+ Rèn luyện kĩ năng tương tự hoá để hình thành BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho ba số chứng minh BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm ; rèn luyệ[r]
Trang 1Ngày soạn : / /
I MỤC TIÊU:
+) Kiến thức : Nắm vững BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm, ba số không âm +) Kĩ năng : + Rèn luyện kĩ năng sử dụng BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân để tìm GTLN, GTNN
của một hàm số + Rèn luyện kĩ năng tương tự hoá để hình thành BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho
ba số chứng minh BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm ; rèn luyện kỉ năng áp dụng các BĐT trên và các BT chứng minh đơn giản
+) Thái độ : Rèn luyện tư duy linh hoạt , tư duy logic , tính cẩn thận
II CHUẨN BỊ:
GV: SGK, phấn màu
HS: Ôn tập các tính chất của BĐT , các tính chất của giá tị tuyệ đối
III TIẾN TRÌNH TIẾT DẠY:
a Oån định tổ chức: ()
b Kiểm tra bài cũ()
c Bài mới:
15/ HĐ 1 : BĐT giữa trung bình
cộng và trung bình nhân :
Với hai số a và b không âm ,
Hãy khai triển biểu thức trên ?
GV giới thiệu vế trái là trung
bình cộng của hai số a và b , vế
trái là trung bình nhân của hai số
a và b không âm
Như vậy có nhận xét gì về trung
bình cộng và trung bình nhân ?
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
GV cho HS làm H 2 SGK :
GV treo hình vẽ 4.1 trg 107 SGK
và tóm tắt yêu cầu của bài trên
hình vẽ
O
D C A
gợi ý : Sử dụng hệ thức về cạnh
và đường cao trong tam giác
vuông
GV cho HS làm VD 4 sgk
GV gợi ý HS chứng minh
thức khác tương tự
2
ab
Với hai số không âm thì trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (
)2 = 0 a = b
HS đọc đề bài H 2 SGK
CH = ab
2
2
ab
HS đọc đề VD4 trg 107 sgk
HS viết tương tự cho các biểu thức còn lại
3) Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (cô-si):
a) Đối với hai số không âm
Với a 0 và b 0 , ta có
a b 2
ab
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
CM: (SGK )
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng nếu a, b, c
là các số dương bất kì thì
6
Giải : Ta có
Trang 2+) Ta nhóm hai phân thức có tích
bằng 1 lại với nhau
+) Aùp dụng BĐT giữa trung bình
cộng và trung bình nhân cho từng
nhóm ta được điều gì ?
+) Khi nào đẳng thức xảy ra ?
HS nhóm các nhóm theo HD của
GV
HS sử dụng BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho từng nhóm và được điều cần chứng minh
a = b = c
12/ HĐ2 : Tìm hiểu hệ quả của BĐT
giữa trung bình cộng và trung
bình nhân đối với hai số không
âm:
+Từ BĐT trên ,nếu tổng a + b =
S không đổi , hãy biểu diễn tích
ab qua S?
Tích ab đạt giá trị gì ? khi nào ?
+ Nếu tích ab = P không đổi thì
tổng a + b đạt giá trị gì ? khi nào
?
Như vậy , từ hai kết quả trên ta
có nhận xét gì ?
GV : Cho những hình chữ nhật có
chu vi bằng bằng 16 Hãy tìm
hình chữ nhật có diện tích lớn
nhất ?
Gv: Cho những hình chữ nhật có
diện tích bằng 16 Hãy tìm hình
chữ nhật có chu vi nhỏ nhất ?
GV: Hai kết quả trên là một ứg
dụng của BĐT giữa trung bình
cộng và trung bình nhân
GV nêu VD 5 như SGK
Gợi ý : x > 0 thì như thế nào ? 3
x
2
ab 2
S ab 2 S ab 2
Tích ab đạt GTLN khi a= b
Ta có
2
Do đó a + b có GTNN khi a = b
HS phát biểu hệ quả
+ HS nhẩm và tìm ra hình vuông cạnh bằng 4 có diện tích lớn nhất + HS nhẩm và tìm ra hình vuông cạnh bằng 4 có chu vi nhất
HS đọc đề VD5 sgk
x > 0 > 0 3
x Aùp dụng BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có
x
3
đẳng thức xảy ra
x
Hệ quả :
+ Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau + Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau
Ứng dụng :
+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi , hình vuông có diện tích lớn nhất
+ trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích , hình vuông có chu vi nhỏ nhất
Ví dụ 5: Tìm GTNN của hàm số
f(x) = x + với x > 0 3
x Giải :
Vì x > 0 nên > 0 , do đó 3
x
f(x) = x + 23
x
3
x
x
13/ HĐ 2: Tìm BĐT giữa trung bình
cộng và trung bình nhân đối với
ba số không âm :
Tương tự , hãy phát biểu liên hệ
giữa trung bình cộng và trung
bình nhân của ba số không âm ?
GV hướng dẫn HS làm ví dụ 6
HS phát biểu : Trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng Trung bình cộng của ba số không âm bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi
ba số đó bằng nhau
HS đọc đề và làm VD 6 theo gợi ý của GV
3
b) Đối với ba số không âm :
với mọi a 0 , b 0 , c 0 , ta có
3
abc 3
đằng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b = c
Ví dụ 6 : Chứng minh rằng nếu a , b, c là ba số dương thì
Trang 3Áp dụng BĐT giữa trung bình
cộng và trung bình nhân của ba
số không âm cho từng tích rồi
nhân các tích lại với nhau (nhân
vế theo vế )
3
3
a b c
1
abc
Giải : Vì a , b, c là ba số dương nên
(đẳng thức xảy ra khi 3
và chỉ khi a = b = c )
(đẳng thức xảy ra 3
3
Do đó
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
3/ HĐ 3 : Củng cố :
GV yêu cầu HS làm H 3 SGK
Hãy phát biểu kết quả tương tự
hệ quả ở ơhần a) cho trường hợp
ba số dương ?
HS làm H 3 SGK + Nếu ba số dương không đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi ba số đó bằng nhau
+ Nếu ba số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi ba số đó bằng nhau
d) hướng dẫn về nhà (1’)
+) Nắm vững các BĐT về giá trị tuyệt đối và BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân
+) Làm các BT 10, 11b trg 110 SGK
IV.RÚT KINH NGHIỆM: