Chuyên đề Công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn

Theo công thức Pa-xcan, ta nhận thấy trong tam giác Pa-xcan tổng hai phần tử liên tiếp ở hàng trên bằng phần tử cùng cột với phần tử thứ hai ở hàng dưới Ckn  Ckn  1  Ckn 11.. Hơn n[r]

Trang 1

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84

1

Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

n

k n k k n

k

n 0



2 Tam giác Pa-xcan

Từ công thức ta thấy C k n là hệ số của a n k k  b trong khai triển a  bn Như vậy, với mỗi n   cố định thì hệ số của các lũy thừa trong khai triển là C 0 n, C 1 n, …, C n n Ta xếp các hệ số của các lũy thừa vào một bảng sao cho

+) dòng n là các hệ số của các lũy thừa trong khai triển a  bn,

+) cột k là hệ số của lũy thừa a n k k  b ,

ta được một tam giác Tam giác này được gọi là tam giác Pascal

0 0

C



Theo công thức Pa-xcan, ta nhận thấy trong tam giác Pa-xcan tổng hai phần tử liên tiếp ở hàng trên bằng phần tử cùng cột với phần tử thứ hai ở hàng dưới (C k n  C k 1 n   C k 1 n 1   ) Hơn nữa, ta thấy trong tam giác này, các phần tử nằm trên cột thứ nhất và trên cạch huyền bằng 1 Từ các

nhận xét trên, ta có cách xác định nhanh các phần tử trong tam giác Pa-xcan

Trang 2

Ví dụ Xét khai triển a  b5 Viết 6 dòng đầu tiên của tam giác Pa-xcan, ta có

1

1 1

1 5 10 10 5 1

a  b  a  5a b 10a b   10a b  5ab  a

Trang 3

3

PHẦN 2 CÁC LOẠI BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH

Loại 1 Các đẳng thức suy ra trực tiếp từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

A Một số ví dụ

Ví dụ 1 Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau

1) S 1  C 0 n  C 1 n  C n 2  C  n n,

S  C  C  C    1 C

Giải

n

k 0 k 0

n

Nhận xét: Kết quả ở câu 1) nhận được từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn khi cho

a  b  1 Kết quả ở câu 2) nhận được khi cho a  1, b   1

Ví dụ 2 Rút gọn

S 0!2012! 1!2011! k ! n k ! 2012!0!



Giải

Ta có

2012

k 0

1 S

k ! 2012 k !





 2012!S

2012

k 0

2012!

k ! 2012 k !







2012 k n

k 0

C



2012

k 2012 k k n

k 0



Trang 4



2012

2 S

2012!

Ví dụ 3 Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau:

S  C  C  C  C  , S 2  C 1 2n  C 3 2n  C 5 2n  C  2n 1 2n 

Giải

2n

Từ  1 ,  2 suy ra 1 2 2 2n 2n 1

2

S  S   2 

Ví dụ 4 Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn biểu thức

S  C  C  C  C 

Giải

Áp dụng công thức C k n  C n k n  ta có

S  C  C   C   C   C  C   C   C 

2n

 2 2n 2n 1

2

S   2 

S  C  2C  2 C    1 2 C

Giải

n

Trang 5

5

2) n k 1 n k k 1   n  5 n  n 5 n

k 0



Trang 6

B Bài tập

Bài 1 Giải phương trình C x 1 x   C x 2 x   C x 3 x     C x 8 x   C x 9 x   C x 10 x   1023

Bài 2 Tính

 k

Bài 3 Chứng minh

2004

0 2 2 4 4 2002 2002 2004 2004

2004 2004 2004 2004 2004

2



Bài 4 Tìm số nguyên dương n sao cho C 1 2n  C 3 2n  C 5 2n    C 2n 1 2n   2048

Bài 5 Rút gọn

1) S  2 C n 0 n  2 n 2  C n 2  2 n 4  C 4 n    C n n (n là số nguyên dương chẵn)

2) S  2 n 1  C n 1  2 n 3  C n 3  2 n 3  C 5 n    C n n (n là số nguyên dương lẻ)

Trang 7

7

Loại 2 Các đẳng thức thu được nhờ biến đổi số hạng tổng quát

A Nội dung phương pháp

Ta đặc biệt quan tâm đến một số biến đổi sau đây

*

n 1 !

n k ! n k ! k 1 ! n 1 k 1 ! n 1

        

Tương tự ta cũng có k k  1 C k n  n n 1 C   k 2 n 2   , …

*

k 1

k 1 k 1 k ! n k ! n 1 k 1 ! n 1 k 1 ! n 1



Tương tự ta cũng có

k 2

k 1 k 2 n 1 n 2



B Một số ví dụ



Giải

1) n  2  k k

k 0





Với mọi k  0, 1 , 2 , …, n , ta có

n 1 !

k 1 C k 1 k ! n k ! n 1 k 1 ! n 1  k 1 ! n 1 C  

 S 1   

n

k k 1 1

n 1

k 0

2 C  









n 1

h 1 h 1

n 1

h 1











 (h  k  ) 1

n 1

h h 1

n 1

h 1





n 1

h

h n 1 h 1

n 1

h 0



 







Trang 8

 1  2  n 1 1

n 1



    





  1 n 1

n 1

 



Vậy  1 n 1

1 n 1



2) n   1 k k k 1   k

3

k 2





Với mọi k  , 2 3, 4 , …, n ta có:

   n 2 !     

Trang 9

9

C Bài tập

Bài 6 Tính

1) S  C 0 2010 C 2009 2010  C 1 2010 C 2008 2009    C k 2010 C 2009 k 2010 k      C 2009 2010 1 C 0

2) [ĐHB2003] 0 n 2 2 1 1 n 2 2 1 2 n 2 2 1 n n



Bài 7 Với n là số nguyên dương, rút gọn

S  C  2C    n 1 C    nC

2) S  C n 0  2C n 1    nC n 1 n  n 1 C   n n

3) S  2.1C 2 n  3.2C 3 n    n n 1   1n C n n

4) S  3.2C n 0  4 3C n 1  n  3n  2 C n n

5)

n



6)

n 0 n 1 n n 2 n n

n

 Bài 8 Chứng minh

1) C 0 2002 C 2001 2002  C 1 2002 C 2000 2001    C k 2002 C 2001 k 2002 k      C 2001 2002 1 C 0  1001.2 2002

2) C 3 1 n 1 n   2C 3 n 2 n 2   3C 3 3 n 3 n     nC n n  n4 n 1  (n nguyên dương)

3) C 2n 0  2C 2n 1  3 C 2n 2  4 C 2n 3  2n  1C 2n 2n  0 (n nguyên dương)

4) [ĐHA07]

2n 2n 2n 2n

 (n nguyên dương)

5)

 

  (n nguyên dương)

Bài 9 [ĐHA05] Tìm số nguyên dương n sao cho

C   2.2C   3.2 C   4.2 C    2n 1 2  C    2005 ĐS: 1002

Trang 10

Loại 3 Các bài tốn về hệ số của lũy thừa trong khai triển

A Một số ví dụ

Ví dụ 1 [ĐHD04] Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển

7

3 1

4 x

x



  , với x  0 Giải

Áp dụng cơng thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta cĩ

 



 hệ số của

28 7k 12

x



trong khai triển là C k 7

Ta cĩ 28 7k

12   0  k  4  số hạng khơng chứa x trong khai triển là C 4 7  35

Ví dụ 2 [ĐHA12] Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C n 1 n   C 3 n Tìm số hạng chứa x 5

trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

n 2

nx 1

14 x



  , x  0

Giải

* Ta cĩ 5C n 1 n   C 3 n

 n n 1 n 2  

6

 n 1 n 2 

6

5    (do n nguyên dương)

 n 2  3n  28  0

thỏa mãn loại

n 7

 



 



* n  7  x 2 1 7 7 k x 2 k 1 7 k 7  1 7 k C 7 k 3k 7

7



 hệ số của x 3k 7  trong khai triển là  1 7 k C k 7

k



Ta 3k  7  5  k  4  hệ số của x trong khai triển là 5  1 3 4 C 7 35

4 16



 

Trang 11

11

Tìm số hạng chứa x trong khai triển là 5 35 5

16 x

Ví dụ 3 [ĐHD07] Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 5

P  x 1 2x   x 1  3x

Giải

Hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 5 P là tổng các hệ số của x trong các khai triển 5

1

P  x 1 2x  và P 2  x 21  3x10

Hệ số của x trong khai triển 5 P là hệ số của 1 x trong khai triển 4 1 2x  5

Hệ số của x trong khai triển 5 P là hệ số của 2 x trong khai triển 3 1 3x  10

Áp dung công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có :

 hệ số của x trong khai triển này là 4  24 C 4 5  80  1

 10 10 k 5 k k 10  k k k

 hệ số của x trong khai triển này là 3 3 C 3 10 3  3240  1

Từ  1 ,  2 suy ra hệ số của x trong khai triển 5 P là 80  3240  3320

Ví dụ 4 [ĐHA04] Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 8  1 x  21 x   8

Trang 12

Giải

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có

k 0

Trong khai triển P k  x 2k1 x  k lũy thừa bậc thấp nhất và bậc cao nhất lần lượt là x 2k và

3k

x Do đó muốn trong khai triển P có chứa k x thì 8 2k  8  3k  8

3  k  4  k 3;4

3

P  x 1 x   x 1 3x   3x  x  x  3x  3x  x

 hệ số của x trong khai triển 8 P là 3 3

P  x 1 x   x 1 4x   6x  4x  x  x  4x  6x  4x  x

 hệ số của x trong khai triển 8 P là 1 4

Vậy hệ số của x trong khai triển ban đầu là 8 3C 3 8  C 4 8  238

Ví dụ 5 Tìm lũy thừa có hệ số lớn nhất của đa thức 3x  29

Giải

 hệ số của x trong khai triển là k a k  3 2 k 9 k  C k 9 (k  0,1, , 9)

Với mọi k  0,1, , 8, xét tỷ số ak 1

ak

T  

Ta có

k 1 8 k k 1

3 2 C 9 3 9! k ! 9 k ! 3 9 k

k 9 k k 2 k 1 ! 8 k ! 9! 2 k 1

3 2 C

9

T  1   

3 9 k

2 k 1  1

   k  5  k 0;1;2;3;4;5, dấu bằng xảy ra  k  5

Từ đó suy ra: a 0  a 1  a 2  a 3  a 4  a 5  a 6  a 7  a 8  a 9

Vậy các lũy thừa số hệ số lớn nhất trong khai triển là x và 5 x 6

Ví dụ 6 Tìm n để đa thức x  2n chỉ có một lũy thừa hệ có hệ số lớn nhất là x 10

Trang 13

13

 n n  k k n k n  n k k k

 hệ số của x trong khai triển là k a k  2 n k  C k n (k  0,1, ,n)

Với mọi k  0,1, , n 1  , xét tỷ số ak 1

k ak

T  

Ta có

   

 

n k 1 k 1 k ! n k !

k n k k 2 k 1 ! n k 1 ! n! 2 k 1

2 Cn



Lũy thừa có hệ số cao nhất là x 10 nên

9 10 11

a  a  a 

a10 a9 a11 a10

1







 9

10













n 9 20

n 10 22

1 1











 n 29

n 32











 n 30

n 31











Thử lại ta thấy cả hai giá trị tìm được của n đều thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trang 14

B Bài tập

Bài 1 [CĐAB08] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

18 5

1 2x x



, với x  0

Bài 2 [ĐHB07] Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong đa thức 2  xn, biết

 n

n 0 n 1 1 n 2

3 C  3  C  3  C     1 C  2048

Bài 3 [ĐHA03] Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 8

n 5 3

1 x x



biết rằng

n 1 n

n 4 n 3

C    C   7 n  3

Bài 4 [ĐHA06] Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển

n 7 4

1 x x



, biết rằng

2n 1 2n 1 2n 1

C   C     C   2  1

Bài 5 Tìm hệ số của x 15 trong đa thức 1  x 2 1 x  2  3 1  x3   20 1  x20

1  2x  a  a x  a x   a x Biết rằng

12

     Tìm số lớn nhất trong các số a , 0 a , 1 a , , 2 a n

Bài 7 [ĐHD03] Gọi a 3n 3  là hệ số của x 3n 3  trong khai triển thành đa thức của

x 2  1nx  2n Tìm n để a 3n 3   26n

Bài 8 Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong đa thức 1  xn có hai lũy thừa liên tiếp

có tỷ số các hệ số bằng 7

5

Bài 9 Khai triển biểu thức 1 2x  n ta được đa thức có dạng a 0  a x 1  a x 2 2    a x n n Tìm

Trang 15

15

C Đáp số

Bài 1 6528. Bài 2 22. Bài 3 495.

Bài 4 210. Bài 5 400995. Bài 6 a 8.

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	192,64 KB