1 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.. 2 Việc chi tiết hoá nếu có thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đ[r]
Trang 11
Lop12.net
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm) Cho hàm số 1 3 3 2 5
y = x − x + 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho
2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 – 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt
Câu 2 (3,0 điểm)
1) Giải phương trình 2log22x − 14log4x + 3 = 0
x
2) Tính tích phân
1
0
I =∫x x− d 3) Cho hàm số f x( ) = x − 2 x2 + 12 Giải bất phương trình f x'( ) 0.≤
Câu 3 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60o Tính thể
tích khối chóp S.ABCD theo a
II PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình Chuẩn
Câu 4.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và
C(0; 0; 3)
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC
2) Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
Câu 5.a (1,0 điểm) Cho hai số phức và Xác định phần thực và phần ảo của số phức
z = + i z2 = − i2 3
z − z
2 Theo chương trình Nâng cao
Câu 4.b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình
x = y + = z −
−
1) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng Δ
2) Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm O và đường thẳng Δ
Câu 5.b (1,0 điểm) Cho hai số phức và Xác định phần thực và phần ảo của số phức
z = + i z2 = − i3 4
1 2
z z
Hết
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ……… Chữ kí của giám thị 1: ……… Chữ kí của giám thị 2: ………
http://www.VNMATH.com
Trang 3BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Văn bản gồm 04 trang)
I Hướng dẫn chung
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định
2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm)
II Đáp án và thang điểm
1 (2,0 điểm)
b) Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên: y = ' 3 2
4x − 3x Ta có:
'
y = 0 ⇔ ⎡x x==04
⎢⎣ ; 'y > 0 ⇔ ⎡x x<04
>
⎢⎣ và 'y < 0 ⇔ 0 < x < 4
Do đó:
+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( − ∞ ;0) và (4; + ∞ );
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 4)
0,50
• Cực trị:
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yC§= y(0) = 5;
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và yCT = y(4) = −3
0,25
• Giới hạn: lim ; lim
Câu 1
(3,0 điểm)
• Bảng biến thiên:
0,25
x − ∞ 0 4 +∞
y’ + 0 − 0 +
y 5
− 3 −∞
+∞
http://www.VNMATH.com
3
Lop12.net
Trang 4c) Đồ thị (C):
0,50
2 (1,0 điểm)
Xét phương trình: x3 − 6x2 + m = (∗) Ta có: 0
(∗) ⇔ 1 3 3 2
5 5
m
Do đó:
(∗) có 3 nghiệm thực phân biệt ⇔ đường thẳng 5
4
m
y = − cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt 0,25
⇔ −3 < 5 −
4
m < 5 ⇔ 0 < m < 32 0,50
1 (1,0 điểm)
Điều kiện xác định: x > 0
Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với phương trình
2
2log x− 7 log x + = 3 0
0,50
⇔ 2
2
log 3
1 log
2
x x
=
⎡
⇔ ⎡⎢ =⎣x x= 82. 0,25
Lưu ý : Nếu thí sinh chỉ tìm được điều kiện xác định của phương trình thì cho 0,25 điểm
2 (1,0 điểm)
1
0
=
1
0
5x 2x 3x
= 1
3 (1,0 điểm)
Câu 2
(3,0 điểm)
Trên tập xác định D = R của hàm số f(x), ta có: '( ) f x =
2
2 1
12
x x
−
5
− 3
y
6 4
− 2
Trang 5Do đó: f x'( ) ≤ 0 ⇔ x2 + 12 ≤ 2x 0,25
⇔ 2 0
4
x x
≥
⎧
⎨ ≥
⇔ x ≥ 2 0,25
Gọi O là giao điểm của AC và BD Vì ABCD là hình vuông nên AO ⊥ BD (1)
Vì SA ⊥ mp(ABCD) nên:
+ SA là đường cao của khối chóp S.ABCD;
+ SA ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD ⊥ mp(SOA)
Do đó SO ⊥ BD (3)
Từ (1) và (3) suy ra nSOA là góc giữa mp(SBD) và mp(ABCD) Do đó n SOA = 60o
0,50
Xét tam giác vuông SAO, ta có:
SA = OA tan SOA = n
2
AC
.tan60o = 2.
2
a 3 = 6.
2
Câu 3
(1,0 điểm)
Vì vậy V S.ABCD = 1
3SA. S ABCD = 1
3
6. 2
a a2 = 3 6
6
a
0,25
1 (1,0 điểm)
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A(1; 0; 0) và vuông góc với BC
Vì BC ⊥ (P) nên BCJJJG là một vectơ pháp tuyến của (P) 0,25
Do đó, phương trình của (P) là: −2y + 3z = 0 0,50
2 (1,0 điểm)
Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
Vì O(0; 0; 0) ∈ (S) nên phương trình của (S) có dạng:
x2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz = 0 (∗)
0,25
Vì A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3) ∈ (S) nên từ (∗) ta được:
1 2 0
4 4 0
9 6 0.
a b c
+ =
⎧
⎪ + =
⎨
⎪ + =
⎩
Suy ra: a = 1
2
− ; b = − 1; c = 3.
2
−
0,50
Vì vậy, mặt cầu (S) có tâm 1; 1; 3
2 2
Câu 4.a
(2,0 điểm)
Lưu ý:
Thí sinh có thể tìm toạ độ của tâm mặt cầu (S) bằng cách dựa vào các nhận xét về tính chất hình học của tứ diện OABC Dưới đây là lời giải theo hướng này và thang điểm cho lời giải đó:
B
A
C
D O
S
http://www.VNMATH.com
5
Lop12.net
Trang 6Tâm I của mặt cầu (S) là giao điểm của đường trục của đường tròn ngoại tiếp tam
giác OAB và mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng OC 0,25
Từ đó, vì tam giác OAB vuông tại O, các điểm A, B thuộc mp(Oxy) và điểm C thuộc
trục Oz nên hoành độ, tung độ của I tương ứng bằng hoành độ, tung độ của trung
điểm M của đoạn thẳng AB và cao độ của I bằng 1
2 cao độ của C
0,50
Ta có M = 1; 1; 0
2
⎝ ⎠ và C = (0; 0; 3) (giả thiết) Vì vậy
1 3
; 1;
2 2
I = ⎜ ⎛⎝ ⎞ ⎟⎠ 0,25
Câu 5.a
(1,0 điểm) Do đó, số phức z1− 2z có phần thực bằng −3 và phần ảo bằng 8 2 0,50
1 (1,0 điểm)
Từ phương trình của ∆ suy ra ∆ đi qua điểm M(0; −1; 1) và có vectơ chỉ phương G
u = (2; −2; 1)
Do đó d(O, ∆) = MO u,
u
JJJJG G
G
0,50
Ta có MOJJJJG = (0; 1; −1) Do đó ⎡⎣MO uJJJJG G, ⎤ = − − −⎦ ( 1; 2; 2) 0,25
Vì vậy d(O, ∆) = 2 2 2
( 1) ( 2) ( 2)
2 ( 2) 1
− + − + −
2 (1,0 điểm)
Gọi (P) là mặt phẳng chứa điểm O và đường thẳng ∆
Do vectơ n = ⎣ ⎡MO u, ⎤ ⎦
G JJJJG G
có phương vuông góc với (P) nên nG là một vectơ pháp
tuyến của (P)
0,50
Câu 4.b
(2,0 điểm)
Suy ra phương trình của (P) là: −x − 2y − 2z = 0, hay x + 2y + 2z = 0 0,50
Câu 5.b
(1,0 điểm) Do đó, số phức z z có phần thực bằng 26 và phần ảo bằng 7 1. 2 0,50
- Hết -
Trang 7BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2009
Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm )
Câu 1 (3,0 điểm) Cho hàm số 2 1
2
x y x
+
=
−
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 5
Câu 2 (3,0 điểm)
1) Giải phương trình 25x−6.5x+ =5 0
2) Tính tích phân
0
(1 cos ) d
I =π∫x + x x
3) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f x( )= x2−ln(1 2 )− x trên đoạn [– 2 ; 0]
Câu 3 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy Biết nBAC =1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được chọn phần dành riêng cho chương trình đó (phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình Chuẩn:
Câu 4a (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình:
(S): (x−1)2+ (y −2)2+ (z −2)2 = 63 và (P): x+ 2y + 2z +18= 0
1) Xác định toạ độ tâm T và tính bán kính của mặt cầu (S) Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P)
2) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P) Tìm toạ độ giao điểm của d và (P)
Câu 5a (1,0 điểm) Giải phương trình 8 z2− 4z + = trên tập số phức 1 0
2 Theo chương trình Nâng cao:
Câu 4b (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; – 2; 3) và đường thẳng d có phương trình
1
−
1) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d 2) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d
Câu 5b (1,0 điểm) Giải phương trình 2z2− iz + = trên tập số phức 1 0
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
http://www.VNMATH.com
7
Lop12.net
Trang 8BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2009 Môn thi: TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Bản hướng dẫn gồm 05 trang
I Hướng dẫn chung
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định
2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi 3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm)
II Đáp án và thang điểm
1 (2,0 điểm)
b) Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên: y' = 5 2
(x 2)
−
− < 0 ∀x ∈ D
Suy ra, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 2) và (2;+∞)
• Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị
0,50
Lưu ý: Ở ý b), cho phép thí sinh không nêu kết luận về cực trị của hàm số
• Giới hạn và tiệm cận:
2
lim
x + y
→ = + ∞ ,
2
lim
x −y
x y x y
→−∞ = →+∞ = Suy ra, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng x = và 2 một tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2
0,50
Câu 1
(3,0 điểm)
• Bảng biến thiên:
x – ∞ 2 + ∞
y' – –
y 2 + ∞
– ∞ 2
0,25
Trang 9c) Đồ thị (C):
(C) cắt trục tung tại điểm 0; 1
2
và cắt trục hoành tại điểm 1;0
2
0,50
Lưu ý: - Cho phép thí sinh thể hiện toạ độ giao điểm của (C) và các trục toạ độ chỉ trên hình vẽ
- Nếu thí sinh chỉ vẽ đúng dạng của đồ thị (C) thì cho 0,25 điểm
2 (1,0 điểm)
Kí hiệu d là tiếp tuyến của (C) và (x0; y0) là toạ độ của tiếp điểm Ta có:
⇔ 2
0
5
5 (x 2)
1 3
x
x =
⎡
=
⎢⎣
0,50
Từ đó, ta được các phương trình tiếp tuyến theo yêu cầu của đề bài là:
5
1 (1,0 điểm)
Đặt 5x = t, t > 0, từ phương trình đã cho ta có phương trình
Với t =1, ta được: 5x = ⇔ 1 x = 0
Với t =5, ta được: 5x = ⇔ 5 x = 1
Vậy, phương trình đã cho có tất cả 2 nghiệm là 2 giá trị x vừa nêu trên
0,25
2 (1,0 điểm)
Đặt u = x và dv =(1 cos )d+ x x, ta có du =dx và v = +x sin x 0,50
0
Câu 2
(3,0 điểm)
=
2
0
4 cos
x
x
π
π
y
2
x
2
O
1 2
−
1 2
−
http://www.VNMATH.com
9
Lop12.net
Trang 10Lưu ý:
• Thí sinh được phép trình bày lời giải vừa nêu trên như sau:
2 0
4
x
π
• Ngoài cách 1 nêu trên, còn có thể tính I theo cách sau:
Cách 2:
0
0
0
4
x
x
π
π
π
−
Trong trường hợp thí sinh tính I theo cách 2, việc cho điểm được thực hiện như sau:
- Biến đổi về (*): 0,25 điểm;
- Biến đổi từ (*) về (**): 0,50 điểm;
- Biến đổi tiếp từ (**) đến kết quả: 0,25 điểm
3. (1,0 điểm)
'( ) 2
1 2
−
Suy ra, trên khoảng (– 2; 0): '( ) 0 1
2
0,50
Ta có: f(0) =0, f( 2)− = −4 ln 5, 1 1 ln 2
f ⎛− ⎞ = −
Vì
4
4
5
e
e
e
e
Nên
[ 2;0 ]
1
4
x f x
[ 2;0 ]
x f x
0,25
Lưu ý: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 0] còn
được kí hiệu tương ứng bởi
[ 2;0]
min ( )f x
[ 2;0]x ( )f x
Câu 3
(1,0 điểm)
Vì SA ⊥ mp(ABC) nên
SA ⊥ AB và SA ⊥ AC
Xét hai tam giác vuông SAB và SAC, ta có
}
chung
SB = SC ⇒ Δ = Δ
0,25
S
C
B
a
A
Trang 11Áp dụng định lí côsin cho tam giác cân BAC, ta được
n
a = BC = AB +AC − AB AC BAC = AB − = AB2
3
a
AB =
3
a
.sin
a
2
0,50
Vì vậy V S.ABC = 1
3S ABC SA = 3 2
36
a
Lưu ý: Ở câu này, không cho điểm hình vẽ
1. (0,75 điểm)
• Tâm T và bán kính R của (S): T =(1;2;2) và R = 6 0,25
• Khoảng cách h từ T đến (P):
|1.1 2.2 2.2 18 |
9
2. (1,25 điểm)
• Phương trình tham số của d:
Vì d ⊥ (P) nên vectơ pháp tuyến nG của (P) là vectơ chỉ phương của d
Từ phương trình của (P), ta có nG =(1;2;2)
0,25
Do đó, phương trình tham số của d là: 12 2
= +
⎨
= +
• Toạ độ giao điểm H của d và (P):
Do H∈ d nên toạ độ của H có dạng (1 + t ; 2 + 2t ; 2 + 2t) 0,25
Vì H ∈ (P) nên 1 + t + 2(2 + 2t) + 2(2 + 2t) + 18 = 0, hay t = −3 0,25
Câu 4a
(2,0 điểm)
Do đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
1
i
i
Câu 5a
(1,0 điểm)
Lưu ý: Cho phép thí sinh viết nghiệm ở dạng 1, 2 1
4
i
z = ±
hoặc 1, 2 4 4
16
i
z = ±
1. (0,75 điểm)
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d
Vì d ⊥ (P) nên vectơ chỉ phương uG của d là vectơ pháp tuyến của (P)
Từ phương trình của d, ta có uG =(2;1; 1− )
0,25
Câu 4b
(2,0 điểm)
Do đó, phương trình tổng quát của mp(P) là:
2.(x −1) 1.(+ y + 2) + −( 1)(z −3)= hay 20 x+ − + = y z 3 0 0,50
http://www.VNMATH.com
11
Lop12.net
Trang 122. (1,25 điểm)
• Khoảng cách h từ A đến d:
Từ phương trình của d suy ra điểm B(–1; 2; –3) thuộc d
| |
BA u h
u
=
JJJG G
0,50
Ta có BAJJJG = (2; 4;6)− Do đó:
Vì vậy
5 2
• Phương trình mặt cầu (S) tâm A(1; –2; 3), tiếp xúc với d:
Vì (S) tiếp xúc với d nên có bán kính bằng h Do đó, phương trình của (S) là:
(x −1) + (y +2) + (z −3) = 0 5
0,25
Lưu ý:
Có thể sử dụng kết quả phần 1) để tính khoảng cách h từ A đến d Dưới đây là
lời giải tóm tắt theo hướng này và thang điểm cho lời giải đó:
Gọi H là giao điểm của d và mặt phẳng (P), ta có H là hình chiếu vuông
Toạ độ của H là nghiệm của hệ phương trình
3 1 0
⎩
Từ kết quả giải hệ trên ta được H = −( 3 ; 1 ; 2− )
0,50
Câu 5b
(1,0 điểm)
Do đó, phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
1
3 4
i i
z = + = và i
2
i i
z = − = − i
- Hết -
Trang 13Bộ giáo dục vμ đμo tạo
Đề thi chính thức
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2008 Môn thi: toán - Trung học phổ thông không phân ban
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (3,5 điểm)
Cho hàm số y=x4 ư2x2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x =ư2
Câu 2(2,0 điểm)
1) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
x
9 x ) x
(
f = + trên đoạn [ ] 2 ; 4
2) Tính tích phân I = ∫1 +
0
x) xdx e 1
Câu 3(1,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(0; 8) và B(ư6; 0) Gọi (T) là
đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB
1) Viết phương trình của (T)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (T) tại điểm A Tính cosin của góc giữa tiếp
tuyến đó với đường thẳng y ư 1 = 0
Câu 4 (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 3) và mặt phẳng (α) có
phương trình 2xư3y+6z+35=0
1) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (α) 2) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) Tìm toạ độ điểm N thuộc trục
Ox sao cho độ dài đoạn thẳng NM bằng khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α)
Câu 5 (1,0 điểm)
Giải bất phương trình (n2 ư5)C4n +2C3n ≤ 2A3n
(Trong đó C là số tổ hợp chập k của n phần tử và kn k
n
A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử)
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
http://www.VNMATH.com
13
Lop12.net