Bài tập tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Chứng minh rằng hàm số không thể luôn luôn đồng biến.. Trường THPT Lịch Hội Thượng Lop12.net..[r]

BÀI TẬP TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Cho hàm số  2 1 3  1 2 3 5

3

x

y m   m x  x Xác định m để hàm số đồng biến trên 

GIẢI

Đạo hàm: y m2  1x2  2m 1x 3

+ Nếu m = 1 thì y  4x 3

Hàm số đồng biến khi và chỉ khi y   0 x 3 ( loại so với yêu cầu bài tốn)

4

+ Nếu m = -1 thì y  3 0  x  Hàm số đồng biến trên (nhận so với ycbt) (1)

+ Nếu m   1 thì HS đồng biến trên khi và chỉ khi

0

y  x     

2

1 0

a m



 

2 0

m m

   





  



(2)

   



    



1 2

m m

 



  



Từ (1) và (2) suy ra hàm số đồng biến trên   m m 21



Bài 2: Cho hàm số y x 33 2 m1x212m5x2

Định mọi giá trị của tham số m để hàm số luơn luơn đồng biến

GIẢI

Đạo hàm: y  3x2  6 2 m 1x 12m 5



Để hàm số luơn luơn đồng biếnx ta phải cĩ:y 0 x

0



Bài 3: Cho hàm số y x 3 m1x2 2m2 3m2x2m m2 1

Đạo hàm: y  3x2  2m 1x2m2  3m 2



Vì m2    m 1 0 m     0 m

Do đó đạo hàm yluôn có 2 nghiệm phân biệt m Suy ra ykhông luôn luôn dương Vậy hàm số không luôn luôn đồng biến

Bài 4: Định a để hàm số:

   

1

3

y   x  a x  a x

Đồng biến trên khoảng (0;3)

Lưu ý:

1) So sánh 1 số với các nghiệm của phương trình bậc 2: 

 x1    x2  af    0

 x1  x2     

0 0

2

af s







 









 



    x1 x2   

0 0

2

af s







 









 



2) So sánh 2 số và với các nghiệm của phương trình bậc 2:  

 x1      x2   

 

0 0

af af













    x1 x2   

 

 

0 0 0

2

af af s





 







  



Đạo hàm: y   x2 2a 1x a   3 g x 

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;3)  y 0  x  0;3

 2 2



         a

có 2 nghiệm phân biệt ,

Giả sử x1  x2

Bảng biến thiên:

x  (0;3) x1 x2 

y 0 + 0

-y

Để g x  0  x  0;3  x1   0 3 x2   

 

0 0

3 0

ag ag







3 0

7 12 0

a a

  









3 12 7

a a

 





 





7

a

Bài 5: Định m để hàm số:

y x  x  m x m

Nghịch biến trên khoảng (-1;1)

GIẢI

Đạo hàm: y 3x26x m  1 g x 

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1)  y 0   x  1;1

x  (-1;1) x1 x2 

y + 0 - 0 +

y

Để g x  0   x  1;1  x1    1 1 x2   

 

1 0

1 0

ag ag

  









 

3 10 0

m m

  





 

10

m m





  

  m 10

Bài 6: Định m để hàm số:

2

3

y  x  mx  m  m x đồng biến trên khoảng  1; 

GIẢI

Đạo hàm: y 2x2 4mxm2 2m1

Biệt số   4m2 2m2 2m 1 2m2 4m 2 2m2 2m1

2 m 1 0



   

y  x  x  x  x

Hàm số luôn luôn đồng biến  Hàm số đồng biến trên khoảng  1; 

Do đó giá trị m   1 thích hợp (1)

- Nếu m   1    0 y có 2 nghiệm phân biệt , x1 x2

Giả sử x1  x2

Bảng biến thiên:

x  (1) x1 x2 

y + 0 - 0 +

y

Căn cứ vào bảng biến thiên, để hàm số đồng biến trên khoảng  1;  là:

0

y  x 1  x1  x2 1

 

0

1 0 1 2

y

s



   







 



2

1

6 1 0 1

m

m

 





    

 



1

3 2 2

m m

 



 

 



Từ (1) và (2), các giá trị m cần tìm là: m  3 2 2

Bài 7: Cho hàm số: y2x33m2x2 6m1x3m6

Định m để hàm số đã cho:

a) Luôn luôn đồng biến

b) Đồng biến trên khoảng 5;.

GIẢI

TXĐ: D =

Đạo hàm: y 6x26m2x6m1

  9m2 0

6 12 6 6 1 0

y  x  x  x  Vậy với m  0, hàm số luôn đồng biến

b) Khi m  0    0 y có 2 nghiệm phân biệt , x1 x2

Giả sử x1  x2

Bảng biến thiên:

x  (5) x1 x2 

y + 0 - 0 +

y

Căn cứ vào bảng biến thiên, để hàm số đồng biến trên khoảng 5;  là:

0

y  x 5  x1  x2 5

 

0

5 0 5 2

y

s



   







 



2

96 24 0

2 5

m m m



  



4 3

m m





  

Vậy với m4 hàm số đồng biến trên khoảng 5; 

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Bài 1: Cho hàm số: ym2x3mx2

Với giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu

GIẢI

Đạo hàm: y 3m2x2 m

Để hàm số không có cực trị thì phương trình y0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

  0  0 4.3 m m 20  0 m 2

Bài 2: Cho hàm số: 1 3 2  2 

1 1 3

y x mx  m  m x Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  1

GIẢI

Đạo hàm: y  x22mx m 2  m 1

y 2x2m

Hàm số đạt cực tiểu tại x  1  

 

y y





  



2 2 0

m m m

   

  



1

m

  



 

 Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x  1

Bài 3: Cho hàm số y x 3 3x23x2

a) Tìm cực trị của hàm số

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị

Lưu ý:

Để tính giá trị cực trị của hàm bậc 3: f x ax3bx2 cx d ta làm như sau:

 

Ax B

 

  

   f x   Ax B f x     x

Gọi xi là nghiệm của pt f x 0 ( xi là các điểm cực trị)

     

0

f x Ax B f x  x 







 i i

f x  x 

Trong đó  x là phần dư của phép chia  

 

f x

f x Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y x

( Vì toạ độ của điểm cực trị M x y ; thoả pt f x  0, nên từ (*) ta suy ra

)

y x

GIẢI a) TXĐ: D =

Đạo hàm: y  x26x3

Cho 0 2 2 1 0 1 2

1 2

x

x

  

       

 



Chia f x  cho f x , ta được:

   2  1 1

f x  x  x  x  x

Giá trị cực trị là: f x 0  4x0 1

f

f

    



 

   



Lập bảng biến thiên CĐ, CT.

b) Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y   4x 1

Bài 4: Cho hàm số y x 36x23m2x m 6

Xác định m sao cho:

a) Hàm số có cực trị

b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu

GIẢI a) TXĐ: D =

Đạo hàm: y 3x212x3m2

Cho y  0 x24x m  2 0 (*)

4 m 2 2 m



     

Để hàm số có 2 cực trị thì:        0 2 m 0 m 2

b) Chia f x  cho f x , ta được:

f x  x  x m  x  x mx m 

giá trị cực trị là:



f x   x  mx   m x m   m m x 

Gọi x1, x2là 2 điểm cực trị

Hàm số có 2 cực trị cùng dấu  f x   1 f x2 0

m 2 2 x1 1m 2 2 x2 1 0

2 2 1 2 1 0

(1)

4

x x   x x  m 2

Do đó (1)   2 

2 4 2 2.4 1 0

      

2 4 17 0

17 4 2

m m

  



 

 



Kết hợp với điều kiện có cực trị m  2, ta được: 17 2

4 m

  

Bài 5: Cho hàm số: 1 3   2   1

y mx  m x  m x Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thoả x12x2 1

GIẢI

Đạo hàm: y mx2 2m1x3m2

0

m





      



2

0

2 4 1 0

m

m m





 

   



0

m

m







 

   



Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình y0 thì:

 

   

   

1 2

1 2

1 2

2 1 1

2

x x

m

x x

m m

x x

m



 







  











1

4 3

x

m

   x2 1 2

m

  



     

2

3m 5m 4 0

3

   

3

m  m

Bài 6: Cho hàm số: (ĐH Y - Dược)

3 2

3 2

x x

y  mx

Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn hơn m

GIẢI

Đạo hàm: y  x2 x m

Hàm số đạt cực trị tại những điểm có hoành độ x m 

0

y

 

0 0 2

y m

s

m



 







 



2

1 4 0

2 0 1

2

m

m m m



 





  



 



1 4

1 2

m

m

 





     



  



2

m

  

Vậy    m 2

Bài 7: Cho hàm số: y f x 2x33m1x2 6m2x1 (1)

Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y    3 x 4

GIẢI

Đạo hàm: y 6x26m1x6m2

Cho y   0 x2 m1 x m20

Lấy (1) chia cho 1   ta được:

6 f x

     2 2

1

6

y x m  f x  m x m  m

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

(d)

 2 2

y  m x m  m

Để (d) song song với đường thẳng y    3 x 4 thì:

 2

m

        m 3 3    m 3 3

2 3 5 2

x x y

x

 



 a) Tìm cực trị của hàm số

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị

Lưu ý: Tính giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số:

 

 

ax bx c

y

a x b v x

 

  

       

  2

u x v x u x v x y

v x

 

 

  (1)

       

y u x v x u x v x 

       i i i i 0

u x v x u x v x   

 i i    i i

u x u x

v x v x





Các giá trị cực trị là:

     i    i 2 i

i

u x u x ax b

y x

Do đó pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 2ax b

y

a







GIẢI a) TXĐ: D  \  2

 

2

2

4 1 2

x x y

x

 

 



2 3

x

x

   

       

  



Giá trị cực trị là:

     0 0

0

1

o

u x x

y x

v x



,

Lập bảng biến thiên CĐ, CT.

b) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y  2 x  3

2

x mx m y

x m

 



 m 0 a) Có cực đại và cực tiểu

b) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu

GIẢI a) TXĐ: D  \ m

 

2

2

x mx m m y

x m

 



y   x  mx m  m

Hàm số có cực đại, cực tiểu  (1) có 2 nghiệm phân biệt



b) Hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu khi và chỉ khi:

y0 có 2 nghiệm phân biệt

Đồ thị không cắt trục ox ( Pt y 0 vô nghiệm)

y y

m m





 





Bài 10: Cho hàm số:

1

mx mx m y

x

  



 Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số cùng dấu

GIẢI

TXĐ: D  \ 1 

 

2

2

1

mx mx m y

x

 



2

y   mx  mx m  Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi và chỉ khi

y0 có 2 nghiệm phân biệt

y 0 có 2 nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt)

2

y y

m





 



   

1

4

4 0

m m

    



 

 Vậy 1

4

m 