Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số và các ứng dụng

VẤN ĐỀ 4: ỨNG DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Chú ý.. Tìm m để phương trình có nghiệm.[r]

CHUYÊN ĐỀ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG

 VẤN ĐỀ 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Quy tắc:

1 Tìm

2 Tính  hàm f’(x) Tìm các  x i mà  !  hàm "#$ 0 & không xác )

3 +,- .- các  x i theo 0 1 2$ 34 và 67- BBT

4 Nêu

Bài 1 Xét =< ". thiên các hàm  sau:

2

a) y 2x + 3x + 1 b) y = x 2x 3 c) y d) y

Bài 2 Xét tính

3 2

x 100



Bài 3 I0$ minh J#$

a) Hàm  2 ?$ ". trên '>$ và $) ". trên '>$

2

 

1

;1 2

b) Hàm  2 $) ". trên '>$ và ?$ ". trên

y x  x 20  ; 4

'>$ 5;

Bài 4 Xét

a) y x sin x, x 0;2 b) y x 2cos x, x ;

6 6

 

Bài 4 I0$ minh J#$

a) f x cos 2x2x3 $) ". trên R

b)   2 ?$ ". trên R

f x  x cos x

Gi ải:

a) Ta có: f '(x) 2(sin 2x 1)   0, x R và f '(x) 0 sin 2x 1 x k , k Z

4



         

Hàm  f liên P trên Q  k ; k 1 và có  hàm f’(x) < 0 5S T

      

 

        

Do !@ hàm  $) ". trên Q  k ; k 1 , k Z

       

V7C hàm $) ". trên R

b) Ta có: f’(x) = 1 – sin2x; f '(x) 0 sin 2x 1 x k , k Z

4



NX: Hàm  f liên P trên Q  k ; k 1 và có  hàm f’(x) > 0 5S T

     

 

      

Do ! hàm  ?$ ". trên Q  k ; k 1 , k Z

      

V7C hàm ?$ ". trên R

 VẤN ĐỀ 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K

Phương pháp: +Y 3P$ các '. 0 sau ZC

1 Cho hàm  y = f(x) có  hàm trên K

 :.< f '(x)  0, x K thì f(x) đồng biến trên K.

 :.< f '(x)  0, x K thì f(x) nghịch biến trên K.

2 Cho tam 0 "7 hai f(x) = ax2 + bx + c có "F 0  b2 4ac Ta có:

 f (x) 0, x R a 0

0





     



 f (x) 0, x R a 0

0





     



3 Xét bài toán: “Tìm m  hàm  y = f(x,m) ?$ ". trên K” Ta 1 F theo các

"^S sau:

 B1 Tính  hàm f’(x,m)

 B2 Lý 6<7

Hàm  ?$ ". trên Kf '(x, m)  0, x K mg(x), x K m g(x)

 B3

Bài 1

$) ". trên R ?

3 2 1

f (x) x 2x 2a 1 x 3a 2

3

Gi ải:

Ta có: f '(x)  x2 4x2a 1 ,  2a5

Hàm  $) ". trên R khi và c khi f '(x) 0, x R 0 a 5.

2

        

Bài 2

$) ". trên R ?

3 2

f (x)mx 3x  m2 x3

Gi ải:

Ta có: f '(x)3mx2 6x m 2

Hàm  $) ". trên R khi và c khi 2

f '(x)3mx 6x    m 2 0, x R

 m = 0, khi ! f’(x) = 6x 2 0 x 1: không

3

 m0, khi ! f '(x) 0, x R m 0

9 3m(m 2) 0





        



m 02 m 0 m 1

m 1 v m 3 3m 6m 9 0

           V7C@ 5S m 1 thì

Bài 3

$) ". trên a$ '>$ xác )

  3x2 mx 2

f x

2x 1





Gi ải:

1

D R \

2

 

  

 

2

2

f '(x)

2x 1





Hàm  $) ". trên a$ '>$ xác ) khi và c khi f '(x) 0, x 1

2

  

6x 6x 4 m 0, x ' 9 6(4 m) 0 m

Bài 4

luôn

mx 1 y

x m







Gi ải:

 

DR \ m

Hàm  ?$ ". trên a$ '>$ xác ) khi

2 2

m 1

y '

x m





 2

y '    0, x m m   1 0 m 1 v m 1

Bài 5

Tìm m  hàm  1 3   2   1 ?$ ". trên

y mx m 1 x 3 m 2 x

Gi ải:

y 'mx 2 m 1 x 3 m2

2;  y '   0, x 2 mx 2 m 1 x 3 m2   0, x 2

(vì x2 – 2x + 3 > 0)

 2 

2

6 2x

x 2x 3



  Bài toán Jh thành:

Tìm m  hàm    26 2x

x 2x 3



 

Ta có  

   

2

2 2

2

BBT:

x 2 3 6 

f’(x) 0 f(x) 0

2 3

 2; 

2

3

   

Bài 6

2

y



Gi ải:

Ta có:

2

2

y '





Hàm  $) ". trên   2

1;     y ' 0, x 1 mx 4mx 14   0, x 1

 2 

2

14

x 4x





Bài toán Jh thành: Tìm m  hàm    2

14

x 4x





Ta có:

 2 2

14(2x 4)

x 4x





x 1 

f’(x) f(x)

0 14

5



Ta 4 có: V7C là các giá

 1; 

14

5

     m 14

5

 

Bài tập tự giải:

f x x ax 4x + 3

3

x 1

  



y a 1 x a 1 x 3x 5 3

1 v a 2

  

Bài 4 Cho hàm    2 Xác ) m  hàm  luôn ?$ ". trên a$

y

x 1





1 m 2

Bài 5 Cho hàm  3   2  2  I0$ minh J#$ hàm  luôn $)

y  x m 1 x  m 2 xm

". trên R 5S T m

Bài 6 Tìm m  hàm  y = 3x3 – 2x2 + mx – 4 ?$ ". trên '>$ 0;

4 m

9



Bài 7 Tìm m  hàm  y = 4mx3 – 6x2 + (2m – 1)x + 1 2$ trên '>$ (0;2)

9 m

10



2

y





a) Tìm m  hàm  ?$ ". trên a$ '>$ xác )

b) Tìm m  hàm  ?$ ". trên '>$ 1;

 VẤN ĐỀ 3:

SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phương pháp:+Y 3P$ '. 0 sau:

 f(x) ?$ ". trên   a; b thì f a     f x f b , x  a; b

 f(x) $) ". trên   a; b thì f a     f x f b ,  x  a; b

Bài 1

Cho hàm  f x 2sin xtan x3x

2





 

b) I0$ minh J#$ 2sin x tan x 3x, x 0;

2



Gi ải:

2





 

Do !@ hàm  f ?$

1 cos x 2cos x 1 1

 

-

0;

2





 

b) a câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0, x 0; 2sin x tan x 3x, x 0; -

Bài 2

a) I0$ minh J#$ hàm  f x tan xx 0;

2





 

3

x



Gi ải:

2





1

f '(x) 1 tan x 0,

cos x

2



2





 

b) a câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0, x 0; tan x x, x 0;

3

x g(x) tan x x

3

2





 

2





1



2



   

2





2



  

-

3

x



Bài 3

I0$ minh J#$ : ln x 2(x 1), 5S T x > 1

x 1







Gi ải:

8i j$ 0 f cho ^E$ ^E$ 5S ln x 2(x 1) 0, x 1

x 1



 Xét hàm  2(x 1)   Ta có:

f (x) ln x , x 0;

x 1





2

x 1



Suy ra hàm  ?$ ". trên '>$ 0; nên k$ ?$ ". trên '>$ 1; V7C ta luôn có f(x) > f(1) = 0

Bài tập tự giải:

Bài 1 I0$ minh các "i j$ 0 sau:

a) sin x  x, x 0 và sin x  0, x 0

b)

2

x cos x 1 , x 0

2

   

3

x

6

6

d) sin x tan x 2x, x 0;

2



e) sin x 2x, x 0;

2



    

f) tan x sin x 5S 0 x

2



 

4



4



b) a ! suy ra J#$ tan x x, x 0;

Bài 3. I0$ minh J#$ 1 1x x2 1 x 1 1x 5S

      x0;

 VẤN ĐỀ 4:

SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM DUY NHẤT

Bài 1

Cho hàm    2

f x 2x x2

b) I0$ minh J#$ -^E$ trình 2 có m $F duy i 

2x x 2 11

Gi ải:

a) D2;

2 x 5x 8 x



b) NX: Hàm  liên P trên [2;3] và có f(2) = 0, f(3) = 18 Vì 0 < 11 < 18 nên  c  2;3 sao

là

Bài 2

Cho hàm  f(x) = sin2x + cosx

a) CMR hàm  ?$ ". trên  0; và $) ". trên 

3





 

b) I0$ minh J#$ 5S T m  1;1, -^E$ trình sin2x + cosx = m có m $F duy i <m   0;

Gi ải:

a) Hàm  f cho liên P trên  0; và có  hàm

f’(x) = 2sinxcosx – sinx = sinx(2cosx – 1), x 0;

vì khi ! sinx > 0 nên f '(x) 0 cos x 1 x



BBT:

x 0 / 3 

y’ + 0 

y 5 / 4

1 1  V7C@ hàm  ?$ ". trên  0; và $) ". trên 

3





 

b) Hàm  liên P trên  ; và Theo ) lí 5= giá J) trung gian

3



 



 

 

, ?   sao cho f(c) = 0 + c là

4



 

2x + cosx = m Vì hàm f $) ". trên ; nên -^E$

3



 

trình có $F duy i 

_ vì x 0; ta có nên -^E$ trình f nêu không có $F 5S

3



4

V7C -^E$ trình có duy i m $F <m

 

Bài 3

r> -^E$ trình: x5 x3  1 3x  4 0 (3)

Gi ải:

5S

5 3

f (x)x x  1 3x 4 x 1

3



Ta có f(x) là hàm liên ;1 và có  hàm

3

 

f '(x) 5x4 3x2 3 0, x 1

3

2 1 3x



Do ;1 p& khác f(-1) = 0, nên x = -1 là m

3

 

Bài 4

r> -^E$ trình: 2 3 x   x2 8x 14 (4)

Gi ải:

 Xét hai hàm  f (x)2 3 x và 2 xác ) và liên P trên , ta có:

g(x)  x 8x 14 ;3

   



  g '(x) 2x 8 0 x  ;3

:^ 57C f(x) là hàm  $) ".@ còn g(x) là hàm  ?$ ". trên ;3 p& khác

f(3) = g(3) = 1 nên x = 3 là

Bài 5

r> -^E$ trình: 4(x2) log (x 2  3) log (x3 2)5(x 1) (5)

Gi ải:

5(x 1) (5) log (x 3) log (x 2)

4(x 2)



 Xét hai hàm  f (x)log (x2  3) log (x3 2) và g(x) 5(x 1) là hai hàm xác ) và liên

4(x 2)







P trên '>$ 3;, ta có:

 f(x) là

 vì nên g(x) là hàm $) ".

 2

45



Bài 5

r> -^E$ trình: x 2   x 2 (6)

3.25   3x 10 5    3 x 0

Gi ải:

x-2 (t > 0) Khi !

x 2 2

x 2

1 1

5 t













Ta có:

 x 2

5

1

3

    

 Xét -^E$ trình 5x 2  3 x, ta

V7C -^E$ trình f cho có hai $F là x  2 log 3 và x5 2

Bài 5

Cho F -^E$ trình ex ey ln(1 x) ln(1 y) 

a 0

y x a





 

 I0$ minh F trên có $F duy i 

Gi ải:

Xét F ex ey ln(1 x) ln(1 y) (1) 5S =< 'F xác )



 

a (1) y = x + a,  vào (1) ta ^w  x a x (3)

e  e ln(1 x) ln(1 x    a) 0 Bài toán Jh thành 0$ minh (3) có $F duy i trên '>$  1; 

trên '>$

x a x

f (x)e  e ln(1 x) ln(1 x   a)  1; 

Ta có f(x) là hàm liên P trên '>$  1;  và có  hàm

f '(x) ex a ex 1 1

x 1 x a 1



Do a > 0 nên 5S T x > -1, ta có:

x a x

0









:^ 57C f’(x) > 0 5S T x > -1 f(x) là hàm  ?$ ". trên '>$   1; 

p& khác, ta có: x a 1 x

f (x) e (e 1) ln

1 a x



 

1 x lim f (x) lim e (e 1) lim ln

1 a x



  xlim f (x)( 1)

   

V7C@ -^E$ trình (3) có $F duy i trên '>$  1;  a ! suy ra -

Bài tập tự luyện:

r> các -^E$ trình sau:

a) x2 153x 2 x2 8

b) x2 2x 1   3 x  6 4 x6 2x 1   3 x2

 VẤN ĐỀ 4:

ỨNG DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC BIỆN LUẬN

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

a) f x a 5S T x  T a max f x 

b) f x a 5S T x  T a min f x 

c) f x a có $F a min f x 

d) f x a có $F a max f x 

Bài 1

Cho -^E$ trình  2  Tìm m  -^E$ trình có $F

m x 2x  2 1 x(2x)0

x0,1 3

Gi ải:

Xét "i -^E$ trình :  2 

m x 2x  2 1 x(2x)0 (1)

Ta xác

Xét hàm   2   5S x

Ta có:

2

x 1

x 2x 2



 

x 0 1 1 3 t’ 0 +

t 2 2

1 V7C 5S x0,1 3 thì 1 t 2

Khi ! :

(1)    5S



2

t 2 m

t 1 t [1;2] Xét hàm    vS Ta có:



2

t 2 f(t)

t 1 t [1;2]

f’(t)       V7C hàm  f 2$ trên [1; 2]



2

2

t 2t 2

0, x [1;2]

(t 1)

Do !@ yêu 4< bài toán Jh thành tìm m  (1) có $F t[1,2] 

 

 

t 1;2

2

m max f(t) f(2)

3

Bài 2

Tìm m  -^E$ trình 4 4 có y$ m $F

x 13xm   x 1 0

Gi ải:

Ta có: 4 x413xm   x 1 0 4 4

x 13x m 1 x

4







Yêu 4< bài toán Jh thành tìm m  ^{$ j$ y = -m , -4 ? ) f(x) = 4x3–6x2–9x–1 0$ 5S x 1  m  duy i 

Xét hàm  f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – 1 trên ;1

Ta có: f'(x) = 12x2 – 12x – 9 = 3(4x2 – 4x – 3)

Cho f'(x) = 0  4x2 – 4x – 3 = 0  x 1 x 3

   

x – 1 1

2

 f’(x) + 0 

f(x)

3

2 12



a ">$ ". thiên ta iC

Yêu 4< bài toán >C ra khi

    

Bài 3

Tìm m  F -^E$ trình 2x y m 0 I có $F duy i 

  







Gi ải:

Ta có:

(I) 2x y m 0 2x y m 0

VS =< 'F xy 0ta có:

x 1





 



(I)       2 (Do x = 0 không là

2

1 x

x



()

Xét hàm  f (x) x2 2x 1 x 2 1 trên 7-

Ta có hàm  f(x) liên P trên D và có  hàm 12    

f '(x) 1 0, x ;0 0;1

x

      

xlim f (x) ; limx 0 ; limx 0

        

BBT :

x – 0 1 f’(x) + +

f(x)

 2

– –

a BBT ta iC :

Yêu

Bài 4

Tìm m  -^E$ trình log x23  log x 123  2m 1 0  có ít i m $F <m 3

1;3

Gi ải:

VS x thì 2

t log x 1 3

1;3

  t [1;2]

Khi ! -^E$ trình f cho ^E$ ^E$ 5S : 2

t   t 2 2m Bài toán Jh thành tìm m  -^E$ trình 2 có $F

t   t 2 2m t [1;2] Xét hàm  f(t) = t2 + t – 2 5S t [1;2] Ta có : f’(x) = 2t + 1 > 0, 5S T t [1;2]

V7C yêu 4< bài toán >C ra khi :

x [1;2]min f (x) 2m max f (x)x [1;2] f (1) 2m f (2) 0 2m 4 0 m 2

Bài 5

Tìm m  -^E$ trình  2 2  4 2 2 có $F

m 1 x  1 x 2 2 1 x  1 x  1 x

Gi ải:

  VS , ta xác

t 1 x  1 x x [ 1;1] 

Xét hàm  2 2 5S

t 1 x  1 x x [ 1;1] 

Ta có :

, cho

 2 2

t '

x 1 0 1

t’ 0 +

t 2 2

0 V7C 5S x [ 1;1]  thì t 0; 2

a 2 2 4 2 Khi !@ -^E$ trình f cho ^E$ ^E$ 5S :

t  1 x  1 x 2 1 x  2 t

t 2

  

 Bài toán Jh thành tìm m  -^E$ trình t2 t 2 m có $F

t 2

   

 t 0; 2

Xét hàm  5S Ta có :

2

t t 2

f (t)

t 2

  



2 2

Suy ra : tmax f (t)0; 2 f (0) 1, min f (t)t 0; 2 f 2 2 1

 

        

Bây ${@ yêu 4< bài toán >C ra khi

t 0; 2 t 0; 2

min f (t) m max f (t) 2 1 m 1

          giá

Bài 6

Tìm m  -^E$ trình 2 có $F 1 phân "F 

x mx 2 2x 1

Gi ải:

 

2

2

1 x 2

x mx 2 2x 1 1

3x 4x 1 mx 2

  





NX : x = 0 không

 

2

1 x 2 (*)

3x 4x 1

m 3 x

  



 

 



Bài toán Jh thành tìm m  (3) có $F 1 phân "F 1  

2

   

2

f (x)

x

2

   

 

2 2

       BBT :

x – 0 1 f’(x) + +

f(x)

 

–

9 2

a BBT, ta iC : Yêu 4< bài toán >C ra khi m 9

2



V7C 5S m 9 thì -^E$ trình f cho có $F 1 phân "F 

2



Bài 7

Tìm m  -^E$ trình 4 2   có $F

3 x 1 m x 1 2 x 1 1

ải:

x 1

Khi ! :

 

2

4

( ) Vì nên t < 1 V7C 5S thì

4 x 1

t

x 1





Khi !@ (2) 3t2  m 2t 3t2 2t m (3)

Bây ${ bài toán Jh thành tìm m  (3) có $F t0;1

Xét hàm  f(t) = 3t2 2t trên 0;1 Ta có :

f’(t) = -6t + 2, cho f’(t) = 0 6t 2 0 t 1

3

     

t 0 1 1 f’(t) + 0 

f(t)

1 3

0 1

a BBT, ta iC yêu 4< bài toán >C ra khi 1 m 1

3

  

Bài 8

I0$ minh J#$ 5S T m > 0, -^E$ trình 2 luôn có hai $F

x 2x 8 m(x2) 1

Gi ải:

Bài 9

Gi ải:

Bài 10

Gi ải:

Bài tập tự giải

Bài 1 Tìm m  "i -^E$ trình    2 y$ 5S T

 Bài 2 Tìm m  "i -^E$ trình x 1  4 x m có $F

5

 Bài 3 Tìm m  -^E$ trình 2 có $F

2 x 2 x 4x m

  

Bài 4 Tìm m  F -^E$ trình x y 1 có $F







1

0 m

4

 