bµi tËp Hypebol I Môc tiªu bµi d¹y * Hướng hướng dẫn học sinh vận dụng định nghiã hypebol, phương trình chính tắc của hypebol, hình dạng hypebol, bán kính qua tiêu điểm, tiệm cận và tâm [r]
Trang 1Trường THPT Giáo án HH 12
Tiết 24 Hypebol
I Mục tiêu bài dạy
* dẫn học sinh phát hiện và nắm vững các khái niệm định nghiã hypebol, # trình chính tắc của hypebol, hình dạng hypebol, bán kính qua tiêu
điểm, tiệm cận và tâm sai của hypebol
* Rèn luyện kĩ năng tính toán cho học sinh
II Chuẫn bị của GV và HS.
III Tiến trình bài dạy.
Thời
Hoạt động 1 dẫn học sinh phát
hiện và nắm vững khái niệm hypebol
Trong mặ phẳng, cho hai điểm cố định
F1 và F2 với F1F2 = 2c > 0 Lấy một vòng
dây quấn quanh hai điểm F1F2 Ta căng
dây ra rồi quay quanh hai điểm đó để
vạch nên một B0 RB đó gọi là
Hypebol
GV ( ra khái niệm Hypebol
Hoạt động 2. dẫn học sinh phát
hiện # trình chính tắc của hypebol
Giả sử hypebol (E) gồm những điểm M
sao cho: MF1 + MF2 = 2a Chọn hệ toạ
độ Oxy sao cho
F1(-c, 0) và F2(c, 0) M(x, y)
<H> Ta có MF1 = ?
MF2 = ?
Suy ra: MF1 - MF2 = ?
MF1 + MF2 = ?
<H> So sánh |MF1 + MF2| và 2a
<H> M (H) ?
hypebol là
* MF1 = (x + c)2 + y2,
MF2 = (x - c)2 + y2 Suy ra: MF1 - MF2 = 4cx
MF1 + MF2 = 2(x2 + y2 + c2)
M (E) MF1 + MF2 = 2a
* |MF1 + MF2| 2c > 2a
M (H) |MF1 - MF2| = 2a (MF1 - MF2 )2 = 4a2
(MF1 - MF2)2 - 4a2)[( MF1 + MF2 )2 + 4a2] = 0
* Khi x > 0, ta có |MF1 - MF2 | = 2a
1 Định nghĩa.
Trong mặ phẳng, cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2 = 2c > 0 Tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho |MF1 - MF2| = 2a (a là
số không đổi nhỏ hơn c) gọi là một hypebol
F1, F2: tiêu điểm của hypebol Khoảng cách 2c: tiêu cự
M thuộc hypebol thì MF1, MF2 gọi là các bán kính qua tiêu điểm của M
2 Phương trình chính tắc của hypebol.
Giả sử hypebol (H) gồm những điểm M sao cho: |MF1 - MF2| = 2a Chọn hệ toạ độ Oxy sao cho F1(-c, 0) và F2(c, 0)
M, ta có: MF1 = (x + c)2 + y2,
MF2 = (x - c)2 + y2 Suy ra: MF1 - MF2 = 4cx
MF1 + MF2 = 2(x2 + y2 + c2)
Để ý |MF1 + MF2| 2c > 2a nên (MF1 - MF2)2 - 4a2 ≠ 0
M (H) |MF1 - MF2| = 2a (MF1 - MF2 )2 = 4a2 (MF1 - MF2)2 - 4a2)[( MF1 + MF2 )2 + 4a2] = 0 (MF1 - MF2 )2 - 8(MF1 + MF2 ) + 16a4 = 0 16c2x2 - 16a2(x2 + y2 + c2) + 16a4 = 0 x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(c2 - a2)
2 2
2
c a
y a
x
1
2 2 2
2
b
y a x
M
(H)
Trang 2Trường THPT Giáo án HH 12
(với b2 = c2 - a2)
1
2 2 2
2
b
y a
x
<H> Từ MF1 - MF2 = 4cx
|MF1 - MF2 | = 2a suy ra MF1 ,
MF2 ?
Hoạt động 3 dẫn học sinh phát
hiện và nắm vững hình dạng của
hypebol
Lấy M(x, y) (H)
<H> Nhận xét gì về M’(-x, y) ?
A# tự cho điểm M”(x, -y) ?
Từ đó ta có thể kết luận điều gì ?
<H> Xác định giao điểm của hypebol
với các trục toạ độ ?
<H> M(x, y)(E): 2 1, nhận
2 2
2
b
y a x
xét gì về x suy ra điều gì ?
Hoạt động 4. dẫn học sinh phát
hiện và nắm vững tiệm cận của hypebol
2 2 2
2
b
y a x
<H> Tìm y theo x ?
<H> Tìm tiệm cận của hàm
a x a
b
Hoạt động 5. dẫn học sinh phát
hiện tâm sai của hypebol
Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của
MF1 - MF2 = 2a MF1 + MF2
= 2 Các bán kính đi qua tiêu
a cx
điểm của điểm M là:
MF1 = a + và
a cx
MF2 = - a +
a cx
M’(-x, y) đối xứng với M qua Ox và M’ (H)
M”(-x, y) đối xứng với M qua Oy và M” (H)
Từ đó ta thấy hypebol nhận Ox và
Oy làm trục đối xứng, nên nó có tâm
đối xứng là O
y = 0 2 1 x=a, x= -a
2
a x
Hypebol (E) cắt Ox tại (-a, 0) và (a, 0) và không cắt
* x2 a2 x a hoặc x -a Vậy không có điểm nào thuộc hypebol nằm giữa hai B thẳng x = a và
x = -a
2 2
2
b
y a
x
2
2 2 2
a
a x
a x a
b
c # trình: 2 1 (với b2 = c2 - a2) gọi là # trình chính
2 2
2
b
y a x
tắc của hypebol
Chú ý: a, Các bán kính đi qua tiêu điểm của điểm M là:
i, Nếu x > 0 thì MF1 = a + và MF2 = - a +
a
cx
a cx
ii, Nếu x < 0 thì MF1 = - a - và MF2 = a -
a
cx
a cx
b, Nếu chọn F1(0, -c) và F2 (0, c) thì hypebol có # trình là
2 2
2
a
y b x
3 Hình dạng của hypebol
2 2 2
2
b
y a x
a, Hypebol (E) nhận Ox, Oy làm trục đối xứng, nên nó
nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng
b, Hypebol (E) cắt Ox tại A1(-a, 0) và A2(a, 0) và không cắt Oy Trục Oy gọi là trục ảo của hypebol còn trục Ox gọi là trục thực
2a: độ dài trục thực, 2b: độ dài trục ảo
2 2 2
2
b
y a x
x2 a2 x a hoặc x -a Vậy không có điểm nào thuộc hypebol nằm giữa hai B thẳng x = a và x = -a Hypebol gồm hai nhánh, nhánh trái gồm những điểm nằm bên trái B thẳng x = -a, nhánh phải gồm những điểm nằm bêẩiphỉ B thẳng x = a
4 Đường tiệm cận của hypebol
2 2 2
2
b
y a x
1
2 2 2
2
b
y a
x
2
2 2 2
a
a x
a x a
b
Gọi (H1) là một phần của hypebol nằm trong góc phần thứ nhất của hàm số y = x2 a2 , x a
a
b
N
M Q
P
b
-a
y
-b
Trang 3Trường THPT Giáo án HH 12
hypebol gọi là tâm sai của hypebol
<H> e = ?
<H> Nhận xét gì về tâm sai của hypebol
?
Củng cố: Nắm vững hình dạng và tâm
sai của hypebol
Làm hết các bài tập SGK
* Tâm sai của hypebol (E):
là 1
2 2 2
2
b
y a x
a
b a a
* Tâm sai của hypebol luôn luôn lớn hơn 1
2 2
2 2
2
lim(
a a
b x
a
b a x a
b
x x
Vậy phần của hypebol nằm trong góc phần thứ nhất nhận B thẳng y = x làm tiệm cận A# tự ba phần còn lại cuae hypebol (H)
a b
cũng nhận hai B thẳng y = x và y = - x làm tiệm cận
a
b
a b
Tóm lại hypeol có hai B tiệm cận là: y = x và y = - x
a
b
a b
Chú ý: Từ hai đỉnh của hypebol ta vẽ hai B thẳng song song cắt hai tiệm cận tạ 4 điểm P, Q, S và S Đó là 4 đỉnh của một hình chữ nhật Hình chữ nhật đó gọi là hình chữ nhật cở sở của hypebol
4 Tâm sai của hypebol.
Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực của hypebol gọi là tâm sai của hypebol, kí hiệu: e
2 2
2
b
y a
x
a
b a a
Chú ý. Tâm sai của hypebol luôn luôn lớn hơn 1
Tiết 25 bài tập Hypebol
I Mục tiêu bài dạy
* dẫn học sinh vận dụng định nghiã hypebol, # trình chính tắc của hypebol, hình dạng hypebol, bán kính qua tiêu điểm, tiệm cận và tâm sai của hypebol để giải các bài tập SGK
* Rèn luyện kĩ năng tính toán cho học sinh
II Chuẫn bị của GV và HS.
III Tiến trình bài dạy.
Thời
Trang 4Trường THPT Giáo án HH 12
Hoạt động 1 dẫn học sinh phát
lập PTCT của hypebol
* Gọi hs giải bt 1(SGK)
<H> Nêu PTCT của hypebol ?
GV nhận xứt đsnhs gía và ghi
điểm
<H> Nêu hình dạng của hypebol ?
<H> Nêu tâm sai của hypebol ?
Hoạt động 2. dẫn học sinh giải
bài tập 4 sgk
Gọi I(0, b) là tâm B tròn
<H> BK B tròn R = ?
<H> Gọi M(x, y) thì M’có toạ độ là gì
? Ta có: x = ? và y = ?
<H> Suy ra quỹ tích các điểm M ?
Hoạt động 3. dẫn học sinh giải
bài tập 7 sgk
Giả sử hypebol (H) có PTCT:
1
2 2 2
2
b
y a
x
<H>Khi đó hai B tiệm cận có
PTTQ là gì ? 1: bx + ay = 0 và 2: bx
– ay = 0 Gọi M(x, y) (H) Khi đó:
1
2 2 2
2
b
y a
x
<H> Tích các khoảng cách từ M đến
hai tiệm cận là gì ?
Hoạt động 4. dẫn học sinh giải
bài tập làm thêm
Củng cố: Nắm vững hình dạng và tâm
sai của hypebol
Làm hết các bài tập SGK
2 2 2
2
b
y a x
(với b2 = c2 - a2) gọi là # trình chính tắc của hypebol
* Hypebol (E) nhận Ox, Oy làm trục đối xứng, nên nó
nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng
* Tâm sai của hypebol (E):
1
2 2 2
2
b
y a
x
a
b a a
* Gọi I(0, b) là tâm B tròn BK
B tròn là R = 2 2
b
* M’(-x, y) và x = R và y = b
Ta có x2 – y2 = R2 – b 2 = a2 Vậy quỹ tích các điểm M là hypebol x2 – y2 =a2.
* Hai B tiệm cận có PTTQ là:
1: bx + ay = 0 và 2: bx – ay = 0
Gọi M(x, y) (H)
* Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là:
2 2 2 2
b a
ay bx b a
ay bx
2 2
2 2
b a
b a
Bài tập 2.
a, ta có: a = 4, c = 5 b = 3 PTCTcủa Hypebol là: 1
9 16
2 2
y
x
b, a, ta có: c = 13 và
1 4 9 : 4
, 9 13
, 9
4 3
2
2 2
a
a b a
b
c, Giả sử PTCT của Hypebol: 2 1, vì nó đi qua M( , 6) nên:
2 2
2
b
y a
x
10
1 36 10
2
b
2 2
2
a
b a
c
b2 = 4 Vậy PTCT của hypebol là: 1
4 1
2 2
y
x
Bài tập 4 Gọi I(0, b) là tâm B tròn BK B tròn
là R = 2 2 Gọi M(x, y) thì M’(-x, y)
b
Ta có: x = R và y = b
x2 – y2 = R2 – b 2 = a2 Vậy quỹ tích các
điểm M là hypebol x2 – y2 =a2.
Bài tập 7 Giả sử hypebol (H) có PTCT: 2 1, khi đó hai B tiệm
2 2
2
b
y a x
cận có PTTQ là: 1: bx + ay = 0 và 2: bx – ay = 0 Gọi M(x, y) (H) Khi
đó: 2 1 Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là:
2 2
2
b
y a x
(không phụ thuộc vào M)
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
|
|
|
b a
b a b
y a
x b a
b a b a
ay bx b a
ay bx
Baứi taọp laứm theõm: Cho (E) : x2 y2 1 Vieỏt phửụng trỡnh cuỷa (H) coự
25 16
ủổnh laứ caực tieõu ủieồm cuỷa (E), coự tieõu ủieồm laứ caực ủổnh cuỷa (E)
Giaỷi
* (E) coự caực tieõu ủieồm F1, 2 ( 3, 0)
* Tửứ giaỷ thieỏt suy ra (H) coự tieõu ủieồm '
1,2
F 5,0
vaứ 2 ủổnh (3, 0) (H) : =1 c’ = 5, a’ = 3 (H) =1
x y
9 16
8
6
4
2
-2
B
M' A
M
Trang 5Trường THPT Giáo án HH 12