Giáo án môn Giải tích 12 tiết 56-58: Các phương pháp tìm nguyên hàm

Học sinh: Biết phân biệt dạng toán dung pp đổi biến số, từng phần III.Phương pháp: IV.Tiến trình bài học Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi 1: Hãy phát biểu phương pháp đổi biến số để tìm nguyên h[r]

Tiết PPCT:56-57-58

I.Mục tiêu

1.Về kiến thức:

- Hiểu được phương pháp đổi biến số và lấy nguyên hàm từng phần

2 Về kĩ năng:

- Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số không quá phức tạp

3 Về tư duy thái độ:

- Phát triển tư duy linh hoạt

-Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác

II.Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1 Giáo viên:

- Lập các phiếu học tập, bảng phụ

2 Học sinh:

Các kiến thức về :

- Vận dụng bảng các nguyên hàm, tính chất cơ bản của nguyên hàm, vi phân

III Phương pháp: Gợi mở vấn đáp

IV.Tiến trình bài học

TIẾT 1 Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi: a/ Phát biểu định nghĩa nguyên hàm

b/ Chứng minh rằng hàm số F(x) = là một nguyên hàm của hàm số

5

) 1 2 ( x2  5

f(x) = 4x(2x2 +1)4

- Cho học sinh khác nhận xét bài làm của bạn

- Nhận xét, kết luận và cho điểm

Hoạt động 1: Xây dựng phương pháp đổi biến số

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

- Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì

=

4x(2x2 1)4dx

(2x2 1)4(2x2  )'dx

=u4du= + C =

5

5

u

+ C 5

)

1

2

( x2  5

- Thông qua câu hỏi b/ , hướng dẫn hsinh đi đến phương pháp đổi biến số

=

4x(2x2 1)4dx

=(2x2 1)4(2x2  )'dx

-Nếu đặt u = 2x2 + 1, thì biểu thức ở trên trở thành như thế nào, kết quả ra sao?

- Phát biểu định lí 1

-Định lí 1 : (sgk)

Hoạt động 2 :Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng PPĐBS.

Hoạt động 3: Củng cố ( 10 phút) Hoạt động nhóm.

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

- HS suy nghĩ cách biến đổi về

dạng

 f[u(x)]u'(x)dx

- Đ1:   dx=

x

x

2

(x 1)3(x2  )'dx

1 2

Đặt u = x2+1 , khi đó :

=

(x 1)3(x2  )'dx

1

1

= u + C = (x2+1) + C

2

3 32

2

- HS suy nghĩ cách biến đổi về

dạng

 f[u(x)]u'(x)dx

Đ2:2xsin(x2  dx1) =

sin(x2 1)(x2  )'dx

Đặt u = (x2+1) , khi đó :

=

sin(x2 1)(x2  )'dx

sinudu

= -cos u + C = - cos(x2+1) +C

-HS suy nghĩ cách biến đổi về

dạng

 f[u(x)]u'(x)dx

Đ3:ecosxsinxdx=

= - ecosx(cosx)'dx

Đặt u = cos x , khi đó :

=

-ecosxsinxdx

ecosx(cosx)'dx

= -e u du= -eu +C = - ecosx +C

H1:Có thể biến đổi   dx

x

x

2

về dạng  f[u(x)]u'(x)dx được không? Từ đó suy ra kquả?

- Nhận xét và kết luận

về dạng

2xsin(x2  dx1)

? Từ đó suy ra

 f[u(x)]u'(x)dx

kquả?

- Nhận xét và kết luận

H3:Hãy biến đổi ecosxsinxdx

về dạng  f[u(x)]u'(x)dx ? Từ

đó suy ra kquả?

- Nhận xét và kết luận

Vd1: Tìm   dx

x

x

2 Bg:

=

x

x

2

(x 1)3(x2  )'dx

1 2

Đặt u = x2+1 , khi đó :

=

(x 1)3(x2  )'dx

1 2

u3du

1

= u + C = (x2+1) + C 2

3 32

2

Vd2:Tìm2xsin(x2  dx1) Bg:

=

2xsin(x2  dx1)

sin(x2 1)(x2  )'dx

Đặt u = (x2+1) , khi đó :

=

sin(x2 1)(x2  )'dx

sinudu

= -cos u + C = - cos(x2+1) +C

Vd3:Tìmecosxsinxdx

Bg:

=

-ecosxsinxdx

ecosx(cosx)'dx

Đặt u = cos x , khi đó :

=

-ecosxsinxdx ecosx(cosx)'dx

= -e u du= -eu + c = - ecosx + c

* chú ý: có thể trình bày cách khác:

=

-ecosxsinxdx ecosx d(c osx)



= - ecosx + C

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

- Các nhóm tập trung giải

quyết

- Theo dõi phần trình bày

của nhóm bạn và rút ra

nhận xét và bổ sung

- Cho HS hđ nhóm thực hiện phiếu HT1

- Gọi đại diện một nhóm trình bày

- Đại diện nhóm khác cho nhận xét

- GV nhận xét và kết luận

* Chú ý: Đổi biến số như thế nào đó để đưa bài toán có dạng ở bảng nguyên hàm

Bài tập về nhà: 6, 7 trang 145

Câu 1.Tìm kết quả sai trong các kết quả sau:

a/ e x2xdx = = e + C ; b/ = = ln x + C

2

1

 2 ( 2)

x d

e x

2

1 x2

x

x

ln

lnxd(lnx)

2

1 2

c /   dx= 2 = 2 ln(1+ ) + C ; d/ = -xcosx + C

x

x(1 )

1

x

x d

1

) 1 (

Câu 2

Tìm kết quả sai trong các kết quả sau:

a/ e x3x2dx = = e + C ; b/ = = sin x + C

3

1

 3 ( 3)

x d

e x

3

1 x3

sin2 x cos xdx

sin2 x.d(sinx)

3

c /   dx= = ln(1+ ) + C ; d/ = x.sinx + C

x

x(1 ) 2

1

TIẾT 2 Hoạt động 4:Giới thiệu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

Đ:

(u.v)’= u’.v + u.v’

(u )' v dx u'vdx u ' v dx

u dv (uv)'dx v du

= uv

-u dv v du

Đ:Đặt u = x, dv = sinxdx

Khi đó du = dx, v = -cosx

Ta có :

=- x.cosx +

xdx

x

= - xcosx + sinx + C

H: Hãy nhắc lại công thức đạo hàm một tích ?

Hãy lấy nguyên hàm hai vế, suy ra = ?

dv u



- GV phát biểu định lí 3

- Lưu ý cho HS: đặt u, dv sao cho tính dễ hơn

du v

- H: Từ đlí 3 hãy cho biết đặt u và dv như thế nào? Từ đó dẫn đến kq?

- yêu cầu một HS khác giải bằng cách đặt u = sinx, dv = xdx thử kq như thế nào

-Định lí 3: (sgk) u dv = uv -v du

-Vd1: Tìm xsinxdx

Bg:

Đặt u = x,dv = sinxdx Khi

đó du =dx,v =-cosx

Ta có :

=- x.cosx +

xdx x

 sin

= - xcosx + sinx

xdx

cos + C

Hoạt động 5: Rèn luyện kỹ năng tìm nguyên hàm bằng pp lấy nguyên hàm từng phần.

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

- Học sinh suy nghĩ và tìm ra H :- Dựa vào định lí 3, hãy đặt u, dv - Vd2 :Tìm xe dx

x



hướng giải quyết vấn đề.

Đ :Đặt u = x ,dv = exdx

du = dx, v = ex

Suy ra :

= x ex -

dx

xe x

= x.ex – ex + C

Đ: Đặt u = x2, dv = exdx

du = 2xdx, v = ex

Khi đó:

=x2.ex

-dx

e

x x



= x2.ex-x.ex- ex+C

- Đ: Đặt u = lnx, dv= dx

du = dx, v = x

x

1

Khi đó :

= xlnx -

dx

x

= xlnx – x + C

- Đăt u = lnx, dv = x2dx

du = dx , v =

x

1

3

3

x

Đ :Không được

Trước hết :

Đặt t = x dt = dx

x

2 1

Suy ra sin x dx=2tsint dt

Đặt u = t, dv = sint dt

du = dt, v = - cost



=-t.cost+

tsint dt cost dt

= -t.cost + sint + C

Suy ra:

=

dx

x

sin

= -2 x.cos x+2sin x+C

như thế nào ? Suy ra kết quả ?

H : Hãy cho biết đặt u, dv như thế nào ? Suy ra kquả ?

- Lưu ý :Có thể dùng từng phần nhiều lần để tìm nguyên hàm

- H : Cho biết đặt u và dv như thế nào ?

- Thông qua vd3, GV yêu cầu HS cho biết đối với x2lnx dx

thì ta đặt u, dv như thế nào

H : Có thể sử dụng ngay pp từng phần được không ? ta phải làm như thế nào ? + Gợi ý : dùng pp đổi biến số trước, đặt

t = x

* Lưu ý cho HS các dạng thường sử dụng pp từng phần

,

dx x x f

 ( )sin  f(x)cosx dx

dx e x

 ( ) đặt u = f(x), dv cònlại

, đặt u = lnx,dv =f(x) dx

dx x x f

 ( )ln

Bg : Đặt u = x ,dv = exdx du = dx, v = ex

Suy ra :

= x ex -

dx

xe x

= x.ex – ex + C

Vd3 : Tìm I= x e x dx

 2

Bg :Đặt u = x2, dv = exdx

du = 2xdx, v = ex

Khi đó:

=x2.ex

-dx e

x x



= x2.ex-x.ex- ex+C

Vd4 :Tìm lnx dx

Bg : Đặt u = lnx, dv= dx du = dx, v = x

x

1

Khi đó :

= xlnx -

dx x

= xlnx – x + C

Vd5: Tìm sin x dx

Đặt t = x dt = dx

x

2 1

Suy ra sin x dx=2tsint dt

Đặt u = t, dv = sint dt

du = dt, v = - cost



=-t.cost+

tsint dt cost dt

= -t.cost + sint + C Suy ra:

=

dx x

sin

= -2 x.cos x+2sin x+C

* Hoạt động 6 : Củng cố

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

- Cả lớp tập trung giải

quyết

- Theo dõi phần trình bày

của bạn và rút ra nhận

xét và bổ sung

- Treo bảng phụ và yêu cầu cả lớp chú

ý giải quyết

- Gọi 2 HS trình bày ý kiến của mình

- GV nhận xét và kết luận

V Bài tập về nhà:7, 8, 9 trang 145 và 146

Dựa vào bảng sau đây, hãy cho biết gợi ý phương pháp giải nào không hợp lý

( Đối với  f(x)dx)

f(x) = e x sinx Đặt u = e x ,dv = sinxdx hoặc u = sinx,dv = e x dx Tiết :3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

( Luyện tập)

I.Mục tiêu

1.Về kiến thức:

- Học sinh nắm vững hai pp tìm nguyên hàm

2 Về kĩ năng:

- Giúp học sinh vận dụng được 2 phương pháp tìm nguyên hàm của một số hàm số

3 Về tư duy thái độ:

- Phát triển tư duy linh hoạt

-Học sinh tích cực tham gia vào bài học, có thái độ hợp tác

II.Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1 Giáo viên :

- Bài tập sgk

- Lập các phiếu học tập

2 Học sinh:

Biết phân biệt dạng toán dung pp đổi biến số, từng phần

III.Phương pháp:

IV.Tiến trình bài học

Kiểm tra bài cũ:

Câu hỏi 1: Hãy phát biểu phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm?

Áp dụng: Tìm  2 cos dx

1

1

Câu hỏi 2:Hãy phát biểu phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm

Áp dụng: Tìm  (x+1)e dxx

- Yêu cầu một HS khác nhận xét, bổ sung

- Gv kết luận và cho điểm

Hoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Ghi bảng

Thông qua nội dung kiểm tra

- Hs1: Dùng pp đổi biến số

Đặt u = sin2x

- Hs2: Đặt u = sin2x

du = 2cos2xdx

Khi đó: sin 2x cos2xdx =5

2 1

u du = u 6 + C

12

1

= sin 6 2x + C

12

1

-Hs1: Dùng pp đổi biến số

Đặt u = 7-3x 2

- Hs2:đặt u=7+3x 2du=6xdx

Khi đó :

dx =

3x 73x2

2

1

1

2

1 3

2 23

3

3

7 x

Đ: Dùng pp lấy nguyên hàm từng

phần

Đặt u = lnx, dv = xdx

du = dx , v = x



x

1

3

2 23

Khi đó:

lnxdx =

bài cũ Giáo viên nhấn mạnh thêm sự khác nhau trong việc vận dụng hai phương pháp

- Gọi môt học sinh cho biết cách giải, sau đó một học sinh khác trình bày cách giải

-Gọi môt học sinh cho biết cách giải, sau đó một học sinh khác trình bày cách giải

H:Có thể dùng pp đổi biến số được không? Hãy đề xuất cách giải?

Bài 1.Tìm

sin cos dx

3

x

3

x

Bg:

Đặtu=sin

3

x 

du= cos dx 3

1 3

x

Khi đó: sin5 cos dx =

3

x

3

x

u du

3

1

= u 6 + C= sin 6 + C

18

1

18

1 3

x

Hoặc sin cos dx

3

x

3

x

= sin d(sin )

3

1

3

x

3

x

= sin + C

18

3

x

Bài 2.Tìm

dx

3x 73x2

Bg:

Đặt u=7+3x 2du=6xdx Khi đó :

dx =

3x 73x2

2

1

1

2

1 3

2 23

3

3

7 x

Bài 3 Tìm

lnxdx

Bg:

Đặt u = lnx, dv = xdx

du = dx , v = x



x

1

3

2 23

Khi đó:

lnxdx =

= x - x dx

3

2 23

3

2

3

x

1

= x - x + C=

3

2 23

3

2 3

2 23

= - x +C

3

2 23

Đ:Dùng pp đổi biến số, sau đó

dùng pp từng phần

Đặt t = 3x9 t =3x-92

2tdt=3dx



Khi đó: e 3x 9dx = te dt

3

2

Đặt u = t, dv = e t dt

du = dt, v = et



Khi đó: te dt=tet t - e t dt



= t e t - e t + c

Suy ra:

e dx= te t - e t + c

 3x 9

3

2

3 2

H:Hãy cho biết dùng pp nào

để tìm nguyên hàm?

- Nếu HS không trả lời được thì GV gợi ý

Đổi biến số trước, sau đó từng phần

3

2 23 3

2

3

x

1

= x - x + C=

3

2 23

3

2 3

2 23

= - x +C

3

2 23

Bài 4 Tìm  e 3x 9dx Bg:Đặt t = 3x9 t =3x-2

9 2tdt=3dx

 Khi đó: e 3x 9dx = te

3

2

dt Đặt u = t, dv = e t dt

du = dt, v = et

 Khi đó: te dt=tet t - e t dt



= t e t - e t + c Suy ra:

e dx= te t - e t + c

 3x 9

3

2

3 2

Hoạt động 7: Củng cố

Với bài toán  f(x)dx, hãy ghép một ý ở cột trái với một ý ở cột phải để được một

mệnh đề đúng

1/ f(x) = cos(3x+4)

2/ f(x) =

) 2 3 ( cos

1

3/ f(x) = xcos(x2)

4/ f(x) = x3ex

5/ f(x)= 12 sin cos

1

x

1

a/ Đổi biến số b/ Từng phần

c/ Đổi biến số

d/ Đổi biến số e/ Từng phần

V Bài tập về nhà: Tìm  f(x)dx trong các trường hợp trên * Rút kinh

nghiệm: -