Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán chứng minh hình học bằng phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11

Để có thêm được một phương pháp giải các bài toán chứng minh cho các bàitoán hình học tôi quyết định chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải các bài toánchứng minh hình học bằng phương pháp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

− − − − − − − − −

ĐOÀN VĂN HUY

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN

CHỨNG MINH HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ CHO HỌC SINH

LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

− − − − − − − − −

ĐOÀN VĂN HUY

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN

CHỨNG MINH HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ CHO HỌC SINH

LỚP 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thanh Hồng

Hà Nội – 2021

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian học tập và nghiên cứu tai Trường Đại học Giáo dục - Đạihọc Quốc Gia Hà Nội, đến giai đoạn hiện nay Luận văn nghiên cứu của tôi đãhoàn thành Trong khoảng thời gian từ khi bắt đầu nhập học, trong quá trìnhhọc tập ở giảng đường sau đại học và thời gian nghiên cứu chuẩn bị cho viếtLuận văn này, tác giả đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ, sự ủng hộnhiệt tình của quý Thầy Cô, gia đình và bạn bè và cả sự ủng hộ của các em họcsinh trong quá trình tiến hành thực nghiệm cũng như giảng dạy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm cùng toàn thể quý thầy côkhoa sư phạm, Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo mọiđiều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thànhluận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thanh Hồng đã tận tình, chỉ bảo,giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các bạn đồng nghiệp tổ ToánTin cùng toàn thể các em học sinh lớp 11A1, 11A3 trường THPT Ứng Hòa B,Ứng Hòa, Hà Nội, cũng như gia đình, bạn bè đã nhiệt tình, tạo mọi điều kiệngiúp đỡ tác giả trong quá trình thực nghiệm sư phạm để hoàn thiện luận văn.Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và trình độ nghiên cứu còn hạnchế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong được

sự góp ý chân thành của qúy thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiệnhơn

Hà nội, ngày 03 tháng 12 năm 2020

tác giả

Đoàn Văn Huy

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

STT Cụm từ viết tắt Nội dung

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 1.1 Bảng thống kê kết quả điều tra đối với giáo viên 26Bảng 1.2 Bảng thống kê kết quả điều tra đối với học sinh 28Bảng 3.1 Bảng phân bố kết quả bài kiểm tra thứ nhất 68Bảng 3.2 Bảng thống kê tỷ lệ học sinh giỏi, khá, TB, yếu kém bàikiểm tra thứ nhất 69Bảng 3.3 Bảng thống kê mô tả các tham số đặc trưng bài kiểm trathứ nhất 69Bảng 3.4 Bảng phân bố kết quả bài kiểm tra thứ hai 70Bảng 3.5 Bảng thống kê tỷ lệ học sinh giỏi, khá, TB, yếu kém bàikiểm tra thứ hai 71Bảng 3.6 Bảng thống kê mô tả các tham số đặc trưng bài kiểm trathứ hai 71

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 3.1 So sánh kết quả bài kiểm tra lần 1 sau thực nghiệm ở 2 lớpTNSP 70Hình 3.2 So sánh kết quả bài kiểm tra lần 2 sau thực nghiệm ở 2 lớpTNSP 71

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU iii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ iv

MỤC LỤC v

MỞ ĐẦU 1

0.1 Lý do chọn đề tài 1

0.2 Mục đích nghiên cứu 2

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

0.4 Khách thể và Đối tượng nghiên cứu 3

0.4.1 Khách thể nghiên cứu 3

0.4.2 Đối tượng nghiên cứu 3

0.5 Phạm vi nghiên cứu 3

0.6 Giả thuyết khoa học 4

0.7 Phương pháp nghiên cứu 4

0.8 Dự kiến những đóng góp của luận văn 4

0.9 Cấu trúc của luận văn 5

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6 1.1 Khái niệm bài toán Phương pháp giải toán 6

1.1.1 Bài toán 6

1.1.2 Phân loại bài toán 6

1.1.3 Chức năng của bài tập toán 7

1.1.4 Bài toán chứng minh 8

1.2 Kỹ năng 8

1.2.1 Kỹ năng là gì? 8

1.2.2 Đặc điểm của kỹ năng 9

1.2.3 Sự hình thành và phát triển kỹ năng 9

1.2.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng 12

1.3 Kỹ năng giải toán 12

1.3.3 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 14

1.3.4 Phân loại kỹ năng trong môn toán 15

1.3.5 Dạy học phương pháp giải bài tập toán 16

1.4 Chứng minh toán học và dạy học chứng minh 19

1.4.1 Chứng minh 19

1.4.2 Bác bỏ 19

1.4.3 Chứng minh bằng phản chứng 19

1.4.4 Dạy học chứng minh 19

1.4.5 Phân loại chứng minh 20

1.4.6 Phương pháp tìm tòi chứng minh 20

1.4.7 Phương pháp chứng minh bằng vectơ 21

1.5 Một số kỹ năng giải một bài toán chứng minh hình học 21

1.5.1 Nhóm kỹ năng chung khi giải bài tập toán 21

1.5.2 Nhóm kỹ năng cơ bản khi giải bài nội dung hình học 11 22 1.6 Chủ đề vectơ trong chương trình phổ thông 23

1.6.1 Nội dung của chủ đề vectơ trong chương trình THPT 23

1.6.2 Mục đích, yêu cầu của việc dạy học chủ đề vectơ trong bậc THPT 23

1.7 Liên hệ thực tiễn trong dạy học chủ đề vectơ lớp 11 25

1.7.1 Thực trạng vấn đề dạy học giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ ở trường THPT 25

1.7.2 Thực trạng vấn đề kỹ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ ở trường THPT 27

1.8 Kết luận chương 1 28

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ 30 2.1 Quy trình chung cho việc rèn luyện kỹ năng 30

2.2 Các nguyên tắc xậy dựng các biên pháp 31

2.2.1 Phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT 31

2.2.2 Phù hợp với Lý luận dạy học bộ môn 32

2.2.3 Phù hợp với Yêu cầu chương trình 32

2.2.4 Phù hợp với Đối tượng học sinh 32

2.3 Một số kỹ năng chứng minh bằng phương pháp vectơ trong hình

học 11 33

2.3.1 Kỹ năng chứng minh các điểm thẳng hàng 33

2.3.2 Kỹ năng chứng minh các vectơ song song hoặc đồng phẳng 39 2.3.3 Kỹ năng chứng minh liên quan đến quan hệ vuông góc 43

2.3.4 Kỹ năng chứng minh các hệ thức 53

2.3.5 Kỹ năng chứng minh các Bất đẳng thức 57

2.4 Kết luận chương 2 63

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 64 3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 64

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm 64

3.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 64

3.4 Kế hoạch, nội dung và đánh giá thực nghiệm sư phạm 64

3.4.1 Công tác chuẩn bị 64

3.4.2 Đối tượng thực nghiệm và thời gian thực nghiệm 65

3.4.3 Nội dung thực nghiệm 66

3.4.4 Đánh giá thực nghiệm sư phạm 67

3.5 Kết luận chương 3 72

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 73

1.Kết luận 73

2.Khuyến nghị 73

MỞ ĐẦU 0.1 Lý do chọn đề tài

Từ năm 2018 đến nay, chương trình giáo dục phổ thông mới đã và đang đượcxây dựng theo định hướng phát triển phẩm chất và năng lực của người học, việcbiên soạn sách giáo khoa, giáo án, tổ chức dạy học đóng vai trò vô cùng quantrọng trong việc tạo môi trường học tập và rèn luyện giúp người học phát triểnhài hòa về thể chất và tinh thần; có những phẩm chất tốt đẹp và năng lực cầnthiết để đáp ứng nhu cầu công nghiệp hóa hiện đại hóa của đất nước

Nghị quyết số 29 Trung ương 8 khóa XI ngày 4 tháng 11 năm 2013, Nghịquyết số 88 Quốc hội khóa XIII ngày 28 tháng 11 năm 2014, chương trình giáodục phổ thông tổng thể năm 2017, chương trình giáo dục phổ thông môn Toánnăm 2018 với các cách thức diễn đạt khác nhau nhưng đều đi đến thống nhấtquan điểm: Chuyển nền giáo dục từ chủ yếu truyền thụ kiến thức sang pháttriển năng lực cho người học

Cụ thể hơn nữa, trong chương trình giáo dục phổ thông môn toán do Bộ giáodục và đào tạo ban hành năm 2018 có nêu rõ các yêu cầu đối với giáo dục phổthông môn toán là học sinh hình thành và phát triển được tính chăm chỉ, kỉluật, kiên trì, chính xác, chủ động, linh hoạt, độc lập, sáng tạo, hợp tác, trungthực; thói quen tự học, hứng thú và niềm tin trong học Toán, cùng với đó là gópphần hình thành và phát triển cho học sinh các nhóm năng lực cần thiết, phùhợp với xu thế hiện nay là: tự chủ và tự học; giao tiếp và hợp tác; giải quyết vấn

đề và sáng tạo Đặc biệt, học sinh hình thành được và phát triển hơn nữa nănglực toán học đã được học ở bậc THCS, nhằm đạt được mục tiêu giáo dục Toánhọc ở bậc THPT

Đối với học sinh trung học phổ thông (THPT), khái niệm vectơ dường nhưvẫn còn rất mới mẻ, đặc biệt hơn nữa là sử dụng vectơ để giải các bài toán lạicàng hiếm hoi hơn rất nhiều Khả năng huy động kiến thức liên quan đến vectơ

là một điều rất bị hạn chế dẫn đến hạn chế khả năng phân tích, biến đổi, mấtrất nhiều thời gian mà vẫn không tìm ra hướng giải quyết

Những năm trở lại đây cũng có những nghiên cứu về phương pháp vectơ nhằm

áp dụng vào giải các bài toán, tuy nhiên chưa có luận văn nào đề cập một cách

cụ thể về phương pháp chứng minh bằng phương pháp vectơ.

Lý thuyết về vectơ, các phương pháp vectơ là lĩnh vực áp dụng rộng rãi vàphong phú trong rất nhiều bộ môn đặc biệt là bộ môn Vật lý có ảnh hưởng sâurộng trong thời đại kỹ thuật số hiện nay

Để có thêm được một phương pháp giải các bài toán chứng minh cho các bàitoán hình học tôi quyết định chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải các bài toánchứng minh hình học bằng phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11"

0.2 Mục đích nghiên cứu

Việc nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải cácbài toán chứng minh hình học bằng phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11”không chỉ xác định các hình thức và biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng chứngminh cho học sinh mà còn góp phần nâng cao chất lượng dạy học cho giáo viên

và chất lượng học tập cho học sinh trung học phổ thông

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn về dạy học rèn luyện kỹ năng nóichung và rèn luyện kỹ năng giải các bài toán chứng minh hình học bằng phươngpháp vectơ nói riêng Từ các quan điểm của Đảng, của Bộ Giáo dục và Đào tạođến những thành tựu lý luận dạy học, phương pháp đổi mới dạy học đối vớimôn Toán hiện nay

Nghiên cứu về nhiệm vụ và bản chất của việc dạy học rèn luyện kỹ năng đangđược Đảng và Nhà nước định hướng và áp dụng hiện nay

Khảo sát, điều tra thực tiễn dạy học phần hiện nay với môn Toán nói chung

và các phương pháp để rèn luyện kỹ năng chứng minh bằng phương pháp vectơnói riêng nhằm đánh giá việc sử dụng phương pháp giải toán bằng vectơ hiệnnay ở các trường THPT để có kế hoạch đề xuất cũng như bồi dưỡng cho cácgiáo viên ở khu vực đó về phương pháp giúp các em học sinh được tiếp cận vớiphương pháp giải toán này

Thiết kế, xây dựng các tình huống dạy học theo hướng rèn luyện kỹ năng

pháp này của các em.

Thiết kế, xây dựng các giáo án dạy học theo hướng rèn luyện kỹ năng thôngqua các bài toán chứng minh bằng phương pháp vectơ nhằm giúp các em cóthêm cách thức tiếp cận mới cho các bài toán chứng minh ở nội dung chứngminh lớp 11

Xây dựng hệ thống bài tập hướng rèn luyện kỹ năng thông qua các bài toánchứng minh bằng phương pháp vectơ nhằm rèn luyện các kỹ năng giải toán chocác em, giúp các em có thêm một kỹ năng chứng minh mới trong việc giải cácbài toán ở nội dung hình học không gian lớp 11

Tiến hành thực hiện thực nghiệm sư phạm ở nơi đang giảng dạy nhằm kiểmchứng về tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất

Xử lý các kết quả thực nghiệm bằng các công cụ thống kê nhằm đánh giáthông qua các số liệu cụ thể để minh chứng các kết quả là đạt hiệu quả hơn sovới khi chưa tiến hành thực nghiệm

0.4 Khách thể và Đối tượng nghiên cứu

0.4.1 Khách thể nghiên cứu

Chương trình SGK hình học lớp 10 ban cơ bản, sách giáo khoa lớp 11 ban

cơ bản và dạy học giải toán chứng minh hình học cho học sinh lớp 11 trườngTHPT Ứng Hòa B huyện Ứng Hòa Thành phố Hà Nội

0.4.2 Đối tượng nghiên cứu

Các Kỹ năng giải toán và các biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán về chứngminh hình học bằng phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11

Hệ thống các bài tập, các bài giảng, biện pháp sư phạm dạy học môn hìnhhọc 11 chương 3

0.5 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu giải các bài toán chứng minh hình học lớp 11 bằng phương phápvectơ ban cơ bản và các tài liệu tham khảo lớp 11 phần hình học chương II vàchương III

0.6 Giả thuyết khoa học

Nếu dạy học theo hướng rèn luyện kỹ năng giải các bài toán chứng minh hìnhhọc bằng phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11 thì sẽ góp phần rèn luyện kỹnăng giải các bài toán chứng minh hình học bằng phương pháp vectơ cho họcsinh lớp 11, tạo cho học sinh thêm nhiều cơ hội rèn luyện các kỹ năng căn bản

và góp phần phát triển năng lực toán học

0.7 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sẽ sử dụng một số biện pháp nghiên cứu sau đây:

Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu chính sách, nghiên cứu các tàiliệu, sách, báo, các công trình luận án, các khóa luận liên quan đến đề tài.Phương pháp điều tra - quan sát: Dự giờ, thăm lớp, quan sát việc dạy họccủa giáo viên trên lớp và hoạt động giáo dục, việc học tập của học sinh trongquá trình dạy học nội dung vectơ nhằm rèn luyện các năng lực cho học sinh.Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Đúc rút lại những kinh nghiệm đã được

có được từ thực tế dạy giảng dạy và quá trình nghiên cứu của bản thân, củađồng nghiệp thông qua trao đổi với những đồng nghiệp có kinh nghiệm ở cáctrường phổ thông

Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành giảng dạy trực tiếp trên lớp

về nội dung của đề tài cho học sinh lớp 11 với nhóm đối tượng khá, giỏi nhằmbước đầu kiểm tra tính khả thi, hiệu quả của đề tài

Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu được sau khi điều tra

0.8 Dự kiến những đóng góp của luận văn

Về mặt lý luận: Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải cácbài toán chứng minh hình học bằng phương pháp vectơ cho học sinh lớp 11

Về mặt thực tiễn: Thiết kế hệ thống các tình huống, giáo án, cách tổ chứchoạt động, các câu hỏi tình huống, các bài tập trên lớp cũng như bài tập về nhànhằm rèn luyện kỹ năng giải các bài toán chứng minh hình học bằng phương

0.9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận vănđược chia thành 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng chứng minh bằng phươngpháp vectơ

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Khái niệm bài toán Phương pháp giải toán

1.1.1 Bài toán

"Bài toán" có rất nhiều cách hiểu khác nhau, cách diễn đạt khác nhau Chúng

ta xem xét một vài cách hiểu về bài toán khác nhau sau đây:

Theo Từ điển toán học thông dụng [9]:"Bài toán là vấn đề cần được giải đápbằng suy luận logic và phương pháp khoa học"

Theo Từ điển tiếng việt [23]:"Bài toán là vấn đề cần được giải quyết, tìm rađáp án bằng quy tắc, định lí."

Hay theo tác giả Lê Văn Tiến đã đề cập trong cuốn Phương pháp dạy họcmôn toán ở trường phổ thông thì Bài toán có đến tận ba quan niệm khác nhausong cũng chưa đi đến thống nhất một quan niệm duy nhất

Do vậy, bài toán cùng nghĩa với đề toán, vấn đề, nhiệm vụ,

1.1.2 Phân loại bài toán

Để sử dụng các bài toán một cách thuận tiện và để đạt được những mục đíchnhất định thì các bài toán được phân loại theo nhiều cách khác nhau

Cũng theo G.Polya[6], các bài toán cần phải được phân loại, khi phân loạicác bài toán sao cho mỗi loại bài toán đạt được việc xác định trước một phươngpháp giải thì đó gọi là một sự phân loại tốt Dựa vào yêu cầu đã được bài toánnêu ra, mục đích của bài toán sẽ hướng đến, ông cũng chia bài toán thành hailoại: Các bài toán về tìm tòi và các bài toán về chứng minh

Bài toán tìm tòi: gồm các bài toán tính toán, dựng hình, tập hợp điểm, toángiải phương trình hoặc bất phương trình, Yêu cầu của các bài toán dạng nàythường được thể hiện bằng các từ: tính, tìm, giải, xác định, dựng,

Bài toán chứng minh: Yêu cầu của các bài toán dạng này thường được thểhiện bằng các cụm từ: Chứng minh rằng, chỉ ra, tại sao, Bài toán được chialàm hai phần chính bao gồm: Cái đã cho - Giả thiết và cái cần chứng minh -

Trong quá trình làm bài tập, học sinh hay gặp các bài toán mà trong đó cóphần là bài toán ở dạng tìm tòi, có phần là bài toán ở dạng phải chứng minh

và bài toán ở dạng với nội dung bắt gặp trong thực tiễn Những bài toán códạng như vậy được gọi là bài toán tổng hợp Ngoài ra dựa trên những yêu cầucủa chuyên ngành nhỏ bài toán còn được phân chia thành các loại bài toán theochuyên ngành cụ thể như: Bài toán số học, Bài toán đại số, Bài toán hình học.Với các bài toán hình học có thể phân thành các loại: Bài toán về tính toán,bài toán về chứng minh, bài toán về tìm quỹ tích, bài toán dựng hình

1.1.3 Chức năng của bài tập toán

Ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học, mỗi bài tập toán đều có thể

có những chức năng sau: chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năngphát triển, chức năng kiểm tra Trong đó:

Chức năng dạy học: Khi giải các bài toán học sinh học được các tri thức mới,các kỹ năng mới, kỹ xảo được hình thành

Chức năng giáo dục: Khi giải các bài toán học sinh nhận thức được thế giớixung quanh thông qua các ví dụ thực tế qua đó làm cho các em hứng thú hơnvới việc học và sẽ tự sáng tạo để có thể giải quyết các bài toán dựa trên kinhnghiệm của bản thân và sẽ cảm thấy tin tưởng hơn vào tri thức mình có hìnhthành nên phẩm chất đạo đức người lao động mới

Chức năng phát triển: Thông qua giải các bài toán học sinh sẽ phát triểnđược các năng lực mà giáo viên mong muốn hoặc hướng đến

Chức năng kiểm tra: thông qua việc giải các bài tập toán giáo viên sẽ nhậnđược cái nhìn chính xác hơn về năng lực, phẩm chất đạo đức của học sinh nhằmđánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khảnăng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của học sinh

Các chức năng nói trên đều hướng tới việc thực hiện mục đích dạy học Việcdạy toán ở trường phổ thông có hiệu quả hay không phụ thuộc vào sự khai thác

và thực hiện đầy đủ các chức năng có thể có của bài tập bằng năng lực sư phạmcủa giáo viên

1.1.4 Bài toán chứng minh

Mục đích của bài toán chứng minh là chứng minh một điều đã được phátbiểu rõ ràng là đúng hay sai

Một bài toán chứng minh có dạng thông thường nhất thì các yếu tố chínhcủa nó sẽ là giả thiết và kết luận, kết luận là cái ta cần chứng minh hay bác bỏ.Trong bài toán chứng minh cần phân biệt, nhận biết chính xác đâu là giảthiết và đâu là kết luận Hãy tìm cách đi từ giả thiết đến kết luận thông quacác dữ liệu đã được đưa ra ở giải thiết và các dữ liệu trước đó Xem xét kỹ kếtluận, phân biệt kỹ các phần khác nhau của kết luận

Từ điển Tiếng Việt [23] khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng nhữngkiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó áp dụng vào thực tế”.Theo giáo trình tâm lý học giáo dục [19] thì: “Kỹ năng là sự thực hiện có kếtquả một hành động bằng cách vận dụng những tri thức, kinh nghiệm về hànhđộng này để tiến hành phù hợp với những điều kiện cho phép”

Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học Sư phạm [16] thì: “Kỹnăng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp) đểgiải quyết một nhiệm vụ mới”

Theo Giáo sư G.Polya [6] người Mỹ thì cho rằng “Kỹ năng là một nghệ thuật,

là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của

ông nói “trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện cácchứng minh cũng như có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”.Các khái niệm trên tuy khác nhau về cách diễn đạt song đều đi đến một cáichung là kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phươngpháp ) để giải quyết thành công một nhiệm vụ trong những điều kiện cụ thể.1.2.2 Đặc điểm của kỹ năng

Khi vận dụng các kỹ năng để giải quyết bài toán ta thường chú ý đến các đặcđiểm của kỹ năng:

Kỹ năng không phải là khi sinh ra đã có sẵn

Bất kì kỹ năng nào cũng phải dựa trên sự hiểu biết của người cần hoàn thànhcông việc về đối tượng đó, đó chính là kiến thức, bởi vì cấu trúc của kỹ năngbao gồm:

- Hiểu mục đích sẽ làm là gì

– Biết cách thức hành động đi đến kết quả sẽ như thế nào

- Hiểu những điều kiện cụ thể trong thực tế để triển khai những cách thứchành động đó

Kiến thức là nền tảng, là cơ sở của kỹ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy

đủ, chính xác các thuộc tính bản chất của đối tượng, đã được kiểm nghiệm trongthực tế và tồn tại trong ý thức với tư cách của hành động

Muốn có kỹ năng về một hành động cụ thể nào đó cần phải có:

Kiến thức để hiểu biết, nắm rõ được mục đích của hành động, biết được cácđiều kiện, các cách thức để đi đến kết quả nhanh nhất có thể, để thực hiện hànhđộng

Tiến hành hành động đó với yêu cầu cụ thể của nó

Đạt được kết quả như mong muốn với mục đích đặt ra ban đầu

động theo đúng mục đích yêu cầu Kỹ năng chỉ được hình thành thông quaquá trình giải quyết những nhiệm vụ, những đúc rút kinh nghiệm cho bản thân

và tư duy để giải quyết những nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành quá trình phântích, tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi phân tích đối tượngtheo các hướng, các thuộc tính khác nhau để tách ra các khía cạnh và nhữngthuộc tính nhỏ lẻ để giải quyết Quá trình tư duy chỉ bắt đầu thực sự diễn ratrong đầu óc của người giải quyết bài toán khi các thao tác phân tích bài toán,tổng hợp bài toán và các thao tác, trừu tượng hóa và khái quát hóa cho đến khihình thành được mô hình về mặt nào của đối tượng trong đầu óc người thựchiện mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho

Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng các con đường khác nhau:

Con đường thứ nhất: Truyền thụ cho học sinh tất cả những tri thức, kỹ năngliên quan cần thiết bằng lý thuyết sau đó đề ra các bài toán cần thiết để vậndụng những tri thức đó Học sinh sẽ tự phải tìm tòi cách giải bằng những conđường khác nhau như: thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm, từ đó phát hiện ra,rút ra được các kinh nghiệm cho bản thân và các mốc định hướng tương ứng,những phương thức cải biến thông tin, những cách thức giải quyết bài toán.Người ta còn gọi con đường dạy học này là dạy học nêu vấn đề

Con đường thứ hai: Dạy cho học sinh cách nhận biết được các dấu hiệu đặctrưng nhất của bài toán mà từ đó học sinh có thể xác định được đường lối giảicho một dạng bài toán cụ thể và vận dụng đường lối đó vào bài toán cụ thể.Con đường thứ ba: Dạy cho học sinh chủ yếu là các hoạt động tâm lý cầnthiết đối cho việc vận dụng tri thức vào giải các bài toán Lúc này giáo viênkhông những chỉ cho học sinh nhận biết các cách thức, các thông tin đề bài cho

để chọn lọc các dấu hiệu và thao tác mà còn tổ chức các hoạt động cho học sinhtrong việc cải biến sử dụng thông tin thu được để giải bài toán đặt ra

Trong giai đoạn đầu tiên của quá trình giải những định hướng về đối tượng

đã được giáo viên đưa ra cho học sinh dưới dạng có sẵn hoặc chỉ cho học sinhthấy được, được sơ đồ hóa cho học sinh có thể hiểu được, ký hiệu về các đốitượng, còn các hoạt động, các tính toán thì được thực hiện dưới những hìnhthức, những hành động trên đối tượng cụ thể, bài toán cụ thể

Ở giai đoạn thứ hai, các định hướng giải bài toán và các thao tác trên các

Như vậy người giáo viên đã định hướng cho học sinh: Để chứng minh đượcbài toán trước hết phải nhận biết được bài toán đó thuộc dạng bài toán nào vàtìm nội dung đã được học về dạng bài toán đó để tìm cách giải bài toán quacác giai đoạn cụ thể Từ đó học sinh dần dần hình thành và tự xây dựng đượccác phương pháp giải toán Tuy nhiên để phát triển khả năng giải toán và khắcsâu cách thức giải các bài toán cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh các bàitoán mở rộng của bài toán đã giải nhằm khắc sâu bài toán, khắc sâu cách giảihoặc có thể: Tìm cách giải khác nhau, tổng quát hóa bài toán, khái quát hóa,trừu tượng hóa, tương tự hóa .

Như vậy, học sinh được hình thành kỹ năng và phát triển kỹ năng suy luậnlogic

Để hình thành kỹ năng cho sinh cần tiến hành theo các bước:

- Giúp học sinh biết cách phân tích các dữ kiện đầu bài đã cho, tìm tòi các

dữ kiện liên quan đến dữ kiện đó để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm

và mối quan hệ giữa chúng

- Giúp học sinh có được cách giải tổng quát cho cả một dạng bài toán cùngloại

- Thiết lập được mối quan hệ giữa dạng bài toán và kiến thức tương ứng liênquan đến dạng bài toán đó để có thể giải bài toán được thuận tiện

Nhưng các giáo viên cũng cần thật sự chú ý việc làm sao để các em có được

sự yêu thích, đam mê với việc giải các bài toán và có được nhiều điều kiện đểhọc hỏi, thực hành những điều chúng học hỏi được hoặc bắt chước được quaquá trình tiếp thu kiến thức từ người thầy

Việc hình thành các kỹ năng đòi hỏi phải có sự thích thú, đam mê, sự vậndụng bước đầu kiến thức vào thực tiễn, việc luyện tập để hoàn thiện các kỹ năng

và các bước nhìn nhận lại quá trình tiếp nhận kiến thức, quá trình luyện tập

để nghiên cứu, phân tích và biết đâu đó sẽ nhìn thấy được một sáng kiến nào

đó giúp ích cho việc giải quyết các vấn đề tương tự sau này Sự hình thành kỹnăng luôn luôn kèm với hoạt động ý thức, hoạt động trí tuệ của mỗi học sinhcho nên đòi hỏi người giáo viên cần thay đổi các yêu cầu sao cho phù hợp vớicác em, nhằm đạt được mục đích ban đầu đề ra đối với mỗi em

1.2.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng

Nội dung của các bài toán mà giáo viên lấy làm ví dụ minh họa cho học sinh:Các yêu cầu được đặt ra trừu tượng hoặc không rõ ràng làm lệch hướng suy nghĩcủa học sinh có ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng Tâm lý khi giải toán vàthói quen của học sinh cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng, cho nên cầntạo cho học sinh tâm lý thoải mái để giải toán Việc tạo ra tâm lý thoải mái,vui vẻ trong lớp học, trong giờ học sẽ giúp cho học sinh dễ dàng trong việc hìnhthành kĩ năng

- Kĩ năng khái quát: nhìn bài toán dưới một góc độ là bài toán tổng quát haybài toán đơn cũng ảnh hưởng lớn đến việc hình thành kỹ năng

- Điều kiện về cơ sở vật chất, môi trường cũng ảnh hưởng đến sự hình thành

kỹ năng

1.3 Kỹ năng giải toán

1.3.1 Khái niệm kỹ năng giải toán

Để giải một bài toán người ta cần tìm hiểu rõ ràng các yêu cầu cụ thể củabài toán, những gì đã có những gì cần tìm, tìm hiểu mối quan hệ giữa các yếu

tố khác nhau của bài toán, thực hiện giải bài toán và nhìn lại những vấn đề màmình đã giải nhằm mục đích phân tích, tổng hợp, khái quát hoá để đi đến tíchlũy những kinh nghiệm, kỹ năng cho các bài toán tiếp theo

Do đó, giải một bài toán là thực hiện một loạt các hành động có mục đích,

do đó học sinh cần phải nắm vững các tri thức về hành động liên quan đến bàitoán, thực hiện các bước giải theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết đượccác bước giải có kết quả khác nhau trong những điều kiện khác nhau Trong giảitoán, chúng tôi quan niệm về kỹ năng giải toán của học sinh như sau: “Đó làkhả năng vận dụng có mục đích rõ ràng những tri thức và kinh nghiệm đã củabản thân có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một loạt cácbước giải để đi đến lời giải cuối cùng của bài toán một cách khoa học cũng như

có phân tích, có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được từ người khác.”

Ở bậc THPT, tri thức phương pháp đặc biệt được coi trọng, việc giải một bài

thuật toán và những kỹ năng đi kèm tương ứng của nó Tuy nhiên tùy theo nộidung và yêu cầu về mặt kỹ năng toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹnăng khác nhau.

Có hai cách thức cơ bản để cung cấp và trang bị cho học sinh kỹ năng giảiToán:

+ Phương pháp gián tiếp Cung cấp cho học sinh một số các bài toán có cùngmột dạng và có cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh có thể tự rút ra kỹnăng giải toán của dạng bài toán đó Đây là phương pháp tương đối hiệu quảnhưng lại mất nhiều thời gian của cả học sinh và giáo viên, nó khó đánh giá vàkhông đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào ý thức, năng lực, trình độ của học sinh.+ Phương pháp trực tiếp Giáo viên chuẩn bị những bài giảng về những kỹnăng cần học sinh có được một cách hệ thống và đầy đủ Phương pháp này cóhiệu quả hơn, đặc biệt với việc trao đổi qua lại liên tục giữa giáo viên và họcsinh và dễ nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết

Cả hai phương pháp đều nhắm đến giúp học sinh hình thành và nắm vữngmạch kiến thức xuyên suốt của chương trình và phát triển năng lực trí tuệ, rènluyện và phát triển các kỹ năng không chỉ trong toán học còn các kỹ năng chungnhất cần phát triển của người học

1.3.2 Vai trò của kỹ năng giải toán

Việc học tập của học sinh sẽ không thể đạt kết quả cao nếu chỉ học có lýthuyết, do đó đòi hỏi học sinh phải thực hành, trong quá trình thực hành sẽ dầnhình thành kỹ năng, trong quá trình hình thành kỹ năng giải toán các em sẽ cóđược các kỹ năng nhỏ lẻ như: kỹ năng tìm kiếm, kỹ năng nhận xét đánh giá cácyếu tố đã cho và mối quan hệ giữa chúng, kỹ năng phân tích, phán đoán logic,

kỹ năng mô hình hóa các vấn đề thực tế sang các mô hình toán học nói riêng,

kỹ năng xác lập mối liên quan giữa các bài tâp tương ứng với kiến thức tươngứng đã được học trên lý thuyết

Ngoài ra, trong quá trình hình thành kỹ năng giải toán các em sẽ thấy đượcbản chất của vấn đề cần giải quyết, các em sẽ thấy hứng thú với việc học tập vàthực hành hơn, khắc phục những ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý học

lý thuyết suông Qua quá trình hình thành, rèn luyện kỹ năng các em sẽ đượcrèn luyện các mặt sau:

- Nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, từ đó so sánh các cách giải vớinhau để hiểu sâu sắc về bài toán và cách giải, qua đó vận dụng hợp lý kiến thứchơn cho các bài toán sau này.

- Quan sát cẩn thận và cố gắng tìm ra đặc điểm của bài toán

- Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải hay hơn và ngắn gọn hơn trong khi giảitoán

Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học cho học sinh thì giáoviên cần phải tạo cho học sinh hình thành cũng như có được và rèn luyện các

kỹ năng tương ứng cảu tri thức toán học, nó đóng một vai trò quan trọng gópphần bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh

1.3.3 Các yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

Học luôn đi đôi với hành, truyền thụ tri thức cũng cần đi kèm với rèn luyện

kỹ năng, đặc biệt trong môn toán các kỹ năng càng cần đòi hỏi nhiều hơn nhằmvận dụng các kiến thức được học vào vận dụng trong thực tế Ở trên ghế nhàtrường các kỹ năng cần được rèn luyện trong quá trình học tập là kỹ năng giảicác bài toán nhằm đạt được các yêu cầu:

• Học sinh hình thành được và nắm vững được mạch kiến thức cơ bản xuyênsuốt của chương trình

• Học sinh phát triển năng lực trí tuệ thông qua việc rèn luyện và phát triểncác khả năng:

+ Tư duy logic mạch lạc và ngôn ngữ trong sáng, chính xác mạch lạc, trong

đó có tư duy thuật toán

+ Khả năng suy đoán các kết quả có thể, tư duy trừu tượng và trí tưởngtượng của các hình được nêu trong không gian

+ Những thao tác tư duy, lập luận liên quan đến bài toán cần giải quyết nhưtổng hợp, phân tích, khái quá hóa,

+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy một cách độc lập, tư duy linh hoạt, tưduy sáng tạo, tư duy nhóm,

+ Đánh giá đúng vai trò của việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong các giờhọc

giá kết quả có được nhằm tránh các sai lầm không mong muốn của quá trìnhgiải các bài tập cũng như ngoài đời sống sau này.

1.3.4 Phân loại kỹ năng trong môn toán

Kỹ năng tìm kiếm, là tìm kiếm các yếu tố liên quan đến bài toán, đề ra chiếnlược giải, hướng giải cho bài toán Vấn đề khó khăn nhất của học sinh khi đượcyêu cầu giải một bài toán, đặc biệt là bài toán hình học không gian là cách thứcgiải Khi đó học sinh không biết bắt đầu từ đâu và bằng cách nào để đi đến kếtquả của bài toán Thông thường thì để giải một bài toán ta cần trải qua haibước: thứ nhất là tìm hướng giải của bài toán, thứ hai là tiến hành thực hiệngiải bài toán còn gọi là chiến thuật giải bài toán Hai bước này vừa có tính độclập và vừa có tính bổ trợ nhau, có khi tiến hành đồng thời hoặc tách thành haibước riêng biệt Việc tìm ra cách giải của bài toán hay không phụ thuộc phầnlớn vào khâu này Học sinh có nhiều cách khác nhau để thực hiện biện pháp này,chẳng hạn: Phân loại bài toán, phân dạng bài toán để xác định phương phápchung giải các loại, dạng bài tập đó Phương pháp chung của dạng đó hay loạibài toán đó sẽ được vận dụng để tìm đường lối giải cho từng bài toán cụ thể.Huy động tri thức, kinh nghiệm của bản thân hoặc của nhóm, tổ trong quátrình giải toán với những kinh nghiệm hữu ích có liên quan đến giải bài toánbao gồm hai dạng:

Dạng 1 là những tri thức mà học sinh tự rút ra được một cách tích cực bằngcác thao tác tư duy, bằng lao động trí tuệ và thực hành

Dạng 2 là những ý tưởng bất chợt xuất hiện trong đầu mang tính tự phát,được hiểu theo nghĩa bừng sáng của quá trình tư duy sáng tạo

Kỹ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch cụ thể các bước của quá trình giảibài toán

Kỹ năng kiểm tra đánh giá quá trình thực hiện việc giải bài toán

Kỹ năng thu nhận các dạng thông tin, hợp thức hóa thông tin của bài toánthành kiến thức mới của người giải toán.

1.3.4.2 Kỹ năng cụ thể

là những kỹ năng đặc thù của từng bộ môn, của từng chuyên đề cụ thể mà

bộ môn hay chuyên đề đó yêu cầu cần phải có

1.3.5 Dạy học phương pháp giải bài tập toán

Ở bậc THPT có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật giải và cũngkhông có một thuật giải chung cho mọi bài toán, đặc biệt hình học thì càng khókhăn hơn trong việc đưa ra thuật giải chung Chúng ta chỉ có thể thông quaviệc giải một số bài cụ thể mà thông qua đó truyền thụ cho học sinh cách thức,kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi hướng giải quyết bài toán

Dạy học giải bài tập toán không đơn thuần là việc cung cấp lời giải cho họcsinh mà là cung cấp cách thức tìm kiếm, cách thức giải quyết bài toán nhằmtăng sự hứng thú cho học sinh, phát triển cho các em tư duy, hình thành giúpcác em một quy trình giải, phương pháp giải cho một bài toán

Quy trình bốn bước của G Polya đã được rất nhiều nhà sư phạm trên thếgiới đánh giá cao và được áp dụng rộng rãi nhằm hình thành kỹ năng giải toáncho các em

Bước 1: Tìm hiểu bài toán

- Phát biểu bài toán dưới các dạng khác nhau nhằm hiểu rõ bài toán hơn

- Phân biệt cái đã cho (giả thiết), cái phải tìm, phải chứng minh (kết luận)

- Có thể dùng các công thức, sơ đồ, ký hiệu, hình vẽ để diễn đạt đề bài saocho hiểu đúng ý của đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

- Tìm tòi, phát hiện ra một cách giải nào đó nhờ những suy nghĩ có tính chấtsuy đoán, biến đổi những cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh Liên hệcái đã cho, cái phải tìm (chứng minh - kết luận) với những cái đã biết, liên hệbài toán với những bài toán tương tự, một trường hợp riêng, trường hợp tổngquát nào đó đã biết

thực hiện cẩn thận, tránh sai sót.

- Tìm cách giải khác của bài toán nếu có và so sánh các cách giải để tìm đượccách giải tối ưu nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

- Từ cách giải đã tìm được ở bước 2, sắp xếp các bước đi sao cho hợp lý nhấtsao cho thành một chương trình hợp lý và thực hiện các bước đi đó

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu kỹ lại cách giải của bài toán nhằm mục đích:

+ Ứng dụng của lời giải cho các bài toán sau này

+ Giải các bài toán tương tự, mở rộng bài toán theo các hướng khác nhauhay lật ngược bài toán

VÍ DỤ

Cho tứ diện ABCD, các điểm M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh

AD, BC Gọi O là trung điểm của đoạn M N, G là trọng tâm của mặt ABC.Chứng minh ba điểm D, O, G thẳng hàng Từ đó suy ra các đường thẳng nốiđỉnh và trọng tâm của mặt đối diện đồng quy tại O

Hình 1.1

Bước 1: Tìm hiểu bài toán

Giả thiết của bài toán là:

+ M, N là trung điểm của AD, BC

+ G là trọng tâm tam giác ABC

DG thông qua các vectơ −DA,→ − −→

DC, − →

CB

+ Nếu −−→DO = k − −→

DG thì D, O, G thẳng hàng

Bước 3: Trình bày lời giải

Ta phân tích −−→DO thông qua các vectơ −DA,→ −−→

⇒ 4−−→DO = − →

DA + 2 −− →

DC + − →

CB.Tương tự ta có −DG =−→ − →

DO = 3 − −→

DG, hay D, O, G thẳng hàng

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Giáo viên yêu cầu học sinh kiểm tra toàn bộ lời giải, tránh sai sót và từ bàigiải suy ra được các bước chứng minh ba điểm thẳng hàng theo phương phápvectơ như thế nào

Giáo viên yêu cầu học sinh thay đổi các vectơ cơ sở là các vectơ khác xemkết quả như thế nào và đối chiếu các kết quả của các bạn với nhau

Qua bài chứng minh ta thấy được rằng việc lựa chọn vectơ cơ sở liệu có làmcho lời giải phức tạp hơn hay không? Bạn kết luận gì về việc lựa chọn vectơ gốcgiúp cho bài toán giải nhanh hơn và tránh các sai sót

Ngoài ra, Trong giáo trình Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổthông, tác giả Nguyễn Văn Tiến có đưa ra 5 bước [trang 104] để giải bài toánsong ta thấy rằng các bước được đề cập ở trên có khác nhau số lượng song đều

có điểm chung mấu chốt là một Ở trong nội dung Luận văn này tác giả xintrình bày theo quy trình bốn bước của G Polya

1.4 Chứng minh toán học và dạy học chứng minh

1.4.1 Chứng minh

Theo Từ điển toán học phổ thông chứng minh [9]: "Chứng minh là Vận dụngcác suy luận hợp logic để thiết lập tính đúng hay sai của một khẳng định nàođó."

1.4.3 Chứng minh bằng phản chứng

Theo Từ điển toán học phổ thông chứng minh [9]: "Chứng minh bằng phảnchứng là Xuất phát từ phủ định của định lí và bằng suy luận hợp logic đi tới phủđịnh của giả thiết định lí, tức là đi tới mâu thuẫn đối lập với những điều kiện

đã cho Việc dẫn tới điều vô lí đó chứng minh rằng định lý đã cho là đúng.".1.4.4 Dạy học chứng minh

Trong khuôn khổ toán học (xem [9]) "Chứng minh là một phép suy luận đểthiết lập sự đúng hay sai của một khẳng định (Phán đoán, mệnh đề, định lí).".Chứng minh là dùng lập luận để suy từ giả thiết đến kết luận, do đó chứngminh có những đặc trưng:

+ Chứng minh là một dãy các mệnh đề nối với nhau theo một vai trò nào đócủa mệnh đề

+ Mỗi mệnh đề mới được tạo ra bằng việc thay thế một hay nhiều mệnh đề

cũ bằng quy tắc thay thế là một mệnh đề chuẩn

Đi kèm với các quy tắc thay thế giữa các mệnh đề là các quy tắc suy diễnlogic, tham gia với vai trò là một thành phần của chứng minh

1.4.5 Phân loại chứng minh

Chứng minh trực tiếp(xem [9]) là chứng minh trong đó tính đúng đắn(chân thực) của các luận cứ trực tiếp dẫn tới tính đúng đắn (chân thực) củaluận đề

Chứng minh gián tiếp(xem [9]) là chứng minh trong đó tính đúng đắn(chân thực) của luận đề rút ra từ tính không đúng đắn (chân thực) của phảnluận đề

1.4.6 Phương pháp tìm tòi chứng minh

Chứng minh là hoạt động phức tạp, khó khăn của học sinh do không biết nênxuất phát từ đâu, không biết dùng những điều kiện nào để có thể bắt đầu Do

đó việc tìm kiếm được một mệnh đề nhằm xuất phát cho chứng minh giữ vaitrò rất quan trọng trong bài toán chứng minh

Có hai phương pháp cơ bản, đặc thù của hoạt động tìm tòi chứng minh:

• Phương pháp phân tích đi lên

• Phương pháp phân tích đi xuống

- Xuất phát từ điều cần chứng minh B → B 1 → B 2 B n−1 → B n

- Nếu Bn sai thì kết luận B sai (dùng để bác bỏ dự đoán)

- Nếu Bn đúng thì chưa kết luận được, ta tiến hành kiểm tra tính đúng saicủa dãy Bn → Bn−1 → → B1→ B (dùng để tìm mệnh đề xuất phát)

Bên cạnh hai phương pháp trên còn có một số kỹ thuật chứng minh khácnhằm tìm hướng bắt đầu cho việc chứng minh

1.4.7 Phương pháp chứng minh bằng vectơ

Khó khăn chủ yếu thường gặp đối với học sinh khi giải các bài toán bằngphương pháp vectơ là chưa biết, chưa thành thạo những kỹ năng cần thiết đểchuyển từ ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ vectơ và ngược lại

Để giải một bài toán hình học bằng phương pháp vectơ ta cần phải tiến hànhmột số bước sau:

• Bước 1:

+ Chuyển đổi giả thiết, kết luận của bài toán sang ngôn ngữ vectơ theo yêu cầucủa bài toán

+ Lựa chọn một vectơ cơ sở hay nhóm vectơ cơ sở nào đó (thông thường là

ta chọn ba vectơ không đồng phẳng có xuất phát cùng gốc)

1.5.1 Nhóm kỹ năng chung khi giải bài tập toán

1.5.1.1 Kỹ năng tìm hiểu và phân tích đề bài

Khi giải bài toán chúng ta cần phân tích để hiểu đề bài bài toán nhằm biếtđược bài toán đã cho cái gì? bài toán yêu cầu làm gì? Tìm hiểu các kiến thứcliên quan đến bài toán từ đó lắp ghép, xâu chuỗi các kiến thức liên quan để tiếnhành khai thác thành lời giải Đây còn gọi là kỹ năng phát hiện và giải quyếtvấn đề, một trong những kỹ năng quan trọng nhất khi giải các bài toán

1.5.1.2 Kỹ năng xây dựng chương trình giải bài toán

Vấn đề khó khăn nhất của học sinh là không biết nên xuất phát từ đâu khigiải các bài toán để đi tìm đến kết quả của bài toán hay tìm đến cái mà bài toányêu cầu

Kỹ năng này thường dựa trên kinh nghiệm của bản thân các em học sinhnhằm phân tích đầu bài, huy động kiến thức để xây dựng cách giải

1.5.1.3 Kỹ năng trình bày lời giải

Thông thường học sinh cần sự trợ giúp của giáo viên trong quá trình trìnhbày lời giải, song giáo viên cũng cần lưu ý với học sinh là việc trình bày mang

ý kiến cá nhân của mình vào trong lời giải giúp học sinh có học được cách suyluận, cách trình bày và rèn luyện cách diễn đạt Trong quá trình trình bày nếu

có vướng mắc thì học sinh sẽ tìm đến sự giúp đỡ của giáo viên Khi đó học sinh

sẽ hiểu sâu hơn, nhớ lâu hơn về cách giải, tri thức liên quan và phương phápgiải của bài toán Qua quá trình này học sinh có thể lựa chọn, điều chỉnh saocho phù hợp với các bài toán cụ thể khác

1.5.1.4 Kỹ năng nghiên cứu, kiểm tra kết quả

Kỹ năng này thông thường ít được học sinh quan tâm ngoài việc đối chiếukết quả vì coi như đã giải xong bài toán, đây là một sai lầm của học sinh vìquá trình nghiên cứu, kiểm tra lại kết quả bài toán giúp học sinh nhớ lâu hơn

về cách giải, phương pháp giải và qua nghiên cứu bài giải có thể thấy được cácbước chưa hay, chưa tối ưu của cách giải để điều chỉnh cho tốt hơn và thông quaviệc nghiên cứu bài giải có thể suy xét đến những bài toán tổng quát hơn chodạng bài tập đó cũng như trường hợp đặc biệt của bài toán

1.5.2 Nhóm kỹ năng cơ bản khi giải bài nội dung hình học 11Nhóm kỹ năng: Biểu diễn hình, xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diệnNhóm kỹ năng : Kỹ năng chứng minh

Nhóm kỹ năng: Kỹ năng tính toán, xác định góc, khoảng cách

1.6 Chủ đề vectơ trong chương trình phổ thông

1.6.1 Nội dung của chủ đề vectơ trong chương trình THPT

Nội dung chủ đề vectơ trong chương trình THPT là nội dung quan trọng được

đề cấp chủ yếu ở đầu cấp học - lớp 10 nhằm cung cấp cho các em học sinh mộtcách thức tiếp cận mới, một cách chứng minh mới của nội dung hình học, tiếpsau đó còn được nhắc lại ở lớp 11 Chủ đề có vai trò quan trọng trong việc hoànthiện tri thức phổ thông và bồi dưỡng tư duy cho học sinh Với ưu thế riêng biệtcủa mình, chủ đề vectơ giúp học sinh có cách nhìn nhận vấn đề khác lạ so vớinhững gì đã có từ xưa với cách thức tư duy mới lạ, sáng tạo song không bỏ quatính logic của tư duy toán học

Theo chương trình sách giáo khoa hiện nay chủ đề vectơ được chia thành hainội dung của hai lớp 10 và lớp 11 Đó là:

Chương I lớp 10 - Vectơ

Chương II lớp 10 - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Chương III lớp 11 - vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc

Trong chương I, II lớp 10 sách giáo khoa đã trình bày các khái niệm, các tínhchất của vectơ được áp dụng trong mặt phẳng

Trong chương III lớp 11 sách giáo khoa nhắc lại những kiến thức cơ bản củavectơ trong mặt phẳng và bổ sung thêm các kiến thức liên quan đến vectơ trongkhông gian Các định nghĩa, các tính chất, các định lý được nêu ra có liên quanđến chủ đề vectơ như: vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến, góc giữa hai đườngthẳng trong không gian,

1.6.2 Mục đích, yêu cầu của việc dạy học chủ đề vectơ trong bậc

THPT

1.6.2.1 Về kiến thức (xem [22])

- Hiểu và nhắc lại được các khái niệm liên quan đến vectơ

- Hiểu và xác định được tổng và hiệu của các vectơ cũng như các tính chấtcủa phép cộng vectơ ở lớp 10 và lớp 11 để áp dụng

- Biết được

~a + ~b

≤ |~a| +

~b ... class="page_container" data-page="38">

giải tốn chứng minh hình học cho học sinh Qua trình khảo sátthực tiễn cho thấy việc rèn luyện kỹ phát triển kỹ giảicác tốn chứng minh hình học cho học sinh chưa giáo viên... MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ

NĂNG CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG

PHÁP VECTƠ 2.1 Quy trình chung cho việc rèn luyện kỹ năng< /h3>

Theo Giáo trình tâm lý học giáo dục... vấn đề kỹ giải tốn hình học không gian

bằng phương pháp vectơ trường THPT

Phương pháp vectơ đề cập lớp 10 song cịn bỡ ngỡvới nhiều em, cộng thêm với việc gắn vectơ với hình học khơng