Có 7 hành khách lên tàu , mỗi người độc lập với nhau chọn một cách ngẫu nhiên một toa.. Tính xác suất để mỗi toa có đúng một khách lên tàu...[r]
Trang 1Tổ hợp và xác suất
I tổ hợp
A Bài toán tổ hợp , chỉnh hợp và hoán vị
1 Cho tập A=0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập từ các số của tập A sao cho số đó chia hết cho 5
2 Cho tập A gồm 50 phần tử khác nhau Xết tập con không rỗng chứa một số chẵn các phần tử rút
ra từ tập A Hãy tính xem có bao nhiêu tập con như vậy
3 Có 20 bông hoa trong đó có 8 bông hồng , 7 bông cúc , 5 bông đào , chọn ngẫu nhiên 4 bông Hỏi làm thế nào để chọn được một bó hoa đủ 3 loại
4 Cho hình vuông ABCD , trên 4 cạnh AB,BC,CD, DA, lần lượt lấy 2;3;4;5 điểm phân biệt khác A;B;C;D Tìm số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 14 điểm nói trên
5 Một lớp học có 33 học sinh , trong đó có 7 Nữ Cần chia lớp học thành 3 tổ , tổ 1 có 10 học sinh,
tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất hai học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy
6 Từ các số 0;1;2;3;4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau ? Tính tổng tất cả các số tự nhiên đó
7 Từ tập E=0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau từng đôi một , sao cho mỗi số lập được thỏa mãn tất cả các yêu cầu sau: có đúng 2 chữ số lẻ, 2 chữ số lẻ đứng kề nhau, chữ số lẻ đứng trước nhỏ hơn chữ số lẻ đứng sau
8 Có bao nhiêu số nguyên dương chẵn với các chữ số khác nhaunằm trong khoảng (20000;70000)
9 Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
10 Cho hai đường thẳng song song d và d’ Trên đường thẳng d có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d’ có n điểm phân biệt(n 2) Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n?
11 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người , gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền trung sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ
12 Trong một môn học thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình , 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi trên thầy giáo có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra , mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau , sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có cả 3 loại câu hỏi và số câu dễ không ít hơn 2
13 Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
14.Từ các số 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?
15 Từ các số 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
16 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam Lập một đoàn công tác gồm 3 người cần có cả nam cả nữ , có nhà toán học , nhà vật lý học Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
17 Đội tuyển học sinh giỏi của một trường là 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách chọn 8 học sinh trong đội dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn?
18 Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh , gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
19 Cho tập E=1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 Từ tập E lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số
20 Từ một nhóm học sinh gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B và 5 học sinh khối C Chọn
Trang 221 Một tổ học sinh gồm 6 nam và 5 nữ, cần chọn 4 người đi lao động Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho:
a Trong nhóm có đúng một học sinh nữ
b Trong nhóm đó không quá 3 học sinh nữ
22 Cho hai đường thẳng d,d’ Trên đường thẳng d lấy 10 điểm phân biệt , d’ lấy 8 điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ 18 điểm nói trên
23: Từ các số 1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số trong đó chữ số 1 và số
2 có mặt 2 lần, mỗi chữ số còn lại có mặt một lần
24 Có bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó chữ số 0 có mặt đúng 2 lần , chữ số 1 có mặt 1 lần còn hai chữ số còn lại phân biệt
25 Từ các số 0;1;2;3;4;5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số không vượt quá 12
26 Từ các số 0;1;2;3;4 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chũ số trong đó chữ số 4 có mặt 3 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng một lần
27 Một nhóm sinh viên gồm 30 người trong đó có 10 sinh viên khoa toán , 10 sinh viên khoa văn,
10 sinh viên khoa nhạc cần lập đội thanh niên tình nguyện 7 người Hỏi
a Có bao nhiêu cách lập đội thanh niên tình nguyện
b Có bao nhiêu cách lập sao cho mỗi nhóm có không ít hơn hai sinh viên tham gia vào đội
28 Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3
29 Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7, có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và 5
30 Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục , hàng trăm, hàng nghìn bằng 8
31 Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và mỗi số lập
được nhỏ hơn 25000
32 Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau, trong đó
có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau
33 Có 4 bi đỏ , 5 bi trẳng và 6 bi vàng Người ta chọn 4 viên từ hộp bi đó.Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra mà ko đủ cả 3 màu
34 Từ 5 bông hồng vàng , 5 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ Người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông
a Có bao nhiêu cách chọn trong đó có duy nhất một bông đỏ
b Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng và ít nhất 3 bông đỏ
35 ở một trường tiểu học có 50 học sinh giỏi toàn diện , trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi Cần chọn 3 em trong số 50 học sinh để dự trai hè Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong số 3 em
được chọn không có cặp anh em sinh đôi
36 Một đại hội thể thao ở môn bóng bàn người khán giả quan sát thấy có 90 cái bắt tay Hỏi ở giải
đố có bao nhiêu vận động viên bóng bàn
37 Một thập giác lồi Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các đỉnh của thạp giác mà cạnh không phải là cạnh của thập giác đó
Trang 3II xác suất
1 Có 4 xạ thủ loại I và 16 xạ thủ loại II , xác suất bắn trúng đích của xạ thủ loại I là 0,9, của xạ thủ loại II là 0,8 Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên đạn Tìm xác suất để viên đạn trúng đích
2 Cho một hộp đựng 12 viên bi trong đó 7 viên bi màu đỏ 5 viên bi màu xanh Tính xác suất để lấy được a: 3 viên bi màu đỏ, b: lấy 3 viên và có ít nhất 2 viên bi màu đỏ
3 Cho 8 quả cân trọng lượng 1kg;2kg;3kg;4kg;5kg;6kg;7kg;8kg Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân Tính xác suất để tổng trọng lượng 3 quả cân không vượt quá 9kg
4 Một người gọi điện thoại quên mất 2 số cuối và chỉ nhớ rằng hai số đó khác nhau Tính xác suất để người đó gọi một lần đúng số cần gọi
5 Một đợt xổ số phát hành 20.000 vé trong đó có 1 giải nhất , 100 giải nhì, 200 giải hai, 1000 giải tư, 5000 giải khuyến khích Tính xác suất để người đó mua 3 vé trúng một giải nhì 2 giải khuyến khích
6 Cho tập hợp F=0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 lấy ngẫu nhiên ra hai phần tử thuộc F , Tính xác suất để hai
số lấy ra đều là hai số chẵn và có tổng nhỏ hơn 7
7 Trong 100 vé xổ số có 1 vé trúng 100.000đ, 5 vé trúng 50.000đ, 10 vé trúng 10.000đ Tính xác suất để một người mua 3 vé
a Người đó trúng 30.000đ
b Người đó trúng 200.000đ
8 Gieo đồng thời hai con xúc xắc , tính xác suất để:
a Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 9
b Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 5
c Số chấm xuất hiện trên hai con hơn kém nhau 3
9 Gieo đồng thời 3 con xúc sắc Tính xác suất để
a Tổng số chấm xuất hiện trên 3 con là 10
b Tổng số chấm trên 3 con là 7
10 Một khách sạn có 6 phòng đơn, có 10 khách đến thuê phòng trong đó có 6 nam và 4 nữ, người quản lý chọn ngẫu nhiên 6 người Tính xác suất để:
a Cả 6 khách là nam
b Có 4 khách nam và 2 khách nữ
c Có ít nhất 2 khách nữ
11 Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9 Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ Tính xác suất để tích trên hai tấm thẻ là một số chẵn
12 Một đàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga, có 4 hành khách từ sân ga lên tàu , mỗi người độc lập với nhau , mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa Tính xác suất để 1 toa có 3 người, một toa có 1 người còn hai toa không có người nào
13 Một toa tàu gồm 7 toa đỗ ở sân ga Có 7 hành khách lên tàu , mỗi người độc lập với nhau chọn một cách ngẫu nhiên một toa Tính xác suất để mỗi toa có đúng một khách lên tàu
Trang 4Bài toán sử dụng nhị thức niu tơn
A Tính tổng
1 Tính giá trị của biểu thức M= ( 1)! biết rằng
4 1
n
A
A n n
149 2
2
4
2 3
2 2
2
C
n n
n
n C
C C
S
1
1 2
3
1 2 2
1
1
2 0
20
18 20
4 20
3 20
2 20
1
4 Tính giá trị của biểu thức Q= Biết x là nghiệm của phương trình
x
x
P
x
A3 18
3
2
1 1 2
1
2
x x
x x
C C
5 Tính tổng S = C n o 22C n1 3.22C n2 (n1)2n C n n
n
n n
n
n C
C
2 2
2 2
1 2
0 2
1 2
1 ) 1 (
3
1 2
1
1
1 3
3 1
2
1 1
1
3
2
1
n
n n n
n n
A
C n A
C A
C A
C
211
2 1
0 n n
C
8 Tính tổng S = 1.2.C2
25
25 25
3
25 24 25 3
.
n C
C
3 3
1
6
1 3
10 Tính tổng S =
! 1
!.
2006
1
! 3
!.
2004
1
! 2003
!.
4
1
! 2005
!.
2
B: Tìm n=?
1 Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niutơn của (2+x) biết :10 n
3 0 3 1 1 3 2 23 3 3 ( 1 ) n 2048
n
n n
n n
n n
n n
2 Tìm số nguyên dương n sao cho;
1 2 2 4
1 2 3 3
1 2 2 2
1 2
1
1
n n
n n
C
3 Tìm n biết : 0 2 1 4 2 2 n 243
n
n n
n
C
4 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn biểu thức
3 3 3 2 32 215(216 1)
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
0
n k
n n n k
k n n
C
2 4
2 2 4
0 2
4 n
n n
C
6 Tìm n sao cho C4n C5n C6n
1 1
1
7 Trong khai triển nhị thức NiuTơn của ( nlogn 1 12n) ,biết số hạng thứ tư bằng 200, tìm n?6
8 Tìm n thỏa mãn phương trình :2( 2 3)=3n -5n
n
n C
C 2
Trang 59 Giải phương trình
n
n n n
P C C
C4 5 6 2
10 Cho nhị thức (1+x) = n a a x a x2 akxk anxntìm n và k sao cho
2 1
0
24 9
2
1
k k
a
11 Tìm n biết 1 C1 2 C2 nCn n 22009
n n
n x a x
a x a
a 2
2 1
0 a0 a1 a n 729
số lớn nhất
2
3 2
1 2
n n
C
C: Chứng minh:
1 2 2
1
6
1 4
1 2
1 2 2
5 2
3 2
1
n
C n C
C C
n n
n n
n n
n n
n n
n n
nC 3 C ( 1 ) C C C C
n n
n n
n n
2005
1 ) 1 (
2005
1 2005
1
2 1
4 Chứng minh đẳng thức
1
1 2 )
1
1 1 (
) 3
1 1 ( ) 2
1 1 ( ) 1 1 (
1 2
1 0
n
C n C
C C
n n n n
n n
5 Chứng minh rằng :
2
1 3
2 2
2
2004 2004
2004 2004 2002
2004 2002 2
2004 2 0
2004
C
6 Chứng minh rằng :
2007
2 2007
1
5
1 3
2006 2006
4 2006
2 2006
0
C
2
1 ( 200
) 2
1 ( 101 )
2
1 (
100 100
1 100 99
0
C
2008
2 2008
1 2008
0
C
2008 2 3
2008 2 2
2008 2 1
2008
n
k n
k
C n
) 1 1
( 2
1
1 1 1
Trang 6D T×m hÖ sè trong khai triÓn
1 T×m hÖ sè cña x trong khai triÓn nhÞ thøc P=x(1-2x) +x (1+3x)5 5 2 10
2 T×m hÖ sè cña x26trong khai triÓn nhÞ thøc x n , biÕt r»ng
1
4
1 2
2 1 2
1
1
n n
C
3 T×m hÖ sè cña x trong khai triÓn nhÞ thøc 8 2 8
) 1 (
4 T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triÓn nhÞ thøc
7
4
x x
5 T×m sè h¹ng chøa x trong khai triÓn nhÞ thøc 8 biÕt
n
x
3
1
) 3 ( 7
3
1
4
n
n n
6 Cho A= sau khi khai triÓn biÓu thøc A gåm mÊy phÇn tö ?
10 3
20
2
1 1
x
x x
x
7 T×m hÖ sè kh«ng chøa x trong khai triÓn nhÞ thøc (x +2 ) , biÕt r»ng
3
1
x
n C n1 C n3 13n
8 T×m hÖ sè x trong khai triÓn nhÞ thøc (24 13 6)
x
x 10
9 T×m hÖ sè kh«ng chøa x trong khai triÓn ( )
x
x 1
2 10 10.T×m hÖ sè cña x trong khai triÓn nhÞ thøc (19 13 5) biÕt C - =8(n+3)
x
5
n
3 4
n C
11.Khai triÓn biÓu thøc (1-2x) ta ®îc ®a thøc cã d¹ng n a a x a x2 anxn T×m
2 1
0
hÖ sè x biÕt a +a +…+a =71.5
12.T×m hÖ sè lín nhÊt trong khai triÓn ( x) thµnh ®a thøc x
3
2 3
a x
a
a0 1 10 10
13 T×m hÖ sè chøa x trong khai triÓn biÓu thøc (1+x+x +x )5 2 3 10
14 T×m hÖ sè x16 trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n (1+3x )2 n 15 biÕt n
n
n
C 11
10
4 10
15 T×m hÖ sè x trong khai triÓn nhÞ thøc (2-3x)7 n biÕt 2 1 1024
1 2
3 1 2
1 1
C
16 Cho khai triÓn (1+2x) = n a a x a x2 anxn cã hÖ sè tháa m·n
2 1 0
4096 t×m hÖ sè lín nhÊt trong c¸c hÖ sè cña x
2
2
1
0 a a n n
a
17 t×m sè h¹ng cã sè mò cña x gÊp 2 lÇn sè mò cña y trong khai triÓn nhÞ thøc (x )
x
y