Phương pháp 6: Phương pháp làm trội Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.. - Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:[r]
Trang 1MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1: Phương pháp dựa vào định nghĩa
- Lập hiệu A-B
- Biến đổi biểu thức (A-B) và chứng minh A-B 0
- Kết luận A B
- Xét trường hợp A=B khi nào
VD: CMR:
với mọi a, b cùng dấu
CM: Ta có:
a, b cùng dấu => ab>o =>
Vậy
Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi a-b=0, hay a=b /
Bài tập tương tự : CMR:
với ab>1
Phương pháp 2: Phương pháp chứng minh trực tiếp
- Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái:
=>
Dấu “ =” sảy ra khi và chỉ khi M=0
VD: CMR:
với mọi x
CM:
Ta có:
=>
Dấu”=” sảy ra khi và chỉ khi x=2
Bài tập tương tự:CMR:
Phương pháp 3: Phương pháp so sánh
- Biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả Suy ra đpcm.
Nếu
Trang 2VD: CMR:
CM:
=>
Phương pháp4: Dùng tính chất tỉ số
Cho 3 số dương a,b,c :
Nếu thì
Nếu thì
Nếu b,d>o thì từ
VD: a,b,c là 3 số dương CMR:
CM:
Do c>o => (3)
và: (5)
cộng vế với vế 3 BĐT kép(3),(4) và (5) ta được:
(đpcm)
Bài tập tương tự: Cho các số dương a1,a2,a3,b1,b2,b3 thoả:
CMR:
Phương pháp 5: Dùng phép biến đổi tương đương
Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đưng với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh đúng
Chú ý các BĐT sau:
- Bình phương của tổng, hiệu
- Lập phương của tổng, hiệu
-VD: Cho a,b là các số thực CMR:
CM:
Trang 3Ta có:
<=>
<=>
=>đpcm
Bài tập tương tự:Cho a,b,c là các số thực CMR:
Phương pháp 6: Phương pháp làm trội
Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.
- Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:
là biểu diễn số hạng tổng quát về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau :
Lúc đó :
-Phương pháp chung để tính tích hữu hạn là biểu diễn số hạng tổng quát
về thương của 2 số hạng liên tiếp nhau
Lúc đó
VD:Chứng minh các BĐT sau với n là STN:
a,
(k>1) b,
CM:
a
Với k>1 ta có
Lần lượt thay k=2,3, ,n rồi cộng lại có:
=> đpcm b
Với mọi k>1 ta có:
Vậy :
Trang 4Lần lượt thay k=2,3, ,n vào rồi cộng lại ta được:
Bài tập tương tự
CMBĐT: :
Phương pháp 7:Phương pháp lượng giác
Sử dụng điều kiện của biến
Đặt x=ksina với hoặc x=kcosa với
VD:
CM: Điều kiện:
Đặt
Khi đó:
với
Bài tập tương tự:
CMR: nếu |x|<1 và n là số nguyên lớn hơn 2 thì ta cs BĐT:
Phương pháp 8: Dùng BĐT trong tam giác
Nếu a,b,c là số đó 3 cạnh của một tam giác thì a,b,c>0 và |b-c|<a<b+c
|a-c|<b<a+c
|a-b|<c<a+b
VD: Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác.CMR:
CM:
a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có :
Cộng vế với vế của BĐT trên ta được
(đpcm)
Trang 5Bài tập tương tự:
Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của tam giác CMR:
với a<b<c
Phương pháp 9: Dùng phương pháp quy nạp
Để chứng minh BĐT T(n) : n là số tự nhiên ta thực hiện các bước sau :
+ Chứng minh BĐT T(1) đúng( Kiểm tra mệnh đề đúng với số nhỏ nhất)
+ Giả sử BĐT T(k) đúng
+ Ta chứng minh BĐT T(k+1) cũng đúng
Khi đó BĐT T(n) đúng với mọi n
VD: CMR với n>2 ta có :
CM:
Giả sử BĐT đúng với n=k,nghĩa là:
Ta CM BĐT đúng với n=k+1, nghĩa là phải CM:
Thật vậy, ta có:
Vậy BĐT đúng với mọi n
Bài tập tương tự:
Phương pháp 10: Sử dụng tính chất hàm lồi
Cho hàm số f(a,b) -> R có tính chất :
Dấu của đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi x1=x2
với mọi x1, x2 thuộc (a,b) và dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi
VD:
CM:
Ta có:
Vì
Trang 6và
Cách khác: f(x)=sinx có f’’(x)= nên f(x) là hàm lõm trên và ta có BĐT 1
Bài tập tương tự:
Cho A,B,C là ba góc của một tam giác, CMR:
Phương pháp 11: Dùng miền giá trị hàm
Bài toán: Chứng minh rằng B<f(x) <A với mọi x.
Đặt y=f(x) <=> y-f(x)=0 ( * )
Biện luận phương trình ( * ) theo y, =>
=>đpcm
CM:
+, Với y=1=>x=0
+>Với y khác 1, ta có
(đpcm)
Bài tập tương tự:
Phương pháp 12: Dùng tam thức bậc 2
(*Định lí về dấu tam thức bậc 2:
+ Nếu thì af(x)>0 với mọi x
Dấu đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi
+Nếu lập bảng xét dấu
*Định lí đảo về dấu cho tam thức bậc 2:
Nếu tồn tại sao cho af(x)<p thì f(x) có 2 nghiệm pb và
Hệ quả: Nếu tồn tại sao cho thì f(x) có 2 nghiệm pb và trong 2 số có một số nằm ngoài khoảng hai nghiệm)
Trang 7Ta chứng minh
CM:Bđt cần Cm tương đương với
Đặt f(x)=VT
Bài tập tương tự: Cm các BĐT sau:
d,
(Đề thi ĐHBK, 1988)
Phương pháp 13: Dùng đạo hàm
Dạng 1: Dùng tính đơn điệu của hàm số
Hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b)
+ Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a,b)thì hàm f(x) tăng trên [a,b] Khi đó mọi x>a thì f(x)>f(a) + Nếu f'(x)<o mọi x thuộc (a,b) thì hàm f giảm trên [a,b] Khi đó với mọi x>a thì f(x)<f(a)
VD: CMR : với mọi x khác 0
CM: đặt f(x)= Khi đó f'(x)=
* Nếu x>0 thì f(x)>0 nên f tăng với mọi Do đó f(x)>0, f(0)=0 =>
* Nếu x<0 thì f(x)<0 nên f giảm khi x<0 Dó đó f(x)>f(0)=0 =>
Vậy với mọi x khác 0
Bài tập tương tự: CMR với thì
Phương pháp 14: Kĩ thuật Cô-si ngược dấu:
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét BĐT Cô-si và một kĩ thuật đặc biêt- kĩ thuật Cô-si ngược dấu Đây là một trong những kĩ thuật hay, khéo léo, mới mẻ của BĐT Cô-si Hãy cùng xem xét các ví dụ cụ thể sau:
VD1: Cho các số dương a,b,c thoả mãn Đk :a+b+c=3 CM BĐT:
LG:
Rõ ràng ta không thể dùng trực tiếp BĐT Cô-si với mẫu số vì BĐT sẽ đổi chiều
Tuy nhiên, rất may mắn, có thể dùng lại BĐT đó, theo cách khác:
Ta đã sử dụng BĐT Cô-si cho 2 số ở dưới mẫunhưng lại có được một BĐT thuận chiều
Trang 8Nếu không biết cách sử dụng phương pháp " Ngược Cô-si" thì BĐT trên sẽ rất khó và dài!
Từ BĐT trên, xây dựng 2 BĐT tương tự với b,c rồi cộng cả 3 BĐT lại suy ra :
vì ta có Đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 /
VD2: CMR: với mọi số thực dương a,b,c,d ta luôn có:
LG:
Áp dụng BĐT Cô-Si:
xây dựng 3 BĐT tương tự với b,c,d rồi cộng vế các BĐT lại ta có điều phải chứng minh Đẳng thức sảy ra khi a=b=c=d
Hãy cùng luyện tập vơí các bài toán sau:
1 Cho a,b,c là các số nguyên dương thoả mãn a+b+c=0 CMR:
2 CMR: với mọi a,b,c,d dương có tổng bằng 4 thì