Giáo án Ngữ Văn 8 cả năm – THCS Mai lâm

+ Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm với đối số t .... Một số ví dụ Trong những ví dụ đầu tiên, ta quan tâm đến những bài toán tìm GTLN, GTN[r]

1

Lo ại 1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số

A Nguyên tắc chung

Để tìm GTLN, GTNN của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây:

* Quy t ắc 1 (Sử dụng định nghĩa): Giả sử f xác định trên D  

 

x D

M max f x



 ( M là GTLN c ủa hàm số f trên D)   

 





 

x D

m min f x



 (m là GTNN c ủa hàm số f trên D)   

 





* Quy t ắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN,

GTNN của hàm số f xác định trên đoạn   a;b , ta làm như sau:

Bước 1: Tìm các điểm x , 1 x , …, 2 x thu m ộc khoảng  a;b mà tại đó hàm số f có đạo

hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

Bước 2: Tính f x 1 , f x 2 , …, f x m , f a , f b 

Bước 3: So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN

của f trên đoạn   a;b ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn   a;b

        1 2  m     

x a;b max f x max f x , f x , , f x , f a , f b

        1 2  m     

x a;b min f x min f x , f x , , f x , f a , f b

Quy ước: Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào

thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f

3

B Một số ví dụ

Ví d ụ 1 [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số y 2x 2 3x 1

x 1



 trên đoạn  0;2

Gi ải

 y đồng biến trên  0;2

   

x 0;2

17 3

x 0;2

max y y 2













Nh ận xét: * f đồng biến trên  a;b       

     

x a;b

x a;b

min f x f a

max f x f b















* f nghịch biến trên  a;b       

     

x a;b

x a;b

min f x f b

max f x f a















Ví d ụ 2 [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x   4 x  2

Gi ải

+) TXÑ  2;2

 

   , ta có: y' 0   4 x  2   x 0  4 x  2  x  x 0 2 2







Vậy min y min y       2 ;y 2 ;y 2  min 2;2;2 2  , đạt được 2  x   2

     

max y max y   2 ;y 2 ;y 2  min  2;2;2 2  2 2, đạt được  2

Ví d ụ 3 [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2

x 1 y





 trên đoạn  1;2

Gi ải

 

2 1

1 x

y '





 

   ta có y' 0   x 1 

Vậy          3 5 

5

min y min y 1 ;y 2 ;y 1    min 0; ; 2  , đạt được 0  x   1

     

   3 5 

5

max y max y   1 ;y 2 ;y 1  max 0; ; 2  2, đạt được  x 1 

Ví d ụ 4 [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số y ln x 2

x

 trên đoạn  1;e 3 

 

Gi ải

x

2 x ln x 2ln x ln x

y '

 3

x 1;e

  , ta có y' 0   2ln x ln x 0  2 

 ln x 0  hoặc ln x 2

 x 1  hoặc x e  2

5

 x e  2 (1  1;e 3 )

Vậy       3 2 

3 2

9 4

e e

  , đạt được  x 1 

     

max y max y 1 ;y e ;y e max 0; ;

  , đạt được  x e  2

Ví d ụ 5 [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số y   x 2  4x 21    x 2  3x 10 

Gi ải

TXÑ

2

   





3 x 7

2 x 5

  





  

Suy ra TXÑ= 2;5 

y '

y' 0  



 4 x 2  3x 10 x   2  4x 4     x 2  4x 21 4x   2  12x 9  

 4 x 4  7x 3  6x 2  28x 40    4x 4  28x 3  27x 2  216x 189 

 51x 2  104x 29 0  

3

 hoặc x 29

17



Thử lại, ta thấy chỉ có x 1

3

 là nghiệm của y'

 

y   2 3, y 5  4,  1

3

y  2  min y  2, đạt được  x  1 3

7

C Bài tập

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số

1) f x  4 x  2

2) f x  x 2  2x 5  trên đoạn  2;3

3) f x   x 2  2x 4  trên đoạn  2;4

4) f x  x 3  3x 3  trên đoạn 3

2 3;

  

 

3

f x  x  2x  3x 4  trên đoạn  4;0

6) f x  x 3  3x 2  9x 1  trên đoạn  4;4

7) f x  x 3  5x 4  trên đoạn  3;1

8) f x  x 4  8x 2  16 trên đoạn  1;3

x

f x   trên kho x ảng 0; 

x 1

f x   x  trên khoảng 1;

x

f x   trên n x ửa khoảng 0;2

x 2

f x   trên nửa khoảng  2;4

13)   2x 2 5x 4

x 2

f x     trên đoạn  0;1

14) f x  sin x cos x 4  4

15) f x  2sin x 2sin x 1 2  

16) f x  cos 2x sin xcos x 4 2  

17) f x  cos x 6cos x 9cos x 5 3  2  

18) f x  sin x cos 2x sin x 2 3   

19) f x   sin 3x 3sin x  3

20) f x  2cos 2 cos 1  cos x 1  

9

Lo ại 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

A Nguyên tắc chung

Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau

+) Xác định ẩn phụ t

+) Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t

+) Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm với đối số t

B Một số ví dụ

Trong những ví dụ đầu tiên, ta quan tâm đến những bài toán tìm GTLN, GTNN có đặc điểm sau:

+) Vai trò của x , y trong ràng buộc giữa x và y là bình đẳng

+) Vai trò của x , y trong biểu thức cần tìm GTLN, GTNN cũng bình đẳng

Phương pháp chung

+) Chọn ẩn phụ t là một biểu thức đối xứng đối với x , y ( t  xy , t xy  , t x y   ,

2 2

t x   y , t x  2  y 2  xy, …)

+) Tìm miền giá trị của ẩn phụ bằng cách sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, chẳng hạn

1 1

x y

xy

2 2

x  y  xy   , xy x 2  y 2  xy 3xy 

2 2

x  y  xy xy  , x 2  y 2  xy   3xy +) Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm với đối số t

Ví d ụ 1 Cho x , y 0  thỏa mãn x y 4   Tìm GTLN, GTNN của S x 3  1 y 3  1

Gi ải

Đặt t xy   x y2

4



Ta có S    xy 3  x y    x y  2  3xy   1

 t 3  4 4  2  3t   1

 t 3  12t 63  Xét hàm f t  t 3  12t 63  , với t  0;4 Ta có f ' t  3t 2  12 0    t  0;4  f t 

đồng biến trên  0;4 Do đó

     

t 0;4



11

Dấu “  ” xảy ra  x y 4

xy 0

 







     x;y  4;0 hoặc    x;y  0;4

 min S   63 , đạt được     x;y  4;0 hoặc    x;y  0;4

     

t 0;4



Dấu “  ” xảy ra  x y 4

xy 4

 



     x;y  2;2

 max S 49  , đạt được     x;y  2;2

Ví d ụ 2 Cho x , y 0  thỏa mãn x y xy 3    Tìm GTLN, GTNN của

S

y 1 x 1 x y 3

Gi ải

Đặt t x y    t 2

4

xy 3 t 0

3 t

  





 

xy 3 t

2 t 3

 





 

Ta có S 





 



 t 3 t 2 7t 1 3

4   4  t 3 2 

 , t  2;3

Ta có  

 

2

7

   t  2;3  f 1  đồng biến trên  2;3

Do đó

+) S f t   f 2 4

5

   Dấu “  ” xảy ra  x y xy 3

x y 2





 

 minS 4

5

 , Đạt được  x y 1  

+) S f t   f 3 35

6

   Dấu “  ” xảy ra  x y xy 3

x y 3



  

y 3





 

 hoặc x 3

y 0





 

 max S 35

6

 , Đạt được  x 0

y 3





 

 hoặc x 3

y 0





 

Ví d ụ 3 [ĐHB09] Cho x , y thỏa mãn x y  3  4xy 2  Tìm GTNN của

 4 4 2 2  2 2

A 3 x   y  x y  2 x  y  1

Gi ải

Áp dụng bất đẳng thức  2 2  3 2

4

a  b  ab  a b  với a x  2, b y  2 ta được

 4 4 2 2 3 2 22

4

4

Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức 4xy x y  2, ta có

x y   3  x y  2  2  x y 1     x y  2  2 x y   2   0

x y   2 x y    2 x y 1     x 1 0  , y )

Đặt t x  2  y 2 

 

 

2

2

t

9

4











Xét hàm   9 2

4

   , t  Ta có 1 2   9

2

f ' t  t 2 0     t 1 2  f t  đồng biến trên



1

2 ;

 

2 16

f t  f    t 1 2

13

Như vậy S  16 9 , dấu “ ” xảy ra  2 2 1

2

x y





2 2 x;y  ; hoặc    1 1

2 2 x;y   ; 

(thỏa mãn điều kiện)

16

minS  , đạt được     1 1

2 2 x;y  ; hoặc    1 1

2 2 x;y   ; 

Ví d ụ 4 Cho x , y thỏa mãn x 2  xy y  2  Tìm GTLN, GTNN của 1 S x  2  xy y  2

Gi ải Cách 1: Từ giả thiết suy ra x 2  y 2   1 xy  S 1 2xy  

Từ các bất đẳng thức  

2 2







suy ra





1 3

1 xy

  

Do đó

+) S 1    , d 2 3 1 3 ấu “  ” xảy ra 

1 3

xy







3 3

x;y    ;  

x;y     ;   

Vậy min S  1 3, đạt được    1 1

3 3

x;y    ;  

x;y     ;   

+) S 1 2 3    , dấu “  ” xảy ra  xy 2 1 2

 





   x;y  1; 1   hoặc   x;y   1;1

Vậy max S 3  , đạt được    x;y  1; 1   hoặc   x;y   1;1

Cách 2: Ta có

S



+) Xét y 0  : thay y 0  vào giả thiết ta được x   1  S 1 

+) Xét y 0  : Chia cả tử và mẫu của S cho y 2 và đặt x

y

t  , ta được

 

Xét hàm f t  1 2 2t

 

2 2 2

f ' t





 

Bảng biến thiên của hàm f t :

1 1

t t 2

1

 

Suy ra:

3

S f 1   D ấu “ ” xảy ra 

x y

1

 







3 3 x;y     ;    hoặc   1 1

x;y     ;   

3

min S  , đạt được    1 1

3 3 x;y     ;    hoặc   1 1

x;y     ;   

+) S f     1 3 Dấu “ ” xảy ra 

x y

1

  







   x;y  1; 1   hoặc   x;y   1;1

Vậy max S 3  , đạt được    x;y  1; 1   hoặc   x;y   1;1

f t

1 3

3

+ ∞ 1

-1

- ∞

t

15

Bài toán 3: Cho x , y thỏa mãn ax 2  bxy cy  2  Tìm GTLN, GTNN của biểu thức d

S mx   nxy py 

Cách gi ải

+) Tìm những giá trị của S khi y 0 

+) Khi y 0  , viết mx 2 2 nxy qy 2 2

ax bxy cy

 

 Chia cả tử và mẫu của S cho y 2 và đặt x

y

t  , ta được

2

mt nt p 2

at bt c

 

Bằng cách khảo sát   mt 2 nt p

2

at bt c

 

 ta suy ra min S, max S

Ví d ụ 5 [ĐHA03] Cho x , y , z 0  thỏa mãn x y z 1    Chứng minh rằng:

Gi ải

Xét : a x; 1

x



, b y; 1

y



, c z; 1

z



thì VT 1  a   b          c a b c

tức là:

Đến đây ta có hai cách đi tiếp:

Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :

3

x y z 3 xyz    , 1 1 1 3 1

3

x y    z xyz

Do đó: VT 1  9t 9

t

  với 3 2

t  xyz , trong đó :

2

0 t

 

Xét f t  9t 9

t

  có f ' t  9 9 2 0

t

9

t 0; 

    f t  nghịch biến trên  1

9 0;  

  1

9

 

   

   VT 1  f (t)  82 (ĐPCM)

x y z

x y z

x y z

 18.9 – 80 82 

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 4: Cho x , y , z 0  thỏa mãn x y z k    ( k 0  ) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

f x;y;z

Cách gi ải

+) Đặt t  3 xyz  0 t   x y z   3  k 3

+) Biểu diễn f x;y;z  theo t để được: f x;y;z  g t 

+) Việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức f x;y;z  được quy về tìm GTLN, GTNN của

 

g t

17

C Bài tập

Bài 1 [ĐHD09] Cho x , y 0  thỏa mãn x y 1   Tìm GTLN, GTNN của

S  4x  3y 4y  3x  25xy

Bài 2 Cho x , y 0  thỏa mãn x y 1   Tìm GTLN, GTNN của

S

y 1 x 1

Bài 3 Cho x , y 0  thỏa mãn x y 1   Tìm GTLN, GTNN của

 2  2  2 2

S  x  1 y   1 x  y  1 Bài 4 Cho x , y 0  thỏa mãn x y xy 3    Tìm GTLN, GTNN của

S

x 2 y 2 x y 1

Bài 5 Cho x , y thỏa mãn x 2  y 2   1 xy Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

4 4 2 2

S x   y  x y

Bài 6 [ĐHD12] Cho x , y thỏa mãn   2 2

x 4   y 4   2xy 32  Tìm GTNN của

A x   y  3 xy 1 x y 2   

Bài 7 [ĐHB08] Cho x , y thỏa mãn x 2  y 2  Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 1

2

2 x 6xy P

1 2xy 2y





Bài 8 Cho x , y thỏa mãn x 2  y 2  xy 1  Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

2

S x   2xy xy 

Bài 9 Cho x , y thỏa mãn 2x 2  y 2  xy 1  Tìm GTNN của biểu thức

2 2

S x   y

Bài 10 Cho x , y , z 0  thỏa mãn x y z    Tìm GTNN của biểu thức 3 2

x y y z z x

Bài 11 Cho x , y , z 0  thỏa mãn x y z    Tìm GTNN của biểu thức 3 2

1 1 1

S x y z

x y z

     

Bài 12 [ĐHB10] Cho a , b , c 0  thỏa mãn a b c 1   Tìm GTNN của biểu thức

M 3 a b   b c  c a  3 ab bc ca    2 a  b  a