Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng P chứa AN và vuông góc với S BC, trong đó N là trung điểm của CD... Trong mặt phẳng xác định bởi điểm M và đường thẳ[r]
Trang 1Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc
Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết :
1 Để có hai đường thẳng d và d′vuông góc, có thể chứng minh :
→u −
• −→v = 0, ở đó −→u và −→v lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d′
• Góc giữa chúng bằng 90◦
• d song song với đường thẳng ∆, còn d′vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó)
• d⊥(α) mà (α) chứa d′, hoặc d′⊥(β) mà (β) chứa d.
• Khi d và d′cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảo của định lí Pytago,
2 Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh :
• d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (α)
• d ∥ d′mà d′⊥(α)
• d⊥(β) mà (β) ∥ (α).
• d là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cách đều A, B, C).
• d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (α)
• Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : nếu (α)⊥(β) mà d nằm trong (β) và d vuông góc với giao tuyến của (β) và
(α) thì d⊥(α).
3 Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh :
• Góc giữa chúng bằng 90◦
• Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia
• Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia
4 Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách giữa các yếu tố
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A.
A
H M
201
Lop12.net
Trang 2• AB2 + AC2 = BC2 (Định lí Pytago);
• 1
AH2 = 1
AB2 + 1
AC2 ; AH = AB.AC
• AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC;
• AM = BC
2 , nếu C = 30◦thì AB = BC
2
Nhắc lại một số hệ thức lượng trong tam giác.
Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b; h a,h b,h c và m a,m b,m c lần lượt là độ các đường cao và các đường trung tuyến xuất
phát từ A, B, C; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; S là diện tích tam giác ABC; và p = a + b + c
2 là nửa chu vi tam giác
1 Định lí hàm số cosin :
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A; cos A = b
2 + c2
− a2
2bc .
2 Định lí hàm số sin :
a
sin A = b
sin B= c
sin C = 2R ⇒ a = 2R sin A.
3 Công thức trung tuyến :
m2a =2(b
2
+ c2) − a2
4 Công thức diện tích tam giác:
(a) Tam giác thường
S =1
2a.h a= 1
2b.c sin A = abc
4R = pr =
È
p(p − a)(p − b)(p − c) ⇒ h a=2S
a ,R = abc
4S ,r = S
p .
(b) Tam giác ABC vuông tại A thì S = 1
2 AB.AC và nếu là tam giác vuông cân cạnh a thì S = a2
2
(c) Tam giác ABC đều cạnh a thì S = a2
√ 3
4 và đường cao bằnga
√ 3
2 ;
Ô
Ô
5 Diện tích hình vuông cạnh a là S = a2
6 Diện tích hình chữ nhật cạnh a, b là S = ab.
7 Diện tích hình bình hành ABCD là S = đáy.cao = AB.AD sin BAD =1
2 AC.BD sin(AC, BD)
8 Diện tích hình thoi ABCD là S = đáy.cao = AB.AD sin BAD = 1
2 AC.BD
9 Diện tích hình thang là S = ( đáy lớn + đáy nhỏ ) × cao
10 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc là S = 1
2 tích hai đường chéo
11.1 Vectơ trong không gian Sự đồng phẳng của các vectơ
Vấn đề 1 :Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng
Nếu ba vectơ −→a ,→−b , −→c không đồng phẳng thì vectơ −→d bất kì biểu thị được một cách duy nhất qua ba vectơ −→a ,→−b , −→c; nghĩa là tồn tại duy
nhất bộ ba số m, n, p sao cho −→d = m−→a + n→−b + p−→c
Bài 11.1 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Đặt −−→AA′ = −→a ,−−→AB =→−b ,−−→AD = −→c Gọi I là tâm hình bình hành CDD′C′, J là điểm trên cạnh B′C′sao cho JB′= k.JC′(k ∈ R cho trước) Hãy biểu thị các vectơ −−→ CB′,−→ →AI,−I J theo ba vectơ −→a ,→−b , −→c
Bài 11.2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ Đặt −→a =−−→AC′,→−
b =−−→
BA′, −→c =−−→CB′ Gọi M là trung điểm AA′và G là trong tâm tam giác
ABC Hãy biểu diễn các vectơ −−→AA′,−−−→B′G,−−−→MN theo ba vectơ −→a ,→−b , −→c
TRẦNANHTUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Download tài liệu học tập tại : http://aotrangtb.comLop12.net T r a n g 202
Trang 3Vấn đề 2 :Chứng minh các đẳng thức vectơ
1 Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia và ngược lại
2 Sử dụng các tính chất của các phép toán vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho
AB +−−→
Bài 11.3 : Cho hình hộp ABCD.EFGH Chứng minh rằng −−→ AD + −−→ AE =−−→AG
Bài 11.4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Chứng minh rằng −−→ S A +−−→S C =−−→S B +−−→S D
Bài 11.5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD Chứng minh rằng −−→ S A2 +−−→S C2 =−−→S B2 +−−→S D2
Bài 11.6 : Cho đoạn thẳng AB Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho CA
CB = m
n , với m, n > 0 Chứng minh rằng với S bất kì ta
luôn có −−→S C = n
m + n
−−→
S A + m
m + n
−−→
S B
Bài 11.7 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′cạnh a Gọi O và O′theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A′B′C′D′
1 Hãy biểu diễn các vectơ −−→AO,−−−→AO′theo các vectơ −−→AA′,−−→AB,−−→AD
2 Chứng minh rằng −−→AD +−−−→D′C′+−−−→
D′A′=−−→AB
Bài 11.8 : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và không thẳng hàng Chứng minh rằng điều kiện cần và
đủ để bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành là : −−→ OA +−−→OC =−−→OB +−−→OD
Vấn đề 3 :Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song
1 Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể
• Chứng minh vectơ hai −−→AB và −−→AC cùng phương, tức là −−→AB = k−−→AC
• Chọn một điểm I nào đó và chứng minh −→ IC = m−−→OA + n−−→OB với m + n = 1.
2 Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi hai vectơ −−→ AB và −−→CD cùng phương
3 Đường thẳng AB không nằm trên (P) và AB ∥ (P) khi và chỉ khi có một đường thẳng CD ⊂ (P) sao cho AB ∥ CD hoặc
u + y−
AB = x− →v trong đó các vectơ −→u và −→v có giá song song hoặc nằm trên (P).
Bài 11.9 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Xét các điểm M, N lần lượt trên các đường thẳng A′C và C′D sao cho −−−→MA′ = k−−→MC,
−−−→
NC′= l−−→ND (k và l đều khác 1) Đặt −−→ BA = −→a, −−→BB′=→−
b, −−→BC = −→c
1 Hãy biểu thị các vectơ −−→BM và BN qua các vectơ −→a ,→−b , −→c
2 Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD′
Bài 11.10 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ M là một điểm trên đường thẳng AB sao cho −−→ MA = m−−→AB Tìm điểm N trên đường thẳng
B′C và điểm P trên đường thẳng A′C′sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng (m , 0).
Bài 11.11 : Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho −−→ MA = −2−−→MB,−−→
ND = −2−−→NC Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho −→ IA = k−→ID,−−→
J M = k−−→JN,−−→
K B = k−−→KC Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.
Bài 11.12 : Cho hai đường thẳng ∆, ∆1 cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại A, B, C và A1,B1,C1 Với điểm O bất kì
trong không gian, đặt −→OI =−−−→AA1,−−→
OJ =−−−→BB
1,−−→
OK =−−−→CC
1 Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.
TRẦNANHTUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.netDownload tài liệu học tập tại : http://aotrangtb.com Trang 203
Trang 4Bài 11.13 : Cho tứ diện ABCD Gọi B0,C0,D0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD, ADB và ABC Gọi G và G0 là trọng tâm tam
giác BCD và B0C0D0 Chứng minh rằng ba điểm A, G0,G thẳng hàng
Bài 11.14 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 M là điểm trên cạnh AD sao cho −−→ AM = 1
3
−−→
AD N là điểm trên đường thẳng BD1,P là
điểm trên đường thẳng CC1 sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng Tính
−−−→
MN
−−→NP
Bài 11.15 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA′,BC, C′D′ lân lượt tại M, N, P sao cho
−−−→N M = 2−−→NP Tính MA
MA′
Bài 11.16 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1
1 Chứng minh rằng đỉnh A, trọng tâm G của tam giác BDA1 và đỉnh C1 thuộc một đường thẳng
2 Tính tỉ số GA
GC1
Bài 11.17 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của mặt phẳng ABB′A′ M là một điểm trên OB′
Mặt phẳng (MD′C) cắt BC′ở I và DA′ở J Chứng minh rằng ba điểm I, M, J thẳng hàng.
Bài 11.18 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ Gọi G và G′lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A′B′C′, gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AB′và A′B Chứng minh rằng hai đường thẳng GI và GG′song song với nhau
Bài 11.19 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, gọi E, F là những điểm lần lượt nằm trên các đường chéo CA1,AB1 của các mặt
bên sao cho EF ∥ BC1 Tìm tỉ số EF
BC1
, xác định vị trí của E, F.
Bài 11.20 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, điểm M là trung điểm cạnh bên AA1 Trên đường chéo AB1,BC1 của các mặt
bên lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EF ∥ CM Tìm tỉ số EF
C M , xác định vị trí của E, F.
Bài 11.21 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh bên AA1,CC1 Hai điểm E, F lần lượt trên các đường thẳng CM, AB1 sao cho EF ∥ BN Tìm tỉ số EF
BN , xác định vị trí của E, F.
Bài 11.22 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Gọi M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh bên AA1,BB1,CC1 sao cho
AM
AA1 = B1N
BB1 = C1P
CC1 =3
4 Hai điểm E, F lần lượt trên các đường thẳng CM, A1N sao cho EF ∥ B1P Tìm tỉ số EF
B1P
Bài 11.23 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Chứng minh rằng tồn tại điểm M duy nhất thuộc đường thẳng AC và điểm N duy nhất thuộc DC1 sao cho MN ∥ BD1 Tính tỉ số MN
BD1
Bài 11.24 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc AD′và DB sao cho −−→ MA = k−−−→MD′,−−→
ND = k−−→N B
(k , 0, k , 1).
1 Chứng minh rằng MN ∥ (A′BC) ;
2 Khi đường thẳng MN ∥ A′C , chứng minh rằng MN vuông góc với AD′và DB.
Bài 11.25 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Gọi M, N lần lượt là trung điểm CD và DD′; G, G′lần lượt là trọng tâm của các tứ diện
A′D′MN và BCC′D′ Chứng minh rằng đường thẳng GG′và mặt phẳng (ABB′A′) song song với nhau
Vấn đề 4 :Chứng minh các vectơ đồng phẳng
Muốn chứng minh các vectơ −→a ,→−b , −→c đồng phẳng chúng ta có thể :
1 Dựa vào định nghĩa : Chứng tỏ các vectơ −→a ,→−b , −→c có giá cùng song song với một mặt phẳng
2 Ba vectơ −→a ,→−b , −→c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho −→c = m−→a + n→−b, trong đó −→a ,→−b là hai vectơ không cùng phương
Bài 11.26 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Hãy xét sự đồng phẳng của các vectơ :
TRẦNANHTUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Download tài liệu học tập tại : http://aotrangtb.com Lop12.net Trang 204
Trang 51 −−→AB,−−−→
A′C′,−−−→
BB′,−−−→
B′C′; 3 −−→AB,−−−→
B′D,−−−→
C′D′
Bài 11.27 : Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho −−→ AM = 3−−−→MD và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho −−→ N B = −3−−→NC Chứng minh rằng ba vectơ −−→AB,−−→DC,−−−→MN đồng phẳng
Bài 11.28 : Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường
chéo của hình bình hành BCGF Chứng minh rằng ba vectơ −−→ BD,−→IK, GF −−→đồng phẳng
Bài 11.29 : Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các
điểm M, N sao cho
AM
AC = BN
BD = k (k > 0).
Chứng minh rằng ba vectơ −−→PQ,−−→PM,−−→PN đồng phẳng
Bài 11.30 : Cho hai hình bình hành ABCD và AB′C′D′có chung đỉnh A Chứng minh rằng các vectơ −−→ BB′, −−−→CC′, −−−→DD′đồng phẳng
Bài 11.31 : Cho hai ngũ giác đều OABCD và OA′B′C′D′có chung đỉnh O và nằm trên hai mặt phẳng phân biệt Chứng minh rằng
các vectơ −−→AA′,−−→
BB′,−−−→
CC′,−−−→
DD′đồng phẳng
Bài 11.32 : Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AD và BB1 sao cho AM = BN Chứng
minh rằng ba vectơ −−−→MN,−−→AB,−−−→B
1D đồng phẳng
Bài 11.33 : Cho tứ diện OABC Gọi M, N, P là ba điểm trong không gian được xác định từ các hệ thức vectơ sau :
−−→
OM =−−→
OA + α−−→
OB − 2−−→OC; −−→
ON = (α + 1)−−→
OA + 2−−→
OB +−−→OC; −−→
OP = (α − 2)−−→OB + 2−−→OC với α là số thực Tìm α để ba vectơ −−→OM,−−→ON,−−→
OP đồng phẳng
Bài 11.34 : Cho góc tam diện Oxyz Chứng minh rằng các phân giác trong của các góc yOz, zOx và phân giác ngoài của xOy thuộc
một mặt phẳng
Bài 11.35 : Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Gọi α là mặt phẳng đi qua đỉnh D1 song song với DA1 và AB1 Mặt phẳng này cắt đường
thẳng BC1 tại M, và giả sử −−→ BM = k−−−→BC1 Hãy tính k ?
Bài 11.36 : Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q là trung điểm các cạnh AB và CD R, S là hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh AC và BD sao
cho AR
AC = BS
BD Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng.
Bài 11.37 : Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB′và A′C′ Điểm K thuộc B′C′sao cho −−−→KC′=−2−−−→K B′
Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng.
Bài 11.38 : Cho tứ diện ABCD ; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; M là điểm thuộc AC sao cho −−→ MA = k1−−→MC ; N là điểm thuộc BD sao cho −−→ N B = k2−−→ND Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k1 = k2
Bài 11.39 : Cho tứ diện ABCD Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho −−→ AM = 1
3
−−→
AB,−−→
BN = 2
3
−−→BC,−−→
AQ =
1
2
−−→AD,−−→
DP = k−−→DC Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng.
11.2 Hai đường thẳng vuông góc
Vấn đề 1 :Tính góc giữa hai vectơ
1 Dùng trực tiếp định nghĩa : Nếu −−→OA = −→a ,−−→OB =→−b thì (−→a ,→−b ) = (−−→OA,−−→OB) = AOB Đặc biệtÔ
• Góc giữa hai vectơ chung gốc hoặc chung ngọn tính bởi công thức
(−−→OA,−−→OB) = (−−→AO,−−→BO) = AOB.Ô
TRẦNANHTUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343Lop12.netDownload tài liệu học tập tại : http://aotrangtb.com Trang 205
Trang 6• Góc giữa hai vectơ có gốc của vectơ này là ngọn của vectơ kia tính bởi công thức
(−−→AO, OB) = (−−→ −−→OA,−−→BO) = 180◦− (−−→OA,−−→OB) = 180◦− AOB.Ô
2 Dùng hệ quả của tích vô hướng : cos(−→u , −→v ) = →− →u − v
|−→u |.|−→v |
Bài 11.40 : Cho tứ diện đều ABCD, gọi H là trung điểm AB Tính góc giữa các cặp vectơ sau:
Bài 11.41 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ Tính góc giữa các cặp vectơ sau:
1 −−−→A′C′và −−→AB; 2 −−−→A′C′và −−→AB′; 3 −−→A′B và −−−→B′D′
Bài 11.42 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1 Gọi M là trung điểm AB Tính góc giữa
hai vectơ −−→OM và −−→BC
Bài 11.43 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có S A = S B = S C = AB = AC = a và BC = a √2 Tính góc giữa hai vectơ −−→AB và −−→S C
Vấn đề 2 :Tính góc giữa hai đường thẳng a và b
×
×
1 Dùng trực tiếp định nghĩa : Lấy hai đường thẳng a′và b′cùng đi qua một điểm lần lượt song song hoặc trùng với a và b Góc giữa a và b bằng góc giữa a′và b′
2 Tính qua góc giữa hai vectơ, cụ thể
• Nếu (−−→AB,−−→
CD) ≤ 90◦thì (AB, CD) ×
= (−−→AB,−−→CD)
CD) > 90◦thì (AB, CD) = 180◦− (−−→AB,−−→CD)
×
Nếu tính theo phương pháp vectơ thì cos(AB, CD) = cos(−−→ AB,−−→
CD)
Bài 11.44 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
Bài 11.45 : Cho tứ diện OABC, có OA = OB = OC = a và OA⊥OB, OB⊥OC, OC⊥OA Gọi M là trung điểm của OB Tính côsin góc
giữa các cặp đường thẳng :
Bài 11.46 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh bên S A = AB và S A⊥BC.
1 Tính góc giữa hai đường thẳng S D và BC.
2 Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc S B và S D sao cho IJ ∥ BD Chứng minh rằng góc giữa hai đường thẳng AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J.
Bài 11.47 : Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của BC Tính côsin góc giữa hai đường thẳng AB và
DM
TRẦNANHTUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Download tài liệu học tập tại : http://aotrangtb.com Lop12.net Trang 206
Trang 7Bài 11.48 : Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AD Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD, biết
AB = CD = 2a và MN = a √
3
Bài 11.49 : Cho tứ diện ABCD Gọi M là một điểm trên cạnh AB (M không trùng với A và B) Tìm vị trí của M để mặt phẳng qua M
và vuông góc với AC, BD cắt tứ diện theo thiết diện có diện tích lớn nhất.
Vấn đề 3 :Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Muốn chứng minh AB⊥CD ta thường chứng minh góc giữa AB và CD bằng 90◦hoặc chứng minh −−→AB CD = 0.−−→
Bài 11.50 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB′ Chứng minh rằng MN⊥A′C
Bài 11.51 : Cho tứ diện ABCD có ABD là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác cân có CB = b, AC = c.
1 Chứng minh rằng AC⊥BD ; 2 Tính cosin góc giữa hai vectơ −−→AB,−−→CD
Bài 11.52 : Trên các đường chéo D1A, A1B, B1C, C1D của các mặt của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 lấy các điểm M, N, P, Q sao
cho :
−−−−→
D1M = k−−−→D
1A; −−→
BN = k−−−→BA
1; −−−→B
1P = k−−−→B
1C; −−→
DQ = k−−−→DC
1
Tìm số thực k để MN⊥PQ.
Bài 11.53 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Chứng minh rằng OA⊥CD.
Bài 11.54 : Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′có cạnh bằng a Trên các cạnh DC và BB′ta lần lượt lấy các điểm M, N không trùng với đầu mút sao cho DM = BN Chứng minh rằng AC′⊥MN.
Bài 11.55 : Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ Chứng minh rằng
AB⊥CD.
Bài 11.56 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′có tất cả các cạnh đều bằng nhau Chứng minh rằng AC⊥B′D′ Chứng minh rằng nếu
ABC = B′BA = B′BC = 60◦thì A′B′CD là hình vuông
Bài 11.57 : Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng BC, AD sao cho −−→ MB = k−−→MC và −−→NA = k−−→ND , với k là
số thực khác 0 cho trước Đặt α = (−−−→MN,−−→BA), β = (−−−→MN, CD)−−→ Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để α = β = 45◦
Bài 11.58 : Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.
1 Chứng minh rằng AD⊥BC.
2 Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, DB sao cho −−→ MA = k−−→MB,−−→
ND = k−−→N B Tính góc giữa hai đường thẳng
MN và BC.
Bài 11.59 : Cho tứ diện ABCD có CD = 4
3 AB Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD Biết JK = 5
6 AB, tính góc giữa các
đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB.
Bài 11.60 : Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c Đặt α, β, γ là góc giữa BC và AD, AC và BD, AB và
CD Chứng minh rằng trong ba số hạng a2 cos α, b2 cos β, c2 cos γcó một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại
11.3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Vấn đề 1 :Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)
1 Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt cắt nhau và nằm trong (P).
TRẦNANHTUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343Lop12.net Trang 207
Trang 82 Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P).
3 Chứng minh đường thẳng a vuông góc với (Q) mà (Q) song song với (P).
Ô
Bài 11.61 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên S A vuông góc với đáy Gọi I là trung điểm BC.
1 Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với S I tại H Chứng minh rằng AH⊥(S BC).
2 Gọi G1,G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và S BC Chứng minh rằng G1G2⊥(ABC).
Bài 11.62 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và S A = S C.
1 Chứng minh rằng AC⊥(S BD).
2 Kẻ đường thẳng qua S vuông góc với (ABCD) tại I Chứng minh rằng I cách đều A và C.
Bài 11.63 : Cho hình chóp S.ABC có S A = S B = S C = a, AS B = 90◦,BS C = 60◦,AS C = 120◦ Gọi O là trung điểm cạnh AC Chứng minh rằng S O⊥(ABC).
Bài 11.64 : Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều, gọi I là trung điểm cạnh BC.
1 Chứng minh rằng BC⊥(AID).
2 Vẽ đường cao AH của tam giác AID Chứng minh rằng AH⊥(BCD).
Bài 11.65 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a √3, mặt bên S BC vuông tại B, mặt bên S CD vuông tại D và có S D = a √5
1 Chứng minh rằng S A⊥(ABCD) và tính S A.
2 Mặt phẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD tại I, J gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên S C Hãy xác định các giao điểm K, L của S B, S D với (HIJ) Chứng minh rằng AK⊥(S BC), AL⊥(S CD).
3 Tính diện tích tứ giác AKHL.
Bài 11.66 : Cho tam giác ABC Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường
thẳng CB tại B Chứng minh rằng hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau và giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Bài 11.67 : Cho hình chóp S.ABC có S A = S B = S C Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABC Chứng minh rằng
S O⊥(ABC) Hãy tổng quát hóa bài toán.
Bài 11.68 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, có AB = AC = a và BAC = 120◦, đồng thời S A = S B = S C = 2a Gọi D là điểm đối xứng của A qua trung điểm của BC.
1 Chứng minh rằng BC⊥(S AD); 2 Tính góc giữa S B và (ABC).
b
Bài 11.69 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông (A = 90◦), đáy lớn AD = 2a và AB = BC = a, đồng thời
S A = S C = S D Gọi M là trung điểm AD Chứng minh rằng S M⊥(ABCD) và AC⊥(S BM).
Vấn đề 2 :Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
1 Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia
2 Dùng định lí ba đường vuông góc : Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a′của a trên (P).
3 Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng song song với đường thẳng kia
TRẦNANHTUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 208
Trang 9Bài 11.70 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh S A⊥(ABCD) Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông
góc của điểm A trên các cạnh S B, S C, S D.
1 Chứng minh rằng BC⊥(S AB), CD⊥(S AD), BD⊥(S AC).
2 Chứng minh rằng S C⊥(AHK) và điểm I ∈ (AHK).
3 Chứng minh rằng HK⊥(S AC), từ đó suy ra HK⊥AI.
Bài 11.71 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có S A = S C, S B = S D.
1 Chứng minh rằng S O⊥(ABCD).
2 Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh BA, BC Chứng minh rằng IK⊥(S BD) và IK⊥S D.
Bài 11.72 : Cho tứ diện ABCD Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.
Bài 11.73 (Bài toán cơ bản) : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Kẻ OH vuông góc với mặt
phẳng (ABC) tại H Chứng minh rằng:
1 OA⊥BC, OB⊥CA, OC⊥AB.
2 H là trực tâm của tam giác ABC.
3 1
OH2 = 1
OA2 + 1
OB2 + 1
OC2
4 Tam giác ABC nhọn
5 sin2 α+ sin2 β+ sin2 γ= 1, trong đó α, β, γ là góc giữa các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC).
6 S 2
∆ABC = S 2
∆OAB + S 2
∆OBC + S 2
∆OCA
Bài 11.74 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy Chứng minh các
mặt bên của hình chóp đã cho là các tam giác vuông
Bài 11.75 : Cho chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, S A⊥(ABC).
1 Chứng minh rằng BC⊥(S AB).
2 Gọi AH là đường cao của tam giác S AB Chứng minh rằng AH⊥S C.
Bài 11.76 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên S AB là tam giác đều, S CD là tam giác vuông cân đỉnh S
Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, CD.
1 Tính các cạnh của tam giác S IJ và chứng minh rằng S I⊥(S CD), S J⊥(S AB).
2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ Chứng minh rằng S H⊥AC.
3 Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM⊥S A Tính AM theo a.
Bài 11.77 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên S AB là tam giác đều và S C = a √2 Gọi H, K là trung điểm AB, AD.
1 Chứng minh rằng S H⊥(ABCD) ; 2 Chứng minh rằng AC⊥S K, CK⊥S D.
Bài 11.78 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ Gọi H là trực tâm tam giác ABC và biết rằng A′H⊥(ABC) Chứng minh rằng
1 AA′⊥BC và AA′⊥B′C′
2 Gọi MM′là giao tuyến của mặt phẳng (AHA′) với mặt bên BCC′B′, trong đó M ∈ BC và M′∈ B′C′ Chứng minh rằng tứ giác
BCC′B′là hình chữ nhật và MM′là đường cao của hình chữ nhật đó
TRẦNANHTUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343Lop12.net Trang 209
Trang 10Bài 11.79 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên S A vuông góc với mặt đáy là (ABC) Gọi D là
điểm đối xứng của B qua trung điểm O của cạnh AC Chứng minh rằng CD⊥CA, CD⊥(S CA).
Bài 11.80 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và S A = a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD)
trùng với trung điểm M của cạnh AB; gọi N là trung điểm AD.
1 Chứng minh rằng BC⊥(S AB) và CN⊥(S D).
2 Tính góc giữa hai đường thẳng S D và AC.
Bài 11.81 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và S A = S B Chứng minh rằng CD⊥(S IJ), trong đó I, J tương ứng là
trung điểm của AB và CD.
Bài 11.82 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; S A⊥(ABC) và H thuộc cạnh AC và thỏa mãn S H2
= HA.HC Chứng minh rằng S C⊥(S AB).
Bài 11.83 : Cho hình chóp S.ABC có BS C = 120◦; CS A = 60◦; AS B = 90◦và S A = S B = S C Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông và S I⊥(ABC), trong đó I là trung điểm của BC.
Vấn đề 3 :Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)
Ô
1 Sử dụng định nghĩa : Nếu a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và (P) bằng góc giữa a và hình chiếu vuông góc a′của a trên mặt phẳng (P).
2 Nếu a ∥ (P) hoặc a ⊂ (P) thì góc giữa a và (P) bằng 0◦
3 Nếu a⊥(P) thì góc giữa a và (P) bằng 90◦
4 Nếu a không vuông góc với (P) và cắt (P) tại A, ta chọn một điểm B trên a (B không trùng với A) và xác định hình chiếu vuông góc H của B lên (P) Khi đó góc giữa a và (P) bằng BAH.
(P)
A
B
H
ϕ
a
a′
Bài 11.84 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a Tính góc giữa
nỗi cạnh bên của hình chóp với mặt đáy
Bài 11.85 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a √6 Tính góc giữa
1 S C và (ABCD); 2 S C và (S AB); 3 S B và (S AC); 4 AC và (S BC).
Bài 11.86 : Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′có cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA = a √2
1 Tính góc giữa đường thẳng BC′và (ABB′A′)
TRẦNANHTUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 210
... vng góc với (P) góc a (P) góc a hình chiếu vng góc a′của a mặt phẳng (P).2 Nếu a ∥ (P) a ⊂ (P) góc a (P) 0◦
3 Nếu a⊥(P) góc a...
Trang 6• Góc hai vectơ có gốc vectơ vectơ tính cơng thức
(−−→AO, OB) = (−−→... thẳng vng góc với mặt phẳng
Vấn đề :Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)
1 Chứng minh đường thẳng a vng góc với