Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 9 trong dạy học chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ĐÀO QUANG MINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 9 TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐÀO QUANG MINH

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 9 TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN

BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐÀO QUANG MINH

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 9 TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN

BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN HỌC

Mã số: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Hữu Nam

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian làm luận văn, tác giả đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ nhà trường, quý thầy cô, gia đình và bạn bè

Lời đầu tiên trong luận văn, tác giả xin được gửi lời tri ân sâu sắc đến các thầy,

cô giáo Trường Đại học giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập cũng như nghiên cứu thực hiện đề tài

Đặc biệt, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trần Hữu Nam đã tận tình hướng dẫn trong suốt thời gian nghiên cứu, hoàn thiện luận văn

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban giám hiệu, các thầy cô giáo, các em học sinh trường Tiểu học, Trung học cơ sở và Trung học phổ thông Thực Nghiệm Khoa học Giáo dục đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn thuận lợi

Cuối cùng, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân và các bạn học viên lớp Cao học chuyên ngành lí luận phương pháp dạy học bộ môn Toán khóa

OECD Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế

(Organization for Economic Cooperation

and Development)

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Các cấp bậc thành tố và hành vi năng lực giải quyết vấn đề

Bảng 1.2 Yêu cầu cần đạt dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề cấp trung học cơ sở

Bảng 3.1 Tần số điểm bài thi của hai lớp trước khi thực nghiệm

Bảng 3.2 Các tham số thống kê mô tả bài kiểm tra của hai lớp trước thực nghiệm Bảng 3.3 Tần số điểm bài thi của hai lớp sau khi thực nghiệm

Bảng 3.4 Các tham số thống kê mô tả bài kiểm tra của hai lớp sau thực nghiệm

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

DANH MỤC CÁC BẢNG iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Câu hỏi nghiên cứu ban đầu 2

5 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 2

5.1 Khách thể nghiên cứu 2

5.2 Đối tượng nghiên cứu 2

6 Giả thuyết nghiên cứu 3

7 Phạm vi nghiên cứu 3

8 Phương pháp nghiên cứu 3

8.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận 3

8.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn 3

8.3 Phương pháp xử lý số liệu 3

9 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1 5

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 5

1.1 Lịch sử nghiên cứu vấn đề 5

1.1.1 Lịch sử nghiên cứu trên thế giới 5

1.1.2 Lịch sử nghiên cứu tại Việt Nam 5

1.2 Năng lực 6

1.2.1 Khái niệm năng lực 6

1.2.2 Cấu trúc năng lực 7

1.3 Năng lực giải quyết vấn đề 7

1.3.1 Khái niệm năng lực giải quyết vấn đề 7

1.3.2 Cấu trúc năng lực giải quyết vấn đề 8

1.3.3 Yêu cầu cần đạt khi dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán

học cho học sinh trung học cơ sở 9

1.4 Lí luận chung về giải toán 9

1.4.1 Bài toán và lời giải bài toán 9

1.4.2 Ý nghĩa của việc giải bài toán 10

1.4.3 Phân loại bài toán 11

1.4.4 Những gợi ý khi thực hiện giải một bài toán 12

1.5 Một số phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 13

1.5.1 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 13

1.5.2 Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ 15

1.6 Phân tích chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở chương trình môn Toán lớp 9 và thực trạng dạy học chủ đề này ở trường trung học cơ sở hiện nay 17

1.6.1 Phân tích chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở chương trình môn Toán lớp 9 17

1.6.2 Thực trạng dạy học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở trường trung học cơ sở hiện nay 18

Kết luận chương 1 20

CHƯƠNG 2 21

MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Ở MÔN TOÁN LỚP 9 21

2.1 Rèn luyện kĩ năng đọc hiểu và phân tích bài toán 21

2.1.1 Cách thức thực hiện 21

2.1.2 Một số ví dụ 22

2.2 Rèn luyện một số thao tác tư duy 27

2.2.1 Rèn luyện thao tác tương tự hóa 27

2.2.2 Rèn luyện thao tác tổng quát hóa 31

2.2.3 Rèn luyện thao tác cụ thể hóa 34

2.3 Rèn luyện các dạng toán thường gặp 37

2.3.1 Dạng toán về tìm số, quan hệ giữa các số 37

2.3.2 Dạng toán chuyển động đều 41

2.3.3 Dạng toán làm chung công việc và năng suất 45

2.3.4 Dạng toán hình học 50

2.3.5 Một số dạng toán khác 54

2.4 Rèn luyện kĩ năng khai thác bài toán 62

2.4.1 Khai thác những lời giải khác của bài toán 62

2.4.2 Một số gợi ý khi hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán 66

2.5 Sử dụng một số phương pháp, kĩ thuật dạy học tích cực 69

2.5.1 Những nguyên tắc trong giảng dạy 69

2.5.2 Kĩ thuật “bể cá” 70

2.5.3 Phương pháp tình huống 72

2.6 Thiết kế một số bài giảng với nội dung “Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình” nhằm bồi dưỡng, phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 75

2.6.1 Cấu trúc bài học môn Toán theo tiếp cận phát triển năng lực 75

2.6.2 Một số giáo án dạy theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề 76

Kết luận chương 2 77

CHƯƠNG 3 78

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 78

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 78

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 78

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 78

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm sư phạm 78

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 78

3.2.2 Phương pháp thực nghiệm 80

3.2.3 Giáo án thực nghiệm 81

3.2.4 Kết quả thực nghiệm 81

Kết luận chương 3 84

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 85

1 Kết luận 85

TÀI LIỆU THAM KHẢO 86 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 làm thay đổi sâu sắc nền giáo dục của các quốc gia trên thế giới nói chung và Việt Nam nói riêng, trong đó, một trọng tâm lớn đang bị dịch chuyển là phương pháp giảng dạy Trên thế giới, trong những thập kỉ gần đây, xu hướng dạy học chiếm ưu thế là chuyển từ phương thức dạy học theo tiếp cận nội dung sang dạy học theo tiếp cận năng lực

Theo chương trình giáo dục phổ thông chương trình tổng thể (2018) cần hình

thành và phát triển năm phẩm chất (yêu nước, nhân ái, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm), mười năng lực trong đó có ba năng lực chung (năng lực tự chủ tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo) và bảy năng lực đặc thù ở một số môn học (năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất)

Ở trường phổ thông, môn Toán có vai trò, vị trí quan trọng trong việc góp phần hình thành và phát triển toàn diện cả phẩm chất và năng lực người học Trong các năng lực cần được hình thành và phát triển, năng lực giải quyết vấn đề là một trong những năng lực quan trọng nhất Cụ thể, trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) có đề ra một số mục tiêu: Giúp học sinh hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học; Phát triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác như Vật lí, Hoá học, Sinh học, Địa lí, Tin học, Công nghệ, Lịch sử, Nghệ thuật, ; Tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm,

áp dụng toán học vào thực tiễn… Do đó việc tổ chức dạy học góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh là một trong những mục tiêu then chốt cần phải đạt được

Để tạo cho học sinh niềm yêu thích, nhu cầu tìm hiểu môn Toán và thấy được ý nghĩa của việc học toán, giáo viên có thể lựa chọn và thiết kế một số chủ đề gắn kết Toán học với thực tiễn và kết nối giữa Toán học và các môn học khác Ở cấp trung

học cơ sở, chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” có nội dung chủ yếu

là những bài toán thực tiễn, những bài toán có liên hệ với các môn học khác Trong

suy luận từ đó góp phần vào phát triển năng lực giải quyết vấn đề và giải quyết những bài toán nảy sinh trong thực tiễn

Từ những lí do trên, tôi chọn đề tài “Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 9 trong dạy học chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số biện pháp trong dạy học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” nhằm góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

lớp 9

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận về phương pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

Khảo sát và tìm hiểu thực trạng dạy học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở lớp 9 trường Tiểu học, Trung học cơ sở và Trung học phổ thông

Thực Nghiệm Khoa học Giáo dục

Đề xuất một số biện pháp và minh họa qua một số giáo án dạy học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm

nghiệm tính hiệu quả và khả thi của đề tài

4 Câu hỏi nghiên cứu ban đầu

Để phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 9 trong dạy học chủ đề

“Giải bài toán bằng cách lập phương trình” cần đề ra những biện pháp gì và thực

hiện như thế nào?

5 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

5.1 Khách thể nghiên cứu

Hoạt động dạy và học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” trong

chương trình môn Toán lớp 9 của giáo viên và học sinh

5.2 Đối tượng nghiên cứu

Một số biện pháp dạy học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”

trong chương trình môn Toán lớp 9

6 Giả thuyết nghiên cứu

Xây dựng một số biện pháp dạy và học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” Mỗi biện pháp đưa ra cách thức thực hiện, lí thuyết và ví dụ minh họa

7 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung vào nghiên cứu:

- Các vấn đề về năng lực và dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề của học sinh

- Các nội dung kiến thức liên quan đến “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở môn Toán lớp 9

- Xây dựng các biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

lớp 9 thông qua dạy học nội dung “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”

- Thực nghiệm một số bài giảng và phân tích, xử lý số liệu kết quả thu được

8 Phương pháp nghiên cứu

8.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu giáo dục học, tâm lý học về lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán, cụ thể là phương pháp dạy học giải quyết vấn đề

- Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên Toán lớp 9 và các tài liệu liên quan

đến nội dung “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”

- Tìm hiểu và phân tích các sách báo, các bài viết, các công trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài

8.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

- Điều tra giáo dục: Dự giờ, quan sát, khảo sát các hoạt động của giáo viên và học sinh trong quá trình dạy học để đánh giá thực trạng việc dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh ở các trường Trung học cơ sở hiện nay

- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy học thực nghiệm, kiểm tra kết quả trước

và sau thực nghiệm của lớp thực nghiệm; để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất

8.3 Phương pháp xử lý số liệu

Xử lý các số liệu điều tra bằng các phần mềm thống kê toán học, nhằm kiểm

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Chương 2 Một số biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua dạy học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở môn Toán

lớp 9

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Lịch sử nghiên cứu vấn đề

1.1.1 Lịch sử nghiên cứu trên thế giới

Khi nghiên cứu về năng lực giải quyết vấn đề, các học giả trên thế giới nhìn chung đều có những nhận định giống nhau về quan niệm, các thành tố của năng lực giải quyết vấn đề Đây được coi là một trong những năng lực có vị trí quan trọng để con người thích ứng được với sự phát triển của xã hội

Polya đưa ra bốn bước của quá trình giải quyết vấn đề Từ đó, có thể phân năng lực giải quyết vấn đề thành bốn thành tố: tìm hiểu vấn đề, lập kế hoạch, thực hiện kế hoạch, kiểm tra

Từ đặc điểm năng lực, M.Wu cho rằng năng lực giải quyết vấn đề trong toán học gồm bốn năng lực thành phần: năng lực đọc hiểu, năng lực suy luận toán học, năng lực thực hiện tính toán và năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn trong quá trình giải quyết vấn đề [1]

AH Schoenfeld khi nghiên cứu về năng lực giải trong dạy học môn Toán cho rằng, có bốn thành tố cơ bản để xác định khả năng quyết vấn đề của một cá nhân là: Kiến thức nền tảng (Knowledge base); Chiến lược giải quyết vấn đề (Problem solving strategies or heuristics); Khả năng kiểm soát (Control); Niềm tin (Beliefs) [10]

1.1.2 Lịch sử nghiên cứu tại Việt Nam

Ở Việt Nam cũng có nhiều nghiên cứu về năng lực giải quyết vấn đề Bên cạnh những nghiên cứu thường gặp như ở các khía cạnh: các thành tố của năng lực, thiết

kế nội dung dạy học, … còn có nhiều tác giả nghiên cứu về việc đánh giá năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong dạy học toán Có thể kể đến nghiên cứu của

Nguyễn Thị Lan Phương (2016), “Vận dụng fasttest để xây dựng ngân hàng câu hỏi đánh giá năng lực giải quyết vấn đề của học sinh” được in trên Tạp chí giáo dục, Số

đặc biệt tháng 12/2016, tr.118 – 121 Tác giả đưa ra quy trình xây dựng ngân hàng câu hỏi dựa vào IRT Điều này giúp lượng hóa cụ thể hơn năng lực giải quyết vấn đề của học sinh Quy trình này theo 4 giai đoạn: xây dựng phần mềm câu hỏi (phần mềm

fasttest); thiết kế và thử nghiệm câu hỏi; định cỡ câu hỏi; đưa câu hỏi vào/ra ngân hàng câu hỏi.

Như vậy, việc dạy học môn toán theo hướng phát triển năng lực giải quyết vấn

đề cho học sinh đã thu hút được sự quan tâm và chú ý của nhiều nhà nghiên cứu Tuy nhiên, việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trung học cơ sở, đặc

biệt là học sinh lớp 9 qua chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” thì chưa

có nhiều tác giả đi sâu vào khai thác và nghiên cứu cụ thể

1.2 Năng lực

1.2.1 Khái niệm năng lực

John Erpenbeck cho rằng: “ Năng lực được xây dựng dựa trên cơ sở tri thức, thiết lập qua giá trị như là các khả năng, hình thành qua trải nghiệm, củng cố qua kinh nghiệm, hiện thực hóa qua ý chí” [11]

Weinert đưa ra định nghĩa thực tiễn hơn, “năng lực chỉ đến sự kết hợp của những

kỹ năng xã hội, đạo đức, động cơ và năng lực nhận thức mà người học sở hữu (hoặc

có thể học hỏi được) … giúp người học làm chủ được kiến thức bằng cách tìm hiểu

và thực hiện các nhiệm vụ, giải quyết vấn đề, để đạt được mục tiêu học tập” [6]

Tổ chức OECD (2002) cho rằng: “Năng lực không chỉ là việc miêu tả một nhiệm

vụ hoặc hành động học tập, nó bao hàm việc đo lường khả năng tiềm ẩn của người học và đo lường kiến thức, kỹ năng, và thái độ cần có để thực hiện một nhiệm vụ học tập tới một chuẩn nào đó” [12]

Một định nghĩa khác [1]: “Năng lực là tổ hợp các hành động trên cơ sở sử dụng

và huy động hiệu quả kiến thức và kĩ năng từ nhiều nguồn khác nhau để giải quyết thành công các vấn đề diễn ra trong cuộc sống hoặc có cách ứng xử phù hợp trong bối cảnh thực”

Từ những định nghĩa trên, về bản chất ta có thể hiểu: Năng lực giải quyết vấn

đề là khả năng của học sinh nhận ra các mâu thuẫn nhận thức trong các vấn đề học tập hoặc cuộc sống, tìm ra được phương pháp để giải quyết, vượt qua được thử thách

để tiếp thu được kiến thức, kĩ năng mới

1.2.2 Cấu trúc năng lực

Tác giả Sigmund Freud (1915) [11] đã đưa ra một mô hình tảng băng về “suy nghĩ của não bộ với ba mức độ: nhận thức – phần nổi, tiền nhận thức – phần giữa và không nhận thức – phần dưới cùng Sigmund Freud đã nhấn mạnh tầm quan trọng của não bộ “không nhận thức”, và giả thiết ban đầu của ông rằng phần não bộ này kiểm soát phần lớn các hành vi Giáo dục học cần biến phần “không nhận thức” được thành có thể “nhận thức” được

Từ các định nghĩa về năng lực, nhiều tác giả đề xuất mô hình cấu trúc năng lực dựa trên nguyên lý tảng băng gồm có ba thành tố chính: hành động, suy nghĩ và tính sẵn sàng của người học “Hành động” chính là hành vi của người học mà chúng ta có thể quan sát được trong quá trình học tập “Suy nghĩ” được tạo nên từ kiến thức, kỹ năng, thái độ, chuẩn giá trị, niềm tin, … Những đặc tính này có đặc điểm không quan sát được, nhưng thường được các nhà giáo dục đánh giá thông qua việc thực hiện các nhiệm vụ học tập của người học (hành vi)

Nguồn gốc để hình thành nên “suy nghĩ”, chính là xuất phát từ “tính sẵn sàng” được tạo thành bởi động cơ, phẩm chất, nét nhân cách của người học Nói cách khác,

“suy nghĩ” và “tính sẵn sàng” chính là điều kiện cần và đủ để tạo ra “hành động” Trong quá trình đào tạo, các nhà giáo dục đều nhận ra rằng, để đánh giá kết quả học tập của người học, chúng ta không chỉ đánh giá bề nổi - những gì người học thể hiện ra, mà còn phải tập trung khai thác các đặc điểm tiềm ẩn của người học (phần chìm)

1.3 Năng lực giải quyết vấn đề

1.3.1 Khái niệm năng lực giải quyết vấn đề

Năng lực giải quyết vấn đề thể hiện khả năng của cá nhân (khi làm việc một mình hoặc làm việc trong một nhóm) khi tư duy, suy nghĩ về tình huống có vấn đề và tìm kiếm, thực hiện giải pháp cho vấn đề đó Vì vậy, có thể hiểu: Năng lực giải quyết vấn đề là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các quá trình nhận thức, hành động và thái độ, động cơ, xúc cảm để giải quyết các tình huống mà ở đó không có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thông thường [9] Trong quá trình giải quyết vấn đề, mỗi

người có thể sử dụng các cách thức, chiến lược khác nhau, từ đó có những kết quả khác nhau

1.3.2 Cấu trúc năng lực giải quyết vấn đề

Có hai cách tiếp cận khi xác định cấu trúc của một năng lực:

- Cách tiếp cận theo nguồn lực hợp thành: mỗi năng lực bao gồm ba nguồn lực đầu vào (kiến thức, kĩ năng, thái độ) và ba năng lực đầu ra tương ứng (năng lực hiểu, năng lực làm, năng lực ứng xử)

- Cách tiếp cận theo năng lực bộ phận: năng lực của mỗi học sinh bao gồm nhiều hợp phần, mỗi hợp phần bao gồm nhiều thành tố, mỗi thành tố bao gồm nhiều hành

vi

Theo cách tiếp cận thứ hai, theo [3] năng lực giải quyết vấn đề là một hợp phần gồm bốn năng lực thành tố: tìm hiểu vấn đề, thiết lập không gian vấn đề, lập kế hoạch

và thực hiện giải pháp, đánh giá và phản ánh giải pháp

Bảng 1.1 Các cấp bậc thành tố và hành vi năng lực giải quyết vấn đề

1 Tìm hiểu vấn đề 1 Nhận biết tình huống có vấn đề

2 Xác định và giải thích các thông tin

3 Chia sẻ sự am hiểu về vấn đề

2 Thiết lập không gian

vấn đề

1 Thu thập, sắp xếp và đánh giá thông tin

2 Kết nối thông tin với kiến thức đã có

3 Xác định cách thức, chiến lược giải quyết vấn

1 Đánh giá giải pháp đã thực hiện

2 Phản ánh về các giá trị của giải pháp

3 Xác nhận kiến thức, kinh nghiệm đã thu được

4 Khái quát hóa cho những vấn đề tương tự

1.3.3 Yêu cầu cần đạt khi dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học cho học sinh trung học cơ sở

Bảng 1.2 Yêu cầu cần đạt dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề cấp

trung học cơ sở

Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần

giải quyết bằng toán học

Phát hiện được vấn đề cần giải quyết

Lựa chọn, đề xuất được cách thức, giải

pháp giải quyết vấn đề

Xác định được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề

Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng

toán học tương thích (bao gồm các công

cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt

ra

Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích để giải quyết vấn

đề

Đánh giá được giải pháp đề ra và khái

quát hoá được cho vấn đề tương tự

Giải thích được giải pháp đã thực hiện

1.4 Lí luận chung về giải toán

1.4.1 Bài toán và lời giải bài toán

1.4.1.1 Bài toán

Theo [3], bài toán là việc đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay Giải bài toán tức là tìm ra phương tiện đó

Trên cơ sở định nghĩa trên cho ta thấy: Bài toán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó Do đó bài toán có thể đồng nhất với một số quan niệm khác nhau như

đề toán, bài tập…

Như vậy, có hai yếu tố chính hợp thành một bài toán:

- Bài toán luôn có mục đích xác định

- Sự đòi hỏi người khác thực hiện mục đích của bài toán (giao nhiệm vụ hoặc

1.4.1.2 Lời giải của bài toán

Lời giải của bài toán được hiểu là tập hợp hữu hạn, sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra trong bài toán

Như vậy ta thống nhất các thuật ngữ bài giải, cách giải, đáp án của bài toán đều theo nghĩa lời giải ở trên

Một bài toán có thể có lời giải như sau:

- Một lời giải;

- Nhiều lời giải;

- Không có lời giải

Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lí giải được bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải

1.4.2 Ý nghĩa của việc giải bài toán

1.4.2.1 Củng cố các kiến thức cơ bản của học sinh

Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm Toán học

và các kết luận Toán học Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các kiến thức đã biết khác

có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới Và cứ như vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức đã biết được phân tích, tổng hợp lại theo một chu kì nhất định Cuối cùng chúng ta đi đến lời giải của bài toán

Như vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng được củng cố qua lại nhiều lần

1.4.2.2 Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh

Đặc điểm nổi bật của Toán học cũng như của môn Toán là một khoa học suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề Do đó lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác và có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rất rõ rệt Vì vậy khi giải một bài toán, nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho người làm năng lực

sử dụng các phép suy luận hợp logic: Suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn, …

Các nhà Toán học đã chỉ ra không thể có một phương pháp chung nào để giải mọi bài toán Muốn tìm ra được lời giải của bài toán, chúng ta phải biết phân tích: Biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn

đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hóa …, biết cách suy đoán Như vậy qua việc giải bài toán năng lực giải quyết vấn đề được rèn luyện

và phát triển

1.4.2.3 Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức Toán học cho học sinh

Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ của bộ môn Khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ môn Khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết được các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó

Trong việc giảng dạy môn Toán thì bài toán lại tham gia vào trong các tình huống điển hình của quá trình dạy học môn Toán (Dạy khái niệm Toán học; Dạy định

lí Toán học; Luyện tập Toán học) Chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” gắn liền với hoạt động luyện tập Toán học Trong các tiết học dạy chủ đề đó, giáo viên phải xây dựng được một hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng cố các kiến thức và hình thành một số kĩ năng từ đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề

1.4.3 Phân loại bài toán

1.4.3.1 Phân loại theo hình thức bài toán

Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán để phân chia bài toán ra thành hai loại như sau:

Bài toán chứng minh: Những bài toán mà trong kết luận của nó đã thể hiện rõ kết quả cuối cùng của mục đích bài toán

Bài toán tìm tòi: Những bài toán mà trong kết luận của nó chưa thể hiện rõ ràng kết quả cuối cùng của mục đích bài toán

1.4.3.2 Phân loại theo phương pháp giải toán

Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có thuật toán chung hay chưa để chia các bài toán thành hai loại:

Bài toán có thuật giải: Những bài toán mà phương pháp giải của nó theo một thuật Toán chung nào đó cho một lớp bài toán chứa nó Ví dụ:

+ Giải phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn số

+ Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

+ Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số; Tìm hai số khi biết hiệu

và tỉ số của hai số, …

Bài toán không có thuật giải: Những bài toán mà phương pháp giải của nó không theo một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa nó

1.4.3.3 Phân loại theo nội dung bài toán

Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại khác nhau:

Bài toán số học: Toán trồng cây ở hai đầu đường; Toán về tuổi; Toán chuyển động đều; Toán về phân số; …

Bài toán đại số

Bài toán hình học

1.4.3.4 Phân loại theo ý nghĩa giải toán

Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán: Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩ năng nào đó, hay là bài toán nhằm phát triển tư duy Ta có hai loại bài toán như sau:

Bài toán củng cố kĩ năng: Những bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó

Bài toán phát triển tư duy: Những bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến thức cũng như kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo

1.4.4 Những gợi ý khi thực hiện giải một bài toán

Theo Polya có bốn bước giải một bài toán sau:

Bước 1: Tìm hiểu đề

Bài toán nói gì? Cái gì là dữ kiện? Cái gì phải tìm? Cái dữ kiện đã đủ để xác định được cái phải tìm hay chưa? Hay chưa đủ? Hay thừa?

Có thể phát biểu bài toán một cách khác?

Có thể tìm quan hệ giữa bài toán đã cho và một bài toán nào khác mà ta đã biết cách giải không? Hay một bài toán mà ta có thể giải dễ dàng hơn?

Phải nhắc lại các câu hỏi này mỗi khi gặp khó khăn khiến ta phải dừng lại, khi giải các bài toán phụ Ngoài ra, mọi dữ kiện của bài toán đã được sử dụng chưa? Bước 2: Phân tích bài toán

Tìm sự liên hệ giữa các dữ kiện đề bài cho hoặc những kiến thức đã biết và cái chưa biết (ẩn)

Khi chưa tìm được mối liên hệ đó, hãy thử suy nghĩ đến một bài toán phụ kết nối những cái đã biết và cái chưa biết

Cuối cùng phải xây dựng được một chương trình giải

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Đây là quá trình tổng hợp lại của bước phân tích bài toán, ta dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giải thiết của bài toán, các mệnh đề Toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán

Khi thực hiện giải hãy kiểm tra lại từng bước Xem đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Có thể chứng minh nó là đúng không?

Bước 4: Kiểm tra lời giải và khai thác bài toán

Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm được của bài toán

Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán

Nghiên cứu các bài toán có liên quan

1.5 Một số phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

1.5.1 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.5.1.1 Bản chất

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là phương pháp dạy học trong đó giáo viên tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó chiếm

cơ bản của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là “tình huống gợi vấn đề” vì “Tư duy chỉ bắt đầu khi xuất hiện tình huống có vấn đề” (Rubinstein)

Tình huống có vấn đề (tình huống gợi vấn đề) là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần và có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay tức khắc bằng một thuật giải, mà phải trải qua quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có

1.5.1.2 Quy trình thực hiện

Bước 1 Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề

- Giải thích và chính xác hóa tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn đề được đặt ra

- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó

Bước 2 Tìm giải pháp Tìm cách giải quyết vấn đề: thường được thực hiện theo các bước sau:

+ Phân tích vấn đề: Làm rõ mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm (dựa vào những tri thức toán đã học, liên tưởng tới những định nghĩa và định lí thích hợp) + Hướng dẫn học sinh tìm chiến lược giải quyết vấn đề thông qua đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề Cần thu thập, tổ chức dữ liệu, huy động tri thức;

Sử dụng những phương pháp, kĩ thuật nhận thức, tìm đoán suy luận như hướng đích, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, chuyển qua những trường hợp suy biến, tương tự hóa, khái quát hóa, xem xét những mối liên hệ và phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược tiến, suy ngược lùi, … Phương hướng đề xuất có thể được điều chỉnh khi cần thiết Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hướng giải quyết vấn đề là hình thành được một giải pháp

+ Kiểm tra tính đúng đắn của giải pháp: Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu không đúng thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm được giải pháp đúng Sau khi đã tìm ra một giải pháp, có thể tiếp tục tìm thêm những giải pháp khác,

so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lí nhất

Bước 3 Trình bày giải pháp: Học sinh trình bày lại toàn bộ từ việc phát biểu vấn đề cho tới giải pháp Nếu vấn đề là một đề bài cho sẵn thì có thể không cần phát biểu lại vấn đề

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp

- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả

- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa, lật ngược vấn đề, … và giải quyết nếu có thể

1.5.1.3 Ưu điểm

- Phương pháp này góp phần tích cực vào việc rèn luyện tư duy phê phán, tư duy sáng tạo cho học sinh Trên cơ sở sử dụng vốn kiến thức và kinh nghiệm đã có học sinh sẽ xem xét, đánh giá, thấy được vấn đề cần giải quyết

- Đây là phương pháp phát triển được khả năng tìm tòi, xem xét vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau Trong khi phát hiện và giải quyết vấn đề, học sinh sẽ huy động được tri thức và khả năng cá nhân, khả năng hợp tác, trao đổi, thảo luận với bạn

bè để tìm ra cách giải quyết tốt nhất

- Thông qua việc giải quyết vấn đề, học sinh được lĩnh hội tri thức, kĩ năng và phương pháp nhận thức (“giải quyết vấn đề” không còn chỉ thuộc phạm trù phương pháp mà đã trở thành một mục đích dạy học, được cụ thể hóa thành một mục tiêu là phát triển năng lực giải quyết vấn đề, một năng lực có vị trí hàng đầu để con người thích ứng được với sự phát triển của xã hội)

1.5.1.4 Hạn chế

- Phương pháp này đòi hỏi người giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian và công sức; giáo viên phải có năng lực sư phạm tốt mới suy nghĩ để tạo ra được nhiều tình huống gợi vấn đề và hướng dẫn học sinh tìm tòi để phát hiện và giải quyết vấn đề

- Việc tổ chức tiết học hoặc một phần của tiết học theo phương pháp phát hiện

và giải quyết vấn đề đòi hỏi phải có nhiều thời gian hơn so với bình thường Hơn nữa,

vì chỉ có một số tri thức và phương pháp hoạt động nhất định, được lựa chọn khéo léo và có cơ sở mới trở thành đối tượng của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.5.2 Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ

Đây là một phương pháp dạy học mà học sinh được phân chia thành từng nhóm nhỏ riêng biệt, chịu trách nhiệm về một mục tiêu duy nhất, được thực hiện thông qua nhiệm vụ riêng biệt của từng người Các hoạt động cá nhân riêng biệt được tổ chức lại, liên kết hữu cơ với nhau nhằm thực hiện một mục tiêu chung

1.5.2.2 Quy trình thực hiện

Bước 1: Làm việc toàn lớp:

- Nêu vấn đề, xác định nhiệm vụ nhận thức

- Tổ chức các nhóm, giao nhiệm vụ cho các nhóm

- Hướng dẫn cách làm việc theo nhóm

Bước 2: Làm việc theo nhóm

- Phân công trong nhóm, từng cá nhân làm việc độc lập

- Trao đổi ý kiến, thảo luận trong nhóm

- Cử đại diện trình bày kết quả làm việc của nhóm

Bước 3: Thảo luận, tổng kết trước toàn lớp

- Các nhóm lần lượt báo cáo kết quả

- Thảo luận chung

- GV tổng kết, đặt vấn đề cho bài tập tiếp theo hoặc vấn đề tiếp theo

1.5.2.3 Ưu điểm

- Học sinh được học cách cộng tác trên nhiều phương diện

- Học sinh được nêu quan điểm của mình, được nghe quan điểm của bạn khác trong nhóm, trong lớp; Được trao đổi, bàn luận về các ý kiến khác nhau và đưa ra lời giải tối ưu cho nhiệm vụ được giao cho nhóm Qua đó, tư duy phê phán, kĩ năng làm việc hợp tác của học sinh được rèn luyện và phát triển

- Các thành viên trong nhóm chia sẻ các suy nghĩ, băn khoăn, kinh nghiệm, hiểu biết của bản thân, cùng nhau xây dựng nhận thức, thái độ mới và học hỏi lẫn nhau

- Học sinh dễ hiểu, dễ nhớ hơn vì họ được tham gia trao đổi, trình bày vấn đề nêu ra HS hào hứng khi có sự đóng góp của mình vào thành công chung của cả lớp

1.5.2.4 Hạn chế

Việc áp dụng phương pháp dạy học hợp tác trong nhóm nhỏ thường bị hạn chế bởi:

- Không gian chật hẹp của từng lớp học và thời gian hạn định của tiết học

- Tinh thần tham gia của các thành viên trong nhóm Nếu không phân công hợp

lí, chỉ có một vài học sinh học khá tham gia còn đa số học sinh khác không hoạt động

1.6 Phân tích chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở chương trình môn Toán lớp 9 và thực trạng dạy học chủ đề này ở trường trung học cơ sở hiện nay

1.6.1 Phân tích chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở chương trình môn Toán lớp 9

Trong chương trình môn Toán lớp 9 hiện hành, chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” được đưa vào chương III và chương IV SGK toán 9 tập hai với các bài lần lượt là “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” và “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” Chủ đề này đã được dạy trong chương trình lớp 8 Tuy

nhiên, ở thời điểm đó, học sinh chỉ được hướng dẫn giải bài toán có lời văn bằng cách chuyển về bài toán giải phương trình bậc nhất một ẩn Ở lớp 9, học sinh sẽ được tiếp cận với những phương án giải mới (lập hệ phương trình, phương trình bậc hai một ẩn) giúp cho việc chuyển đổi từ lời văn sang ngôn ngữ đại số trong một số trường hợp được đơn giản hơn và giải quyết được nhiều dạng toán hơn Ngoài ra, đến thời điểm học bài này, học sinh đã được học về công thức nghiệm khi giải phương trình bậc hai một ẩn Do đó đối với những bài toán chuyển về giải phương trình này không còn phức tạp đối với học sinh

Mục tiêu cần đạt của chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” trong

chương trình môn Toán lớp 9 đặt ra:

- Biết cách chuyển bài toán có lời văn sang bài toán giải phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Vận dụng được các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình, lập hệ phương trình

Tuy nhiên, chỉ dừng lại ở mục tiêu cần đạt hiện hành thì việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học chủ đề này chưa được rõ nét Do đó cần đưa thêm những mục tiêu khác có liên hệ với năng lực giải quyết vấn đề Tác giả đề

- Giải thích được đặc trưng của một số dạng toán thường gặp (Toán chuyển động đều, toán năng suất, toán làm chung làm riêng…)

- Khai thác được nhiều cách giải trong một bài toán

- Thiết kế được bài toán tương tự từ một bài toán ban đầu

1.6.2 Thực trạng dạy học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở trường trung học cơ sở hiện nay

Để có thể xây dựng cơ sở thực tiễn cho đề tài, tôi đã tiến hành điều tra khảo sát thực tế giảng dạy bài “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở lớp 9 tại trường Tiểu học, Trung học cơ sở và Trung học phổ thông Thực Nghiệm Khoa học Giáo dục – Hà Nội

1.6.2.1 Mục đích điều tra

Để có thể xây dựng, đề xuất các biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề

cho học sinh lớp 9 thông qua dạy học chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, trước tiên chúng ta phải tìm hiểu thực trạng dạy học phát triển năng lực giải

quyết vấn đề cho học lớp 9 Trong đó, quan tâm chú trọng đến phương pháp dạy, ý kiến của giáo viên, ý kiến của học sinh để từ đó làm cơ sở đề xuất, xây dựng các biện pháp mang tính khả thi

1.6.2.2 Cách thức điều tra

Chúng tôi đã tiến hành phát phiếu khảo sát ở các lớp khối 9 (bốn lớp) trường Tiểu học, Trung học cơ sở và Trung học phổ thông Thực Nghiệm Khoa học Giáo dục với hệ thống các câu hỏi liên quan đến các vấn đề như: mức độ quan tâm của học sinh với bài học, đánh giá của học sinh về cách dạy của giáo viên, mong muốn của học sinh, ý kiến của học sinh về việc dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề

1.6.2.3 Kết quả khảo sát từ giáo viên

Qua việc tổng kết kinh nghiệm dạy học của bản thân cùng với việc trao đổi chuyên môn nghiệp vụ với các thầy cô giáo trong nhà trường, tác giả khảo sát bằng phiếu điều tra với 8 giáo viên trong tổ Toán Tin trung học về các vấn đề: nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, khó khăn của học sinh khi học chủ đề này, phương pháp dạy học, cách thức kiểm tra, đánh giá, biện pháp để phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh

- Có 100% các thầy cô cho rằng chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình

có tính ứng dụng thực tiễn đối với học sinh

- Có 75% các thầy cô cho rằng những khó khăn khi học sinh gặp phải là: Chuyển

từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ toán học; Thiết lập mối quan hệ giữa các đại lượng để lập phương trình; Không nhận diện được các dạng bài cụ thể

- Có 100% các thầy cô cho rằng cần rèn luyện kĩ năng đọc hiểu và phân tích bài toán và rèn luyện các dạng toán thường gặp

- Có 75% các thầy cô cho rằng cần rèn luyện các thao tác tư duy

1.6.2.4 Kết quả khảo sát từ học sinh

Để nắm bắt tình hình học tập chủ đề Giải bài toán bằng cách lập phương trình, tác giả đã tiến hành phát phiếu khảo sát 206 học sinh khối 9 về các vấn đề: nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, khó khăn của học sinh khi học chủ đề này…

- Có 76% học sinh thấy nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình là hữu ích

- Có 65% học sinh thấy bài tập không có thuật giải chung cho từng dạng bài

- Có 51% học sinh thấy khó khăn khi đọc hiểu và phân tích đề bài

- Có 92% học sinh cho rằng làm dạng bài nào chỉ biết dạng bài đó, các dạng toán không có liện hệ với nhau

- Có 92% học sinh cho rằng nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình

có mối liên hệ với thực tiễn và các môn học khác

1.6.2.5 Nhận xét

Phần lớn các em học sinh nhận thấy chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” có tính thực tiễn cao, gần với cuộc sống Tuy nhiên, các em lại gặp khó khăn trong việc đọc hiểu, phân tích bài toán, chưa thấy sự liên hệ giữa các dạng toán cụ thể

là trong phương pháp giải

Về phía giáo viên, các thầy cô đều cho rằng chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình có tính ứng dụng thực tiễn đối với học sinh và cần rèn luyện kĩ năng đọc hiểu và phân tích bài toán và rèn luyện các dạng toán thường gặp

Kết luận chương 1

Trong chương 1, tác giả đã trình bày và phân tích cơ sở lý luận để thực hiện đề tài Thứ nhất, tác giả đã trình bày về lịch sử nghiên cứu năng lực giải quyết vấn đề, năng lực, cấu trúc năng lực nói chung và năng lực, cấu trúc năng lực và yêu cầu cần đạt khi dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề cấp trung học cơ sở trong quá trình dạy học môn Toán

Thứ hai, tác giả đã trình bày lí luận chung về giải toán Lí luận có đề cập đến khái niệm về bài toán, lời giải bài toán, ý nghĩa của việc giải bài toán và cách phân loại bài toán; Phân tích một số phương pháp dạy học tích cực nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề của học sinh Mỗi một phương pháp đều nêu rõ bản chất, quy trình thực hiện và ưu, nhược điểm

Thứ ba, tác giả đã đi phân tích chủ để trong chương trình môn Toán lớp 9 và khảo sát thực trạng thực tiễn về việc dạy và học chủ đề này

Những nội dung đã tìm hiểu được trong chương 1 là cơ sở, tiền đề để nghiên cứu, xây dựng đề xuất các biện pháp phát triển năng lực giải quyết vấn đề sẽ được trình bày trong chương 2 Luận văn

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Ở MÔN TOÁN LỚP 9

Để phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 9 thông qua dạy học

chủ đề “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, tác giả cho rằng các biện pháp

đưa ra phải rất cụ thể, đáp ứng được yêu cầu dạy và học của giáo viên và học sinh đối với chủ đề này Sau đây, tác giả đề xuất năm biện pháp để giải quyết yêu cầu trên

2.1 Rèn luyện kĩ năng đọc hiểu và phân tích bài toán

2.1.1 Cách thức thực hiện

Trước hết, phải yêu cầu học sinh đọc kĩ đề toán để thấy được “toàn cảnh” của bài toán Tuy nhiên trong một bài toán có lời văn, không phải tất cả các từ ngữ đều cung cấp thông tin để giải bài toán Do đó, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh gạch chân, hoặc dùng bút nhớ đối với những ý chính, từ ngữ quan trọng phục vụ cho việc giải bài toán Việc làm như vậy góp phần hỗ trợ việc “phiên dịch” từ ngôn ngữ thông thường sang “ngôn ngữ đại số” được tốt hơn

Sau khi đã hiểu rõ toàn bộ bài toán, ta sẽ tập trung chú ý vào những phần chủ yếu nhất của nó Ta phải phân biệt được thật rõ:

- Đối tượng phải tìm thuộc loại nào? (ẨN hay các ẩn là gì?);

- Cái gì đã cho hoặc đã biết? (Các DỮ KIỆN là gì?);

- Các ẩn và các dữ kiện liên quan với nhau như thế nào, bằng những quan hệ nào? (ĐIỀU KIỆN là gì?)

Trong những trường hợp phức tạp, ta phải phân tích, tách ra từng phần, phiên dịch mỗi phần theo ngôn ngữ đại số, sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí, sau đó kết hợp những phần đã nói để có thể biểu diễn cùng một lượng bằng hai cách khác nhau thành một đẳng thức Như vậy ta sẽ có phương trình

Thông thường ở mỗi bài toán ta đưa ra bao nhiêu ẩn, cần thiết lập bấy nhiêu phương trình Cũng có những trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ vào và sau đó khử được ẩn đó đi hoặc có trường hợp dẫn đến giải phương trình nghiệm nguyên

Chú ý: Trong các bài toán thực tế có những đại lượng liên quan chặt chẽ với nhau, khi nói đến đại lượng này ta phải nghĩ ngay đến đại lượng kia dù trong bài toán không nói đến đại lượng quan hệ đó

Chẳng hạn, bài toán về chuyển động đều, các đại lượng quan hệ: quãng đường

= vận tốc x thời gian, bài toán về diện tích tam giác: diện tích = một nửa cạnh đáy x chiều cao

2.1.2 Một số ví dụ

Ví dụ 2.1 Cho bài toán: “Một ô tô chở hàng xuất khẩu đi đoạn đường đầu AB

dài 100km rồi đi tiếp đoạn đường sau BC cũng dài 100km Do đoạn đường đầu là đường bình thường, còn đoạn đường sau là đường cao tốc nên vận tốc của ô tô trên đoạn đường sau lớn hơn trên đoạn đường đầu là 30km/h và thời gian đi đoạn đường sau ít hơn thời gian đi đoạn đường đầu là 45phút Tính vận tốc của ô tô đi trên đoạn đường cao tốc BC.”

Ở bài toán này, một số từ ngữ không có ý nghĩa trong việc giải toán, ta sẽ lược bớt những từ ngữ đó Những từ ngữ được gạch chân sẽ là từ ngữ chứa thông tin giải bài toán

“Một ô tô chở hàng xuất khẩu đi đoạn đường đầu AB dài 100 km rồi đi tiếp đoạn đường sau BC cũng dài 100km Do đoạn đường đầu là đường bình thường, còn đoạn đường sau là đường cao tốc nên vận tốc của ô tô trên đoạn đường sau lớn hơn trên đoạn đường đầu là 30km/h và thời gian đi đoạn đường sau ít hơn thời gian đi đoạn đường đầu là 45phút Tính vận tốc của ô tô đi trên đoạn đường cao tốc BC.”

Như vậy thông tin học sinh tiếp nhận đã được giảm bớt so với ban đầu mà vẫn hiểu được trọn vẹn nội dung bài toán

Bài toán được rút gọn: “Một ô tô đi đoạn đường đầu AB dài 100 km đi tiếp đoạn sau BC dài 100km Vận tốc trên đoạn đường sau lớn hơn đoạn đường đầu là 30km/h thời gian đi đoạn đường sau ít hơn đoạn đường đầu là 45phút Tính vận tốc đi trên đoạn đường BC.”

Đối tượng cần tìm ở đây là vận tốc của ô tô trên đoạn đường BC

Những dữ kiện đã cho là chiều dài đoạn đường BC, đoạn đường AB cùng bằng

100km; Vận tốc đi trên trên đoạn BC lớn hơn đi trên AB là 30km/h; Thời gian đi trên đoạn BC ít hơn trên AB là 45phút = 3

Quãng đường (km)

Thời gian đi trên BC ít hơn trên AB là 45phút = 3

4giờ nên ta có phương trình:

“Theo kế hoạch, một phân xưởng cần lắp ráp 80 ô tô trong khoảng thời gian nhất định Do cải tiến kĩ thuật, phân xưởng đã lắp vượt mức 4 ô tô mỗi ngày nên chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày mà còn lắp vượt mức 4 ô tô Hỏi theo

kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải lắp bao nhiêu ô tô?”

Bài toán rút gọn: “Theo kế hoạch, cần lắp ráp 80 ô tô trong khoảng thời gian nhất định Do cải tiến, lắp vượt mức 4 ô tô mỗi ngày nên hoàn thành kế hoạch sớm

2 ngày mà còn lắp vượt mức 4 ô tô Theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải lắp bao nhiêu ô tô?”

Đối tượng cần tìm là số ô tô cần lắp trong một ngày theo kế hoạch

Những dữ kiện đã cho: Theo kế hoạch lắp 80 ô tô; Số ô tô cần lắp thực tế hơn

kế hoạch là 4 ô tô; Thời gian thực tế ít hơn kế hoạch 2 ngày; Thực tế số ô tô lắp được là 84 ô tô

Đây là bài toán năng suất, các đại lượng: Số sản phẩm làm được = Số sản phẩm làm một ngày (năng suất) x Số ngày Mối liên hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho được trình bày qua bảng sau:

Bằng ngôn ngữ thông thường Bằng ngôn ngữ đại số

Số ô tô phân xưởng cần lắp ráp trong

một ngày theo kế hoạch

x − x =+Hoặc

Số ô tô phân xưởng cần lắp ráp trong

một ngày theo kế hoạch

Việc phân tích bài toán có thể thông qua hình thức là cách lập bảng như sau:

Số sản phẩm (ô tô) Năng suất (sản

x −x =+

Ví dụ 2.3 Cho bài toán: “Ông Minh gửi một số tiền vào ngân hàng theo mức

lãi suất tiết kiệm với kì hạn một năm là 6% Tuy nhiên sau một năm, ông Minh không đến nhận tiền lãi mà để thêm một năm nữa mới lĩnh Khi đó số tiền lãi có được sau năm đầu tiên sẽ được ngân hàng cộng dồn vào số tiền gửi ban đầu để thành số tiền gửi cho năm kế tiếp với mức lãi suất cũ Sau hai năm, ông Minh được số tiền là

112.360.000 đồng (kể cả gốc lẫn lãi) Hỏi ban đầu, ông Minh đã gửi bao nhiêu tiền?”

Ở bài toán này, một số từ ngữ không có ý nghĩa trong việc giải toán, ta sẽ lược bớt những từ ngữ đó Những từ ngữ được gạch chân sẽ là từ ngữ chứa thông tin giải bài toán

“Ông Minh gửi một số tiền vào ngân hàng theo mức lãi suất tiết kiệm với kì hạn một năm là 6% Tuy nhiên sau một năm, ông Minh không đến nhận tiền lãi mà để thêm một năm nữa mới lĩnh Khi đó số tiền lãi có được sau năm đầu tiên sẽ được ngân hàng cộng dồn vào số tiền gửi ban đầu để thành số tiền gửi cho năm kế tiếp với mức lãi suất cũ Sau hai năm, ông Minh được số tiền là 112.360.000 đồng (kể cả gốc lẫn lãi) Hỏi ban đầu, ông Minh đã gửi bao nhiêu tiền?”

Bài toán rút gọn: “Ông Minh gửi tiền vào ngân hàng kì hạn một năm là 6% Sau một năm, ông Minh không nhận tiền lãi để thêm một năm nữa mới lĩnh Số tiền lãi sau năm đầu cộng dồn vào số tiền gửi ban đầu thành số tiền gửi cho năm kế tiếp mức lãi suất cũ Sau hai năm, ông Minh được số tiền là 112.360.000 đồng (kể cả gốc lẫn lãi) Ban đầu, ông Minh đã gửi bao nhiêu tiền?”

Đối tượng cần tìm là số tiền ông Minh gửi ban đầu

Những dữ kiện đã cho của bài toán: Lãi suất tiết kiệm kì hạn một năm là 6%; Tiền lãi năm đầu cộng dồn với số tiền gửi ban đầu thành số tiền gửi cho năm kế tiếp mức lãi suất cũ; Số tiền sau hai năm tính cả gốc lẫn lãi là 112.360.000 đồng

Mối liên hệ giữa ẩn và các dữ kiện đã cho được trình bày qua bảng sau:

Bằng ngôn ngữ thông thường Bằng ngôn ngữ đại số

Số tiền có sau năm thứ nhất x+0, 06x=1, 06 x

Số tiền lãi của năm thứ hai 1, 06 0, 06x =0, 0636 x

Số tiền sau hai năm (tính cả gốc lẫn lãi) 1,06x+0,0636x=112360000

Phương trình được lập: 1,06x+0,0636x=112360000

Như vậy, biện pháp “Rèn luyện kĩ năng đọc hiểu và phân tích bài toán” mà tác giả vừa trình bày gồm hai phần: Cách thức thực hiện và một số ví dụ Biện pháp này đưa ra một số kĩ thuật, các câu hỏi gợi ý hỗ trợ việc đọc hiểu và phân tích bài toán từ

đó giúp cho học sinh xây dựng chương trình giải cho bài toán được tốt hơn

2.2 Rèn luyện một số thao tác tư duy

2.2.1 Rèn luyện thao tác tương tự hóa

Xét hai đối tượng X, Y, trong đó X có các dấu hiệu a, b, c, d, còn Y có các dấu hiệu a, b, c, ta dự đoán Y cũng có dấu hiệu d và nói rằng “tương tự, ta thấy…” Vậy nếu trừ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu ta dự đoán rằng hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác thì suy luận ấy được gọi là phép tương tự hóa Khi

đó kết luận rút ra từ suy luận tương tự chỉ là một giả thuyết, một dự đoán, có thể đúng,

có thể sai, nhưng nó góp phần tìm tòi cái mới Trong hoạt động giải toán, sử dụng suy luận tương tự để liên hệ bài toán cần giải với bài toán đã giải có thể giúp ta nhanh chóng tìm ra lời giải Khi khai thác bài toán, ta có thể sử dụng suy luận tương tự để thiết kế các bài toán mới

Ví dụ 2.4 Cho bài toán: “Hai vòi nước chảy vào một bể không có nước thì sau

1 giờ 30 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khóa lại, sau đó mở vòi

thứ hai trong 20 phút thì được 1

5 bể Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao nhiêu lâu đầy bể?”

Trong quá trình dạy học, giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán này (xem cách giải chi tiết ở mục 2.3.3) Do đó học sinh đã hiểu được cách giải bài toán Tiếp theo giáo viên sẽ đưa ra bài toán tương tự nhưng thay đổi dữ kiện bài toán:

“Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 6 giờ xong Nếu một mình người thứ nhất làm trong 2 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì

cả hai người làm được 2

5 công việc Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao nhiêu giờ xong công việc?”

Để giải được bài toán thứ hai, học sinh cần phải suy luận và nghĩ đến cách giải của bài toán thứ nhất Việc làm như vậy còn gọi là quy lạ về quen

Ví dụ trên minh họa cho những bài toán cùng dạng với nhau Rõ ràng, khi cùng một dạng toán, các bài toán sẽ có mối liên hệ về kiến thức chung Chính vì lẽ đó việc liên tưởng, kết nối với những bài đã giải không phải là nhiệm vụ quá khó khăn Vấn

đề đặt ra, nếu hai dạng toán khác nhau thì việc thực hiện suy luận tương tự hóa trong cách giải liệu có khả thi? Bên cạnh đó, việc khai thác bài toán vận dụng thao tác tương

tự hóa như thế nào? Ta xét đến hai ví dụ dưới đây

Ví dụ 2.5 Cho hai bài toán:

Bài toán 1 Quãng đường AB dài 60km Một người đi từ A đến B với một vận tốc xác định Khi đi từ B về A người ấy đi với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi mỗi giờ

5km Vì vậy, thời gian về ít hơn thời gian đi là 1 giờ Tính vận tốc của người đó khi

đi từ A đến B

Bài toán 2 Một người thợ nhận làm 100 sản phẩm trong một thời gian và với năng suất dự định Do đó cải tiến kĩ thuật, năng suất thêm 2 sản phẩm một ngày so với dự định nên người thợ hoàn thành công việc sớm hơn 4 ngày Tính năng suất dự định của người đó

Bài toán 1 thuộc dạng các bài toán chuyển động đều và bài toán 2 thuộc dạng bài toán năng suất Trong quá trình dạy học, giáo viên nên tiến hành phân tích đối với

hai dạng toán để học sinh thấy được một số nét tương đồng trong lập luận xây dựng cách giải của chúng

Các đại lượng của bài toán chuyển động là: Quãng đường = Vận tốc x Thời gian

Các đại lượng của bài toán năng suất là: Số sản phẩm = Năng suất x Thời gian Nhận thấy, bài toán chuyển động đều và bài toán năng suất đều có ba đại lượng

có quan hệ chặt chẽ với nhau Các bài toán thường cho hai đại lượng và yêu cầu tìm đại lượng còn lại Cụ thể ở bài toán 1 hỏi vận tốc thì các dữ kiện đề bài cho ở hai đại lượng quãng đường và thời gian; Bài toán 2 hỏi về năng suất thì dữ kiện đề bài cho

là số lượng sản phẩm được giao và thời gian

Phân tích sơ lược bài toán 1

Quãng đường (km) Vận tốc (km/h) Thời gian (h)

x −x =+Phân tích sơ lược bài toán 2

Sản phẩm (sản phẩm)

Năng suất (sản phẩm/ngày) Thời gian (h)

Bảng giá cước xe năm chỗ của hãng taxi group được cho như bảng sau:

Hình 2.1

(Nguồn: http://taxigoup.com.vn) Một hành khách thuê taxi đi 30km phải trả số tiền là bao nhiêu?

(Lời giải chi tiết xem mục 2.3.5)

Giáo viên đề nghị học sinh tìm kiếm các bảng giá taxi khác trên mạng internet rồi yêu cầu thiết kế bài toán tương tự

Bài toán đề xuất:

Bảng giá cước xe năm chỗ của hãng taxi group được cho như bảng sau:

Hình 2.2

(Nguồn: http://sites.google.com) Một hành khách thuê taxi đi 35km phải trả số tiền là bao nhiêu?

Như vậy, khi học sinh đã hiểu được phương pháp giải đối với bài toán đầu thì việc thiết kế các bài toán tương tự trong việc khai thác bài toán là không quá khó

khăn Bên cạnh đó, việc tìm kiếm thông tin trên internet để xây dựng ý tưởng cho bài toán sẽ không chỉ góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề mà còn kích thích năng lực sáng tạo ở mỗi học sinh

2.2.2 Rèn luyện thao tác tổng quát hóa

Tổng quát hóa là suy luận chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tượng đến việc khảo sát một tập hợp đối tượng lớn hơn, chứa tập hợp ban đầu làm tập hợp con Nhờ tổng quát hóa, có thể đề xuất được những giả thuyết, những dự đoán Tổng quát hóa một bài toán có thể đưa tới một bài toán rộng hơn (có thể đúng hoặc không đúng (hoặc không giải được)) Có khi tổng quát hóa một bài toán lại giúp ta tìm tòi lời giải thuận lợi hơn, dễ dàng hơn đối với bài toán đã cho Tổng quát hóa còn được gọi là khái quát hóa

Ví dụ 2.7 Sau khi học sinh giải được một số bài toán tìm vận tốc thực của một

ca nô chuyển động xuôi dòng, ngược dòng trên cùng một dòng sông trong một khoảng thời gian nhất định Đề bài đã cho chiều dài dòng sông và biết vận tốc dòng nước Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng nên bài toán tổng quát cho lớp bài toán trên

và phương pháp giải

Bài toán tổng quát: “Một ca nô chạy xuôi dòng sông từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B về A hết tất cả t giờ Tính vận tốc thực của ca nô biết quãng sông AB dài

m km và vận tốc dòng nước là n km/h.”

Phương pháp giải: Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h) (xn).

Vận tốc khi ca nô xuôi dòng sông x n+ (km/h)

Vận tốc khi ca nô ngược dòng sông x n− (km/h)

Thời gian ca nô đi xuôi dòng sông: m