau:

1) Nếu m ≥ 2 (khi đó m

2 ≥ 1) Ta có bảng biến thiên sau:

2 F'(t) + /// 0

Ta có:

Max F(t) =

t ≤ 1

F(1) = m+1

2

Min F(t) =

t ≤ 1

F(-1) = − +m 1

2

m

t m

F'(t) 0 /// -

F(t) ///

Ta có:

Max F(t) =

t ≤ 1

F(-1) = − +m 1

2

Min F(t) =

t ≤ 1

F(1) = m+1

2

3) Nếu -2 < m < 2 (Khi đó -1 < m

2 < 1) Ta có bảng biến thiên sau:

F'(t) + 0 - ///

Max F(t) =

t ≤ 1

F(m

2 ) = m2 +8

8

Min F(t)

t ≤ 1

= Min{f(-1); f(1)}

Nếu 0 ≤ m ≤ 2

= Min{− +m 1

2 ; m+1

2 }

=

⎧ −

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨⎪ +

⎪⎪

⎪⎪⎩

1 m 2

1 m 2

Nếu -2 ≤ m ≤ 0

Tóm lại ta đi đến kết quả sau:

+

2 Nếu 2 ≤ m + 2

8 m

8 Nếu -2 < m < 2

Max y

x ∈R

=

−

2 Nếu -2 ≤ m

Nếu 0 ≤ m Min y

x ∈R

=

⎧ −

⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨⎪ +

⎪⎪

⎪⎪⎩

1 m 2

1 m

2 Nếu m < 0

Chú ý: Có thể viết đáp số gọn hơn: VD Min y = 1+ m

2

Ví dụ 4: Cho hàm số F(x) = 4x2 – 4ax + a2 – 2a, Xét khi -2 ≤ x ≤ 0

Tìm a để: Min F(x): = 2?

-2 ≤ x ≤ 0

Ta có: F'(x) = 8x – 4a =>F'(x) = 0 khi x = a

2

Xét các khả năng sau:

1) Nếu a > 0 (tức a

2> 0) Ta có bảng biến thiên sau:

2

F'(x) 0 - /// 0

F(x) ///

Vì thế: Min F(x) = F(0) = a2 – 2a

-2 ≤ x ≤ 0 Min F(x) = 2 <=> a2 – 2a = 2

⎢

= −

⎢⎣

Vì a> 0 nên chỉ lấy giá trị: a = 1+ 3

2) Nếu a < -4 (Tức a

2< -2) Ta có bảng biến thiên sau:

F'(x) 0 /// + ///

F(x) /// ///

Vì thế: Min F(x) = F(-2) = a2 – 6a + 16

-2 ≤ x ≤ 0

Min F(x) = 2 <=> a2 – 6a + 16 = 2

<=> a2 – 6a + 14 = 0

∆ = 9 – 14 = -5 < 0 PT vô nghiệm

3) Nếu -4 ≤ a ≤ 0 (Tức -2 ≤ a

2 ≤ 0) Ta có bảng biến thiên sau:

F'(x) // - 0 + ///

F(x) // ///

Vì thế: Min F(x) = F(a

2) = – 2a

Min F(x) = 2 <=> –2a = 2

Giá trị a = -1 thỏa mãn điều kiện -4 ≤ a ≤ 0 nên chấp nhận được

Tóm lại các giá trị cần tìm của tham số a là: a = -1 và a = 1+ 3

3 Phương pháp miền giá trị hàm số

Xét bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) …? Một miền D cho…? Gọi

yo là một giá trị tùy ý của f(x) trên D, thì hệ sau đây (của x) ( ) 0 (1) có nghiệm

(2)

x D

=

⎧

⎨ ∈

⎩

Tùy dạng của hệ (1) (2) mà ta có các điều kiện có nghiệm tương ứng Trong nhiều trường

hợp, điều kiện ấy (sau khi biến đổi) đưa được về dạng α ≤ y0 ≤β(3) Vì yo là một giá trị bất

kì của f(x), nên từ (3) ta có ( ) ; ( )

Min f x α Max f x β

∈ = ∈ = Như vậy khi sử dụng phương pháp này để tìm giá trị lớn nhất của một hàm số, thực chất ta đã qui về việc tìm điều kiện để một

phương trình (thường làm có thêm điều kiện phụ) có nghiệm

Xét các thí dụ sau:

Thí dụ 1

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ( ) 2sin osx+1, ?i x R

sinx-2cosx+3

x c

Bài giải:

Để ý rằng do

3− 5 sinx-2cosx+3 3≤ ≤ + 5, x∀ , nên f(x) xác định xác định trên toàn R Gọi yo là một giá

trị tùy ý của f(x), ta có phương trình sau (của x) 0 2sin osx+1(1)

sinx-2cosx+3

x c

có nghiệm

Dễ thấy (1) <=> 2sinx + cosx + 1 = yo sinx - 2yo cosx + 3 yo

<=> (2 - yo)sinx + (1 + 2 yo)cosx = 3 yo - 1 (2)

Vì (2) có nghiệm, nên ta có

1

2

(3) suy ra ( ) 1; ( ) 2

2

Min f x Max f x

Chú ý

Nếu thay yo = 2 vào (2) ta có 5cosx = 5 <=> cosx = 1 <=> x= 2kπ Vậy Maxf(x) đạt được

khi x=2k k Zπ, ∈ (Xét tương tự cho Min(fx)

Thí dụ 2

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ( ) 2 22 7 23,

2 10

+ +

+ +

Bài giải:

Gọi yo là một giá trị tùy ý của hàm số, thì phương trình sau (của x) 0 2 22 7 23(1)

2 10

y

+ +

=

nghiệm

(1) ⇔ (y − 2)x + (2y − 7)x+ 10y − 23 0(2) =

Xét 2 khả năng:

+ Nếu yo = 2, thì (2) <=> -3x – 3 = 0 => phương trình này sẽ …? có nghiệm

+ Nếuy0 ≠2, thì (2) có nghiệm 2

Tóm lại (2) có nghiệm 3 0 5

Vì yo là giá trị tùy ý của f(x), nên ( ) 3; ( ) 5

Min f x Max f x

Thí dụ 3:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P x= 2+y2,với x, y thỏa mãn

( , )x y ∈ =D (x −y + 1) + 4x y −x −y = 0

Bài giải:

Gọi to là một giá trị tùy ý của P, khi ( , )x y ∈D Vậy hệ sau đây (của x,y)

2 2

0

(1)

⎪

⎨

2 2

2 2

0 0

(3)

⎧

Để (4) (của x) có nghiệm ta cần có 02 30 1 0 3 5 0 3 5(5

t − t + ≤ ⇔ − ≤ ≤t +

)

Với điều kiện (5) Gọi x là nghiệm của (4), và thay vào (3) ta có:4x2+4y2 =4t0 ⇔ −t02+3t0− +1 4y2 =4t0 ⇔4y2 =t02+ +t0 1(*)

(*) chắc chắn có nghiệm vì t02+ +t0 1>0

Vậy (5) là điều kiện cần và đủ để hệ (3), (4) có nghiệm Từ đó suy ra

;

x y D Min P x y D Max P

Thí dụ 4

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P x= 2−xy− 3y2,trên miền D={( , ) :x y x2 +xy y+ 2 ≤ 3}

Bài giải:

1

2

=

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

Max P=Max Max P, Max P ,(1)

Min P=Min Min P, Min P (2)

x y D x y D x y D

x y D x y D x y D

Từ ( , )x y ∈D1thì P x= 2, do đó

1

1 ( , ) ( , ) ax P=3; M in P=0 (3)

x y M D

∈

∈

Xét biểu thức

2

3

1 1

S

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Gọi α là một giá trị tùy ý của S, tức là phương trình (ẩn t)

2

2

3

(4) 1

t t

t − −t =α

+ + có nghiệm Dễ thấy

2 (4) ⇔ (α− 1)t + (α+ 1)t+ + =α 3 0 (5)

+ Nếu α = 1 thì (5) có nghiệm t = -2

+ Nếu α ≠ 1 thì (5) có nghiệm khi Δ ≥ ⇔ 0 (α+ 1)2− 4(α − 1)(α+ ≥ ⇔ − 3) 0 3α2− 6α− ≥ 11 0

2

( 1)

≠

Thử lại (5) có nghiệm 3 4 3 3 4 3

Ta có P (x2 xy y2)x22 xy 3y22 (x2 xy y S)

x xy y

− −

+ +

2

x +xy y+ ≤

Do ( 2 2) 3 khi ( ,x y) ∈D2⇒ − − 3 4 3 ≤ ≤ − +P 3 4 3 ∀ ( , )x y ∈D2

Rõ ràng hệ phương trình

3 3

=

⎪

⎨

⎪

⎩

3

có nghiệm

Như vậy

2

( , ) 3 4 3 (7)

x y D Max P

2

( , ) 3 4 3 (8)

x y D Min P

∈ = − −

Từ (1), (2), (3), (7), (8) suy ra

( , ) 3 4 3; ( , ) 3 4 3

x y D Max P x y D Min P

3 Phương pháp chiều biến thiên

Phương pháp này kết hợp việc sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đồng biến và nghịch biến của hàm số, với việc so sánh các giá trị đặc biệt của hàm số (các điểm cực trị, các điểm tới hạn) Xét các thí dụ minh họa sau:

Thí dụ 1

3 ( , , ): 0, 0, 0,

2

D=⎧ x y z x> y> z> x y z+ + ⎫

Bài giải:

Theo bất đẳng thức CoSi, ta có:

1 1 1

9 (1)

x y z

x y z

x y z x y z

P x y z

x y z

+ + ⎜ + + ⎟≥

⇒ + + ≥

+ +

⇒ ≥ + + +

+ + Đặt t = x + y + z 0<t 3

2

⇒ ≤ Xét hàm số ( ) 9,0 3

2

t

= + < ≤ ; f t'( ) 1 92

t

= −

Ta có bảng biến thiên sau:

0

t

f ’(t)

f (t)

-3 0

3

0

Vậy

3

0

2

f(t)=f

t

Min

< ≤

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

5 Từ (1) suy ra 15

2

P≥ (2) Mặt khác với 1

2

3

2

2

x y z+ + ≤ ), ta có 15

2

P= Từ đó kết hợp với (2) suy ra

15

2

MinP=

Chú ý: Nếu viết P x 1 y 1 z 1 6(*)

=⎜ + ⎟+⎜ + ⎟+⎜ + ⎟≥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tuy nhiên dấu bằng trong (*)

có <=> x = y = z = 1 Nhưng 3 3

2

x y z+ + = > Vậy không có dấu bằng trong (*)!

Thí dụ 2

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

P

+ + với ( , )x y ∈D={x y, ≥ 0,x y+ = 1}

Bài giải:

Đưa P về dạng 2 2 ( )2 2 (

)

P

Do x + y + 1, nên với ( , )x y ∈D, ta có : 2 2 (1)

2

xy P

xy

−

= +

Đặt t = xy, khi đó ( )2 1

x y

Xét hàm số ( ) 2 2

2

t

f t

t

−

= + với

1 0

4

t

≤ ≤

Ta có '( ) 6 2

(2 )

f t

t

−

=

+ , nên có bảng biến thiên (các em tự vẽ hình) dẫn đến kết luận:

Vậy

( , ) ( , )

2 1;

3

x y D Max P x y D Min P

Chú ý:

Max P đạt được

0

0, 1

1, 0

xy

x y

=

⎧

⎡

⎪

⇔ = ⇔⎨⎪ + = ⇔ ⎢ =⎣ =

≥

⎩

Min P đặt được 1 1

⇔ = ⇔ = =

Thí dụ 3

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f x( ) =x6+ 4(1 −x2)3 khi x∈ −[ 1,1]

Bài giải

6 4(1 2 3 ) 3 4(1 ) 3 3 4(1 3 3 2 3 ) 3 3 12 2 12 4

x + −x = +t −t = +t − +t t −t = − t + t − t+

Vậy

1 2 ( ) 0 1 ( ); 1 1 ( ) 0 1 ( )

Max f x Max F t Min f x Min F t

− ≤ ≤ = ≤ ≤ − ≤ ≤ = ≤ ≤

Ở đây F t( ) = − 3t3+ 12t2− 12t+ 4 với 0 ≤ ≤t 1

Ta có F t'( ) = − 9t2+ 24 12t− và có bảng xét dấu sau:

4

0

F‘(t)

F(t)

1

1

2

0 3

2

Vậy

4 ( ) 4; ( )

9

Max f x Min f x

− ≤ ≤ = − ≤ ≤ =

III CỦNG CỐ KIẾN THỨC

Bài 1

Tỉm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P=32x +3y, khi ( , )x y ∈ =D {x≥ 0,y≥ 0,x y+ = 1}

Bài giải:

Khi ( , )x y ∈ ⇒ = − x D y 1 , ở đây 0 ≤ ≤x 1, và 32 31 32 3

3

x

P= + − = +

Đặt t=3x, thì 1 ≤ ≤t 3(do 0 ≤ ≤x 1), và P t2 3 t3 3

+

Xét hàm số f t( ) t3 3

t

+

= với 1 ≤ ≤t 3

Ta có f t'( ) 2t32

t

−

= 3 Lập bảng xét dấu sau:

t

f ’(t)

f (t)

1 3

0

3 3 2

3 9 3 4

Từ đó suy ra

( , ) 1 3

( , ) 1 3

x y D t

x y D t

Min P Min f t f

= = ⎜⎜ ⎟⎟=

=

Bài 2