Bài ôn tập vật lí 11 - Bài tập Công của điện trường - Điện thế - Hiệu điện thế

Trong chuyên đề phần phương trình, bất phương trình và hệ có chứa tham số tôi có đề cập đến cách giải quyết bài toán trên mà không sử dụng Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai.. Bài v[r]

Mở đầu

Trong chương trình môn toán THPT, đặc biệt trong chương trình đổi mới sách giáo khoa thì phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và

lôgarit được đưa vào sách giáo khoa lớp 12 Do vậy, nó đóng một tầm khá

quan trọng trong các đề thi tốt nghiệp và đề thi vào các trường trung cấp, cao

đẳng hay đại học Trước đây, ta thường sử dụng Định lí đảo về dấu của tam

thức bậc hai để so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai Hiện nay

trong chương trình THPT không đưa Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai vào nữa Trong chuyên đề phần phương trình, bất phương trình và hệ có chứa tham số tôi có đề cập đến cách giải quyết bài toán trên mà không sử dụng

Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai Bài viết gồm các phần

A Kiến thức cơ bản

B Phương trình mũ và lôgarit

I Một số phương pháp giải phương trình mũ

II Một số phương pháp giải phương trình lôgarit

III Phương trình mũ và lôgarit có chứa tham số

C Bất phương trình mũ và lôgarit

I Một số phương pháp giải bất phương trình mũ và lôgarit

II Bất phương trình mũ và lôgarit có chứa tham số

D Hệ phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Với kinh nghiệm còn chưa nhiều chắc chắn bài viết sẽ có ít nhiều sai sót, mong các bạn bổ sung và sửa chữa giúp

Bắc Ninh tháng 2 năm 2009

Người viết

Nguyễn Lệ Hoài

Trường THPT Hàn Thuyên

Điện thoại: 01687020334

Phần A Kiến thức cơ bản

I Định nghĩa luỹ thừa và căn

Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho bn = a Với n nguyên dương lẻ và a là số thực bất kì, chỉ có một căn bậc n của a,

kí hiệu là n a

Với n nguyên dương chẵn và a là số thực dương, có đúng hai căn bậc n của a là hai số đối nhau; căn có giá trị dương kí hiệu là n a , căn có giá trị

âm kí hiệu là -n a

Số âm không có căn bậc chẵn

 nN* aR 

nthuaso

n a a a a

a   

  0 a  0 a = a0=1

 n(nN*) a  0

a a

a     1

) ,

n



m

a a

) ,

(

limr n r n Q nN*



 a > 0 a  lima r n

II Tính chất của luỹ thừa

.Giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa

am a n = a m+n; m n; (am)n = amn

n

m

a a



(a.b)n = an.bn; n

n n

b

a b

a















III Tính chất của lôgarit

Giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa

loga1 = 0; loga a = 1; aloga b b; loga ab = b

loga(bc) = loga b + log a c; b c; loga bn = nloga b.

c

b

a a











c b c hay loga b.log b c=log a c.

a

a b

log

log

IV Hàm số mũ y=a x (a>0,a≠1)

V Hàm số logarit y = log a x (a > 0 và a ≠ 1)

y’>0 với mọi xR

Hàm số đồng biến trên R

 ;





x

x a





x

x

a

Bảng biến thiên

y=ax

+

Đồ thị

1 y

y’>0 với mọi xR

Hàm số nghịch biến trên R lim  0;





x





x

x

a

lim Bảng biến thiên

x

0

-

1

y

x 0

+

y=ax

+

x 0

0

y’>0 với mọi x ;0 

Hs đồng biến trên 0 ; 

















x

x

a

x

a

x

log

lim

log

lim

0

Bảng biến thiên

-

Đồ thị

x

y

y’<0 với mọi x ;0 

Hs nghịch biến trên 0 ; 

















x

x

a x

a x

log lim

log lim

0

Bảng biến thiên

y=log a x

-

+

Đồ thị

x y

Phần B Phương trình mũ và lôgarit

I Một số phương pháp giải phương trình mũ và pt logarit

Phương trình mũ cơ bản

a x = m (0 < a ≠ 1)

Nếu m0thì phương trình ax = m vô nghiệm

Nếu m > 0 thì phương trình ax = m có một nghiệm duy nhất

Nếu m xloga m 1 Phương pháp đưa về cùng cơ số

Ta có tính chất: a   a   ;

Các tính chất đó cho phép ta giải một số dạng phương trình mũ bằng cách đưa các luỹ thừa trong phương trình về luỹ thừa với cùng một cơ số

Ví dụ 1: Giải phương trình (0,75)2x-3= (1)

x













3

1 1

Lời giải

Phương trình (1) 

x

























3

4 4

3



5 3

2

4

3 4

























2x-3=x-5x =-2

Vậy phương trình có nghiệm x =-2

Ví dụ 2: Giải phương trình 3 x+1+3x+2+3x+3=9.5x+5x+1+5x+2

(2)

Lời giải:

Phương trình (2)  3x.39=5x.39 1 x=0

5













x



Vậy phương trình có nghiệm x =0

Bài tập tương tự: 1) 2x.3x-1.5x-2=12; 2) 5x+5x+1+5x+3=3x+3x+3-3x+1

2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là chuyển các bài toán đã cho về PT hữu tỉ đã biết cách giải.

Ví dụ 1: Giải phương trình 8  3 7tanx 8  3 7tanx  16 (1)

Lời giải Điều kiện cosx ≠0

Nhận xét 83 783 71 Đặt t= 83 7tanx(t 0) thì phương trình (1) có dạng  1  16 t= và t=

t

Với t=8  3 7 thì 83 7tanx  83 7 tanx =1 x k  (t/mđk)

4

Với t=8  3 7 thì    x    x   x  k  (t/mđk)

4 1

tan 7

3 8 7

3

Vậy phương trình có hai họ nghiệm x  k  và ( )

Ví dụ 2: G i ải phương trình 3.49 x+2.14x-4x=0 (4)

Lời giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 4x> 0, ta được

(4)  1 0 (*)

2

7 2 2

7 3

2





























Đặt ( 0), phương trình (*) có dạng 3.t2+ 2.t – 1= 0

2











t

x

 t=-1(loại) và t =1/3

Với t=1/3 thì log 3

3

1 2

7

2 7



















Vậy phương trình có nghiệm log 3

2 7





x

Ví dụ 3: Tìm nghiệm x < 1 của phương trình 32x-2 +3x-1(3x- 7) – x+2=0

Lời giải.

Đặt t =3x -1(t>0), phương trình có dạng 3t2+(3x -7).t+2 – x =0

Coi phương trình trên là phương trình ẩn t và tham số x

Khi đó biệt số  (3x5)2 Phương trình có hai nghiệm t=1/3 và t= -x+ 2 Với t=1/3 thì 3x-1= 1/3  x11 x =0

Với t=-x+ 2 thì 3x-1=2-x Ta thấy x <1 thì 3x-1<1, còn 2 – x >1suy ra phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có một nghiệm x =0

Ví dụ 4: Giải phương trình 2 2 5 6 21 2 2.26 5 1







x

Lời giải Đặt u=2x2 x5 6, v=21 x2(u>0, v >0) Khi đó u.v=27-5x=2.26-5x

Phương trình trở thành u + v = u.v +1 (u -1)(v -1) =0u=1 hoặc v =1

Với u=1 thì 2x2 x5 6=1 x2-5x +6=0 x =2 hoặc x =3

Với v =1 thì 21x2 =1 1 – x2=0 x =1 hoặc x=-1

Vậy phương trình có 4 nghiệm x =-1, x=1, x =2, x =3

Lưu ý: 1 PT có dạng a bf(x) a bf(x) c với a ba b 1, ta thường đặt  f ( x) (xem ví dụ 1).

b a

t  

2 PT có dạng a.u2f(x) b uv f(x) c.v2f(x)  0, ta thường chia cả hai vế cho v 2.f(x)

Rồi đặt f ( x)(xem ví dụ 2).

v

u

t 













3.Những PT sau khi đặt ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để hoặc biểu diễn quá phức tạp Khi đó ta thường

được một phương trình bậc hai theo ẩn phụ có biệt số chính phương (xem ví 

dụ 3).

4 Đối với một số bài toán ta lựa chọn ẩn phụ và đưa về phương trình tích (xem ví dụ 4)

Bài tập tương tự: 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x ; 2)3 2x 1  3x 1 ( 3x 7 ) x 2  0;

3)  5  2 6 sinx   5  2 6 sinx  2; 4) 4 2 3 2 4 2 6 5 4 2 2 3 7 1







 x x x x x x

5)3 2x 1  3x 1 ( 3x 7 ) x 2  0; 6) 5 0

15

1

8 log sin cos 1

cos 2 sin 2

15

























x x x

x

3 Phương pháp logarit hoá

Phương pháp lôgarit hoá rất có hiệu lực khi hai vế của phương trình có dạng tích các luỹ thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ.

Ví dụ 1: Giải phương trình 57x  75x

Lời giải Hai vế của phương trình đều dương, lấy lôgarit cơ số 5 cả hai vế ta

được phương trình 7x= 5x.log57  log 7

5

7

5













5 7



x

Ví dụ 2: Giải phương trình 3 8x 2  6

x x

Lời giải ĐK x≠- 2

Lôgarit cả hai vế của phương trình theo cơ số 3, ta được

0 2

2 log 2 1 ) 1 ( 2 log 1 2 log 2

3



























x

x x

x x

x=1 hoặc x =2(1+log32)

Lưu ý: Khi lấy lôgarit hoá hai vế, ta thường lôgarit theo cơ số đã có sẵn trong

bài

Bài tập tương tự: 1) x4 5 3  5 logx5; 2) ;

9

1

4log0 , 5(sin2x5sinxcosx2) 

3) 5 8 500; 4)

1





x

x x

1 1

1 1

1 1

2

7 log 5 log 2 3

















x x

x x x

4 Phương pháp hàm số

Các bài toán dạng này thường được sử dụng một trong ba tính chất sau( chú ý hàm số f(x) liên tục trong tập các định)

Tính chất 1: Nếu hàm y = f(x) tăng hoặc giảm trong khoảng (a; b) thì

phương trình f(x) = k ( kR ) có không quá một nghiệm trong khoảng (a; b).

Tính chất 2: Nếu hàm y = f(x) tăng trên khoảng (a;b) và y = g(x) là hàm

giảm trên (a;b) Do đó nếu tồn tại x0 a;b để f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình.

Tính chất 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục, tăng hoặc giảm trên (a;b) thì

f(u)  f(v) u v với mọi u,v (a; b).

Ví dụ 1: G iải phương trình 3x+1=3-x

Lời giải ĐKx <3

Nhận xét:

Vế trái f(x)=3x+1 là hàm đồng biến trên R Vế phải g(x) =3- x là hàm

nghịch biến trên R

x =0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Thật vậy: Với x> 0 thì 3x+1>3; 3 – x <3

Với x<0 thì 3x+1<3; 3 – x>3

Vậy x =0 là nghiệm của phương trình

Ví dụ 2: Giải phương trình x

x

3 8

1 2 

Lời giải Chia cả hai vế của phương trình cho 3x, ta được

1

3

8 3























Nhận xét vế trái f(x) = là hàm nghịch biến trên R

x x



























3

8 3

1

x = 2 là nghiệm của phương trình

Với x>2 thì <1

x x



























3

8 3

1

Với x<2 thì >1

x x



























3

8 3

1

Vậy x =2 là nghiệm của phương trình

Ví dụ 3: Giải phương trình 2x 12x2x x12

Lời giải Phương trình đã cho tương đương với

2x 1 (x1) 2x2x (x2  x)

Đặt u= x-1; v =x2-x

Phương trình có dạng 2u+ u=2v+v (2) Xét hàm số f(t)= 2t+t đồng biến và liên tục trên R.

Phương trình (2) f(u) =f(v) u=v x2– x =x – 1

x2- 2x +1= 0 x=1

Vậy phương trình có nghiệm x =1

Ví dụ 4: Giải phương trình xlog29  x2.3log2x xlog23(1)

Lời giải Đk x > 0 áp dụng công thức alogb c  clogb a Khi đó

(1)  32 log 2x  x2 3log 2x  3log 2x(2)

Đặt t = log2x suy ra x=2t

Khi đó phương trình (2) 32t=4t.3t- 3t 9t+3t=12t

Chia cả hai vế cho 12t và áp dụng cách giải của ví dụ 2

Bài tập tương tự: Giải các phương trình

1) 22x-1+32x+52x+1=2x+3x+1+5x+2; 2) 5 2 6 x 5 2 6 x  10x









 













 

5 Một số phư ơ ng pháp khác

Ví dụ 1: Giải phương trình 2x2  cos2x

Lời giải Ta có x2 ≥0 suy ra 3x2 1 cos2x

Phương trình đã cho tương đương với hệ





























0 1

2 cos

0 1

2 cos

1

x x

x x

x

Vậy phương trình có nghiệm x =0

Lưu ý: Ngoài phương pháp nhận xét đánh giá như trên, ta có thể sử dụng

Định lí Rôn: Nếu hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên khoảng (a;b) thì PT f(x) =

0 có không quá hai nghiệm thuộc (a;b).

Ví dụ 2: Giải phương trình 3x+5x=6x +2

Lời giải.

Phương trình trên tương đươngvới 3x+5x-6x – 2=0

Xét hàm số f(x)= 3x+5x-6x -2, với x R.

Ta có f’(x) =3x.ln3+ 5x.ln5-6, f’’(x)=3x.ln23+5x.ln25>0 với mọi x R.

Như vậy, hàm số y = f(x) liên tục và có đồ thị lõm trên R nên theo Định lí Rôn

phương trình có tối đa 2 nghiệm trên R

Nhận thấy f(0) = f(1) = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0, x = 1

Ví dụ 3: Giải phương trình 2003 x + 2005 x = 2.2004x

Lời giải Phương trình đã cho tương đương với 2003x - 2004x = 2004x - 2005x

Gọi a là một nghiệm của phương trình, khi đó ta có

2003a - 2004a = 2004a - 2005a (2)

Xét hàm số f(t) = ta - (t + 1)a, với t > 0 Dễ thấy hàm số f(t) liên tục và có đạo

hàm trên khoảng (2003; 2005) Do đó, theo Định lí Lagrange tồn tại c (2003; 

2005) sao cho f’(c) = 0

2003 2005

) 2003 ( ) 2005 ( ) (

'







a[c a-1 - (c + 1)a-1] = 0 











1

0

a a

Thử lại ta thấy x = 0, x =1 đều thoả mãn

Lưu ý: Bài toán trên ta sử dụng Định lí Lagrange: Nếu hàm số y = f(x) liên

tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại một điểm

sao cho

 a b

a b

a f b f c f





) (

'

Bài tập tương tự: 1) 3x2  cos 2x; 2) 6x + 2x = 5x + 3x; 3) 9x+3x=10x+2;

II Một số phương pháp giải phương trình Logarit

Phương trình logarit cơ bản có dạng loga x = m Với mỗi giá trị tuỳ ý của m,

phương trình có một nghiệm duy nhất x = a m

1 Phương pháp đưa về cùng cơ số

Nếu   0 ,  0 thì loga   loga   

Ví dụ 1: Giải phương trình (1)

2

1 ) 1 2 3

(

) 3 (x  x  x 

Lời giải Phương trình (1) 























3 1

2 3

1 ) 3 ( 0

x x

(2)

























3 1

3

2 3

x x

x

Nếu x ≥ 1 thì hệ (2) 





















3 4

2 3

x x

x





























3 )

4 (

4

2 3

2 x x x x

Giải hệ tìm được nghiệm

























0 13 9

2

; 4 3

2 x

x

x x

2

29

9 



x

Nếu x < 1 thì hệ (2) tương đương với





















3 2

2 3

x x

x































3 )

2 (

2

2 3

2 x x x x

Giải hệ tìm được nghiệm



















0 1 3

2

2 x

x

x

2

5

3





x

2

29

9



x

2

5





x

Ví dụ 2: Giải phương trình log3[1 + log3(2x - 7)] = 1 (1)

Lời giải (1) 1 + log3(2x - 7) = 3 log3(2x - 7) = 2

2x-7 = 9 2x = 16 x = 4.

Ví dụ 3: Giải phương trình log2x + log3x + log4x = log20x.

Lời giải. Đk: x > 0

Dùng công thức đổi cơ số, ta được

log2x + log2x.log32 + log2x.log42 = log2x.log202

(1 +log32 + log42 - log202).log2x = 0



log2x = 0 x = 1(t/mđk).

Lưu ý:1 PT log f(x) g(x)=b (xem ví dụ 1)













x f x g

x f

) ( ) (

1 ) ( 0

2 Nếu PT có dạng log a x + log b x + log c x + log d x = 0, các cơ số a, b, c, d không biểu diễn luỹ thừa qua nhau Khi đó ta dùng công thức đổi cơ số để đưa chúng về cùng một cơ số và áp dụng các phép toán trên logarit (xem ví dụ 3)

8 2

2

Lời giải Đk:

















1

4 4

x x

Với điều kiện trên phương trình tương đương với

log2 x12log2(4x)log2(x4)

 log 1.4 log (16 2) (2)

2

2 x   x  x1.416x2

Nếu x ≥ -1 thì (2) x2 + 4x – 12 = 0x = 2 hoặc x = -6.

Kết hợp đk ta được x = 2

Nếu x < -1 thì (2) x2 - 4x – 20 = 0 x 22 6

Kết hợp điều kiện ta được x  22 6

Vậy phương trình có hai nghiệm x =2 và x 22 6

Lưu ý: Điều kiện của PT chưa đảm bảo x > 0 thì log a x 2 = 2.loga x

2

1 log

2

1 6 5









 





x

2) log ( 2x 1  5 )  x; 3) log3x + log4x = log12x

2

2 Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải phương trình log2(2x - 1).log1/2(2x+1 - 2) = -2.

Lời giải. Đk: x > 0.

Với đều kiện trên phương trình tương đương với

log2(2x - 1).[- log22.(2x - 1)] = -2 log2(2x - 1).[- 1 - log2(2x - 1)] = -2 (1)

Đặt t = log2(2x - 1)

Phương trình (1) trở thành t2 + t – 2 = 0t = 1 hoặc t = -2.

Với t = 1 thì log2(2x - 1) = 1 2x – 1 = 22x = 3x = log23(tmđk)

Với t = -2 thì log2(2x - 1) = -2 2x – 1 = 1/42x = 5/4x =

log25/4(tmđk)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = log23 và x = log25/4

Ví dụ 2: Giải phương trình log log2 1 5 0

3

2

3 x x  

Lời giải. Đk:x > 0

Đặt t = log2 1, t ≥ 1

3 x

Phương trình trở thành t2 + t – 6 = 0 t = 2 hoặc t = 3 < 0 (loại).

Với t = 2 thì log2 1=2 log3 x = 3









 3 log

3 log

3

3

x

x













3

3

x x

(tmđk)

Vậy phương trình có hai nghiệm x  3 3và x 3 3

Ví dụ 3: Giải phương trình log2x-1(2x2 + x - 1) + logx+1(2x - 1)2 = 4

Lời giải. Phương trình đã cho viết được thành

log2x-1(2x - 1).(x + 1) + logx+1(2x -1)2 = 4 (1)

























0 2

1 1 1 2

0

1 1 0

x x

x

Với điều kiện (*), phương trình (1) log2x-1(x + 1) + 2logx+1(2x - 1) – 3 = 0

Đặt t = log2x-1(x + 1), do điều kiện (*) nên t ≠ 0

Phương trình trở thành 2 3  0 t2 - 3t + 2 = 0 t = 1 hoặc t = 2.

t

Với t = 1 thì log2x-1(x + 1) = 1x + 1 = 2x - 1x = 2 (tmđk).

Với t = 2 thì log2x-1(x + 1) = 2 x + 1 = (2x - 1)2 4x2 - 5x = 0 x =

0(loại) hoặcx = 5/4(tmđk)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x =5/4

Lưu ý: 1 Trong phương trình có chứa căn thì cách đặt ẩn phụ cần khéo léo

đặt để pt của ẩn phụ không còn chứa căn Đối với ví dụ 2 nếu ta đặt t=log 3 x thì pt vẫn chứa căn, nhưng nếu đặt t= log2 1,thì PT của ẩn phụ rất đơn

3 x

giản.

2 Nếu PT có chứa log a b và log b a thì ta đặt log a b=t thì log b a =1/t (xem ví dụ 3).

Ví dụ 4: Giải phương trình 2 2log2 2 2log2 1 2 (1)

x

x









