biết vận dụng Đl và ĐN để giải các bài tập khác - Kỹ năng: biết cách xét dấu một nhị thức, tam thức, biết nhận xét khi nào hàm số đồng biến, nghịch biến, biết vận dụng quy tắc tìm cực tr[r]
Trang 1Tuần 1 Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
Đ1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ.
I Mục ủớch baứi dạy:
- Kiến thức cơ bản: khỏi niệm đồng biến, nghịch biến, tớnh đơn điệu của đạo hàm, quy tắc xột tớnh đơn điệu của hàm số
- Kỹ năng: biết cỏch xột dấu một nhị thức, tam thức, biết nhận xột khi nào hàm số đồng biến, nghịch biến, biết vận dụng quy tắc xột tớnh đơn điệu của hàm số vào giải một số bài toỏn đơn giản
- Thaựi ủoọ: tớch cực xõy dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sỏng tạo trong quỏ trỡnh tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ớch của toỏn học trong đời sống, từ đú hỡnh thành niềm say mờ khoa học, và cú những đúng gúp sau này cho xó hội
- Tử duy: hỡnh thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quỏ trỡnh suy nghĩ
II Phương phaựp:
- Thuyết trỡnh, kết hợp thảo luận nhoựm vaứ hỏi ủaựp
- Phửụng tieọn daùy hoùc: SGK
III Nội dung vaứ tiến trỡnh leõn lớp:
I Tớnh đơn điệu của hàm số
Hoạt động 1:
- Gv chuẩn bị hai đồ thị y = cosx xột trờn đoạn [ ;
2
] và y = x trờn R, và yờu cầu Hs chỉ ra cỏc khoảng
3
2
tăng, giảm của hai hàm số đú
Để từ đú Gv nhắc lại định nghĩa sau cho Hs:
1 Nhắc lại định nghĩa:
Hàm số y = f(x) đuợc gọi là :
- Đồng biến trên K nếu
x1; x2(a; b), x1< x2 f(x1) < f(x2)
- Nghịch biến trên K nếu
x1; x2(a; b), x1< x2 f(x1) > f(x2)
(với K là khoảng, hoặc đoạn, hoặc nửa khoảng)
- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trờn K
được gọi chung là đơn điệu trờn K.
Qua định nghĩa trờn Gv phân tích gợi ý để hs rút ra
nhận xét(sgk)
a/ f(x) đồng biến trờn K
2 1
f(x) nghịch biến trờn K
2 1
b/ Nếu hàm số đồng biến trờn K thỡ đồ thị đi lờn từ trỏi
sang phải (H.3a, SGK, trang 5)
Nếu hàm số nghịch biến trờn K thỡ đồ thị đi xuống từ
trỏi sang phải (H.3b, SGK, trang 5)
Hs thảo luận nhúm để chỉ ra cỏc khoảng tăng, giảm của hai hàm số y = cosx xột trờn đoạn [ ; ] và y = x trờn R (cú đồ thị
2
2
minh hoạ kốm theo phiếu học tập) -Học sinh phát biểu lại đn
-suy nghĩ rút ra nhận xét
ghi nhận kiến thức
Trang 2o a b x o a b x
2 Tớnh đơn điệu và dấu của đạo hàm.
Hoạt động 2:
x - ∞ 0 + ∞
y’
y 0
- ∞ - ∞
Gv chuẩn bị cỏc bảng biến thiờn và đồ thị của hai
hàm số (vào phiếu học tập): 2 và Yờu
2
x
x
cầu Hs tớnh đạo hàm và xột dấu đạo hàm của hai hàm số
đó cho Từ đú, nờu lờn mối liờn hệ giữa sự đồng biến,
nghịch biến của hàm số và đồ thị của đạo hàm
Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau:
“Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
a) Nếu f'(x) > 0, x K thì f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f'(x)< 0, x K thì f(x) nghịch biến trên K.”
Gv giới thiệu với Hs vd1 (SGK, trang 6, 7) để Hs
hiểu rừ định lý trờn)
Hoạt động 3:
Yờu cầu Hs tỡm cỏc khoảng đơn điệu của cỏc hàm số
sau: y = ,
4
5 2
2
x
x
x
x
x
2
2 2
Gv giới thiệu với Hs vd2 (SGK, trang 7, 8) để Hs
củng cố định lý trờn)
Gv nờu chỳ ý sau cho Hs: (định lý mở rộng)
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên K Nếu f'(x) 0
(hoặc f'(x 0) và đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn
điểm trên K thì hàm số tăng (hoặc giảm) trên K.
II Quy tắc xột tớnh đơn điệu của hàm số:
- từ các vd trên gợi ý để HS rút ra quy tắc
1 Quy tắc:
Qua cỏc vớ dụ trờn, khỏi quỏt lờn, ta cú quy tắc sau
để xột tớnh đơn điệu của hàm số:
1 Tỡm tập xỏc định của hàm số
2 Tớnh đạo hàm f’(x) Tỡm cỏc điểm xi (i = 1, 2, …,
n) mà tại đú đạo hàm bằng 0 hoặc khụng xỏc
định
3 Sắp xếp cỏc điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập
bảng biến thiờn
4 Nờu kết luận về cỏc khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số
2 Áp dụng:
Hs thảo luận nhúm để tớnh đạo hàm và xột dấu đạo hàm của hai hàm số đó cho Từ đú, nờu lờn mối liờn hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và đồ thị của đạo hàm
-hiểu nội dung ĐL
-HS áp dụng ĐL tìm khoảng đơn điệu
Hs thảo luận nhúm để giải quyết vấn đề mà
Gv đó đưa ra
+ Tớnh đạo hàm
+ Xột dấu đạo hàm + Kết luận
-phát biểu quy tắc theo gợi ý của GV
-áp dụng quy tắc để xét tính ĐB và NB của hàm số
Trang 3Gv giới thiệu với Hs vd3, 4, 5 (SGK, trang 8, 9)
để Hs củng cố quy tắc trờn)
-GV hướng dẫn HS làm vd 5 và cũng cố thêm kiến thức
cho HS
IV Củng cố:
+ Gv nhắc lại cỏc khỏi niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sõu kiến thức
+ Dặn BTVN: 1 5, SGK, trang 9, 10
Rút kinh nghiệm qua tiết dạy:
Trang 4
Tuần 1 Luyện tập
Tiết 2
I - mục tiêu
+ kiến thức :
- tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm
+kỷ năng:
-rèn luyện kỷ năg xét dấu của biểu thức , xét tính đơn điệu của hàm số
- áp dụng đn ĐB & NB để giải các bài toán về chứng minh BĐT
II – Nội dung và tiến trình lên lớp
1.kiểm tra bài cũ
-phát biểu ĐL của tính đơn điệu của hàm số
- nêu quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
2 luyện tập
Bài 1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm
số:
a) y= -x3 +x2 -5
b y) 4 3x x2
3
d y x) 4 2x2 3
Bài 2 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
1
x
a y
x
2 2
)
1
b y
x
c) y = x2 x20
d) y =
9
2
2
x
x
Bài 3 Chứng minh rằng hàm số 2 đồng
1
x y x
biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các
khoảng (-; -1) và (1; +)
Bài 4 Chứng minh rằng hàm số y 2x x2
đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên
khoảng (1; 2)
Bài 5 Chứng minh các BĐT sau
Baì 1 a) hàm số ĐB trên (0; ), NB trên (-∞;0)và (
3
2
3 2
;+∞) c)hàm số đồng biến trên (-1; 0), (1; +∞ ) và NB trên (-∞ ;-1 ) ,(0;1)
bài 1 a) hàm số ĐB trên các khoảng (-∞ ;1), (1; +∞ ) b) hàm số nghịch biên trên
(-∞ ;1), (1; +∞ ) c) hàm số ngịch biến trên khoảng (-∞ ;-4),đồng biến trên khoảng (5; +∞ )
bài 3: y, = 2 2
2 ) 9 (
1
x x
Bài 4: y, =
2 2
1
x x
x
Bài 5 Giải : a) xét hàm số h(x) = tanx – x , x [0; )
2
có h’(x) = - 1 0 x [0; )
x
2 cos
2
h’(x) = 0 tại x=0 do đó hàm số đồng biến
Trang 5a) tanx > x ( 0<x< )
2
b) tanx >x + ( 0<x< )
3
3
x
2
trênnữa khoảng[0; )
2
tức là h(x) > h(0) với 0<x<
2
nên tanx > x với 0<x<
2
b) tương tự xét hàm số g(x) = tanx – x - ; x [0; )
3
3
2
Trang 6
Tuần 1
Tiết 3
Đ2 CỰC TRỊ HÀM SỐ
I Mục ủớch baứi dạy:
- Kiến thức cơ bản: khỏi niệm cực đại, cực tiểu Điều kiện đủ để hàm số cú cực trị Quy tắc tỡm cực trị của hàm số
- Kỹ năng: biết cỏch xột dấu một nhị thức, tam thức, biết nhận xột khi nào hàm số đồng biến, nghịch biến, biết vận dụng quy tắc tỡm cực trị của hàm số vào giải một số bài toỏn đơn giản
- Thaựi ủoọ: tớch cực xõy dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sỏng tạo trong quỏ trỡnh tiếp cận tri thức mới, thấy được lợi ớch của toỏn học trong đời sống, từ đú hỡnh thành niềm say mờ khoa học, và cú những đúng gúp sau này cho xó hội
- Tử duy: hỡnh thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quỏ trỡnh suy nghĩ
II Phương phaựp:
- Thuyết trỡnh, kết hợp thảo luận nhoựm vaứ hỏi ủaựp
- Phửụng tieọn daùy hoùc: SGK
III Nội dung vaứ tiến trỡnh leõn lớp:
Bài cũ : trình bày các bước tiến hành khi xét chiều biến thiên của hàm số ?
I Khỏi niệm cực đại, cực tiểu
Hoạt động 1:
Cho hàm số: y = - x2 + 1 xỏc định trờn khoảng (-
; + ) và y = (x – 3)2 xỏc định trờn cỏc khoảng (
3
x
; ) và ( ; 4)
1
2
3
2
3
2
Yờu cầu Hs dựa vào đồ thị (H7, H8, SGK, trang
13) hóy chỉ ra cỏc điểm mà tại đú mỗi hàm số đó cho
cú giỏ trị lớn nhất (nhỏ nhất)
Qua hoạt động trờn, Gv giới thiệu với Hs định
nghĩa sau:
Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a; b) (cú thể a
là - ; b là + ) và điểm x 0 (a; b).
a/ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho
f(x) < f(x 0 ), x x 0.và với mọi x (x 0 – h; x 0 + h)
thỡ ta nói hàm số đạt cực đại tại x 0
b Nếu tồn tại số h > 0 sao cho
f(x) > f(x 0 ), x x 0.và với mọi x (x 0 – h; x 0 + h)
thỡ ta nói hàm số đạt cực tiểu tại x 0
Ta nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 , f(x 0 ) gọi là
giá trị cực tiểu của hàm số, điểm (x 0 ; f(x 0 )) gọi là
điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Chỳ ý:
1 Nếu hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thỡ x0 được
gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x 0 )
gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm
Thảo luận nhúm để chỉ ra cỏc điểm mà tại đú mỗi hàm số đó cho cú giỏ trị lớn nhất (nhỏ nhất)
-học sinh lĩnh hội và ghi nhớ -học sinh trình bày ĐN
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a; b) (cú thể a là - ; b là + ) và điểm x 0 (a; b) a/ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho
f(x) < f(x 0 ), x x 0 và với mọi x (x 0 – h;
x 0 + h) thỡ ta nói hàm số đạt cực đại tại
x 0
b Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x 0 ), x x 0.và với mọi x (x 0 – h;
x 0 + h) thỡ ta nói hàm số đạt cực tiểu tại
x 0
Ta nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 , f(x 0 ) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số,
điểm (x 0 ; f(x 0 )) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
- học sinh 2 nhắc lại ĐN
Trang 7số, điểm M(x 0 ;f(x 0 )) gọi là điểm cực đại (điểm
cực tiểu)của đồ thị hàm số.
2 Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là
điểm cực trị, giá trị của hàm số tại đó gọi là giá trị
cực trị.
3 Nếu hàm số y = f(x) cú đạo hàm trờn khoảng
(a ; b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thỡ f’(x0)
= 0
Hoạt động 2:
Yờu cầu Hs tỡm cỏc điểm cực trị của cỏc hàm số
sau: y = x4 - x3 + 3 và
4
1
y = (cú đồ thị và cỏc khoảng kốm theo
1
2 2
2
x
x
x
phiếu học tập)
II Điều kiện đủ để hàm số cú cực trị
Hoạt động 3:
Yờu cầu Hs:
a/ Sử dụng đồ thị để xột xem cỏc hàm số sau đõy cú
cực trị hay khụng: y = - 2x + 1; và
y = (x – 3)2
3
x
b/ Từ đú hóy nờu lờn mối liờn hệ giữa sự tồn tại của
cực trị và dấu của đạo hàm
Gv gợi ý để học sinh nêu nội dung ĐL và thông
báo không cần chứng minh
Giả sử hàm số y = f(x) liờn tục trờn khoảng K = (x0 –
h; x0 + h) và cú đạo hàm trờn K hoặc trờn K \ {x0},
với h > 0
+ Nếu thì x 0 là một
00 00 0 0
điểm cực đại của hàm số y = f(x).
+ Nếu thì x 0 là một
00 00 0 0
điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).
Gv giới thiệu Vd1, 2, 3, SGK, trang 15, 16) để Hs
hiểu được định lý vừa nờu
GV theo dõi và bổ sung kịp thời cho học sinh trong
quá trình thực hiện tìm điểm cực trị
Hoạt động 4:
Yờu cầu Hs tỡm cực trị của cỏc hàm số:
y = - 2x3 + 3x2 + 12x – 5 ; y = x4 - x3 + 3
4 1
Thảo luận nhúm để tỡm cỏc điểm cực trị của cỏc hàm số sau: y = x4 - x3 + 3 và
4 1
y = (cú đồ thị và cỏc khoảng
1
2 2 2
x
x x
kốm theo phiếu học tập)
Thảo luận nhúm để:
a/ Sử dụng đồ thị để xột xem cỏc hàm số sau đõy cú cực trị hay khụng: y = - 2x + 1; và
y = (x – 3)2 3
x
b/ Từ đú hóy nờu lờn mối liờn hệ giữa sự tồn tại của cực trị và dấu của đạo hàm
-học sinh tự rút ra định lý
-học sinh giải các vd 1,2,3(SGK)
Dựa vào vd Gv vừa nờu, Thảo luận nhúm để tỡm cực trị của hai hàm số đó cho
Học sinh tiếp thu và ghi nhớ , có thể tóm tắt bằng BBT
Trang 8III Quy tắc tỡm cực trị.
1 Quy tắc I:
+ Tỡm tập xỏc định
+ Tớnh f’(x) Tỡm cỏc điểm tại đú f’(x) bằng
khụng hoặc khụng xỏc định
+ Lập bảng biến thiờn
+ Từ bảng biến thiờn suy ra cỏc điểm cực trị
Hoạt động 5: Dựa và quy tắc I:
Yờu cầu Hs tỡm cực trị của cỏc hàm số sau:
y = x3 - 3x2 + 2 ;
1
3 3
2
x
x x
y
Định lí 2
Ta thừa nhận định lý sau:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai
trong khoảng K = (x0 – h; x0 + h), với h > 0 Khi đú:
+ Nừu f’(x) = 0, f''(x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu.
+ Nừu f’(x) = 0, f''(x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại.
từ ĐL trên suy ra các bước để tìm cực trị của hàm
số(quy tắc 2)
* Ta cú quy tắc II:
+ Tỡm tập xỏc định
+ Tớnh f’(x) Giải pt f’(x) = 0 Ký hiệu xi (i = 1,
2…) là cỏc nghiệm của nú (nếu cú)
+ Tớnh f’’(x) và f’’(xi)
+ Dựa vào dấu của f’’(x) suy ra tớnh chất cực trị
của điểm xi
Gv giới thiệu Vd 4, 5, SGK, trang 17) để Hs hiểu
được quy tắc vừa nờu
Dựa vào quy tắc Gv vừa nờu, Thảo luận nhúm
để tỡm cực trị: y = x3 - 3x2 + 2 ;
1
3 3
2
x
x x
y
- hiểu nội dung ĐL
- HS thảo luận nhóm rút ra các bước : (SGK)
+ thực hành tìm cực trị của hàm số theo quy tắc đã nêu
VD4,5,6 (SGK)
IV Củng cố:
+ Gv nhắc lại cỏc khỏi niệm và quy tắc trong bài để Hs khắc sõu kiến thức
+ Dặn BTVN: 1 6, SGK, trang 18
* rút kinh nghiệm qua tiết dạy
Trang 9
Tuần 2
I Mục tiêu:
- Kiến thức cơ bản: tìm cực đại, cực tiểu bằng các Quy tắc tỡm cực trị của hàm số
biết vận dụng Đl và ĐN để giải các bài tập khác
- Kỹ năng: biết cỏch xột dấu một nhị thức, tam thức, biết nhận xột khi nào hàm số đồng biến, nghịch biến, biết vận dụng quy tắc tỡm cực trị của hàm số vào giải một số bài toỏn đơn giản
- Thaựi ủoọ: tớch cực xõy dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sỏng tạo trong quỏ trỡnh tiếp cận tri thức mới
- Tử duy: hỡnh thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quỏ trỡnh suy nghĩ
II nội dung và tiến trình lên lớp
1 Kiểm tra bài cũ
- HS 1 phát biểu quy tắc 1 , áp dụng giải bai 2a
- HS2 phát biểu quytắc 2 , áp dụng giải bài 2b
2 Chữa bài tập
Bài 1 áp dụng dấu hiệu I, tìm các điểm cực trị
của các hàm số sau:
a y) 2x3 3x2 36x 10
b y x) 4 2x2 3
c y x) 1
x
e) y= x2 x1
Bài 2 áp dụng dấu hiệu II, tìm các điểm cực trị
của các hàm số sau:
a y x) 4 2x2 1
b y) sin 2x x
c) y= sinx +cosx
d) y= x5 - x3 - 2x + 1
Bài 3 Chứng minh rằng hàm số y 5 x4
không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực
đại tại điểm đó
Bài 4 Chứng minh rằng hàm số
Y= x3-mx2-2x +1
luôn luôn có một cự đại và một cực tiểu
Bài 1
e) hàm số đạt cực tiểu tại x=
2 1
yct= 2 3
bài 2
c)hàm số đạt cực đại tại các điẻm x= + k2
4
và đạt cực tiểu tại các điểm x= + (k2 +1)
4
Bài 4
y, = 3x2 -2mx -2
, =m2 +6 >0 với mọi m R nên PT y,= 0 luôn có
2 nghiệm phân biệt và y, đổi dấu qua các nghiêm
đó
Trang 10Bài 5 Tìm a và b để các cực trị của hàm số
đều là những số dơng
2 3 2
5
3
và 0 5 là điểm cực đại
9
Bài 6 Xác định m để hàm số
y
x m
đạt cực đại tại x = 2
Bài 5 GV hướng dẫn học sinh giải
Bài 6
Trang 11
Tuần 2
I Mục đích bài dạy:
- Kiến thức cơ bản: khỏi niệm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số, cỏch tớnh giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số trờn một đoạn
- Kỹ năng: biết cỏch nhận biết giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số, biết vận dụng quy tắc tỡm giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của hàm số trờn một đoạn để giải một số bài toỏn đơn giản
- Thái độ :cẩn thận
- Tư duy: logic
II Phương pháp :
- Thuyết trỡnh, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp
-Phương tiện dạy học: SGK
III Nội dung và tiến trình lên lớp:
I ĐỊNH NGHĨA:
Gv giới thiệu cho Hs định nghĩa sau:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x)
trên tập D nếu:
: :
x D f x M
x D f x M
Kí hiệu : max .
D
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
trên tập D nếu:
: :
x D f x M
x D f x M
Kí hiệu : min .
D
Gv giới thiệu Vd 1, SGK, trang 19) để Hs hiểu được định
nghĩa vừa nờu
II CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRấN MỘT ĐOẠN
Hoạt động 1:
Yờu cầu Hs xột tớnh đồng biến, nghịch biến và tớnh giỏ
trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của cỏc hàm số sau: y = x2
trờn đoạn [- 3; 0] và y = 1 trờn đoạn [3; 5]
1
x x
1/ Gv giới thiệu với Hs nội dung định lý sau:
“Mọi hàm số liờn tục trờn một đoạn đều cú giỏ trị lớn
nhất và giỏ trị nhỏ nhất trờn đoạn đú.”
Gv giới thiệu Vd 2, SGK, trang 20, 21) để Hs hiểu
được định lý vừa nờu
2/ Quy tắc tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của
hàm số liờn tục trờn một đoạn
Hoạt động 2:
Cho hàm số y =
Theo dõi và ghi nhận kiến thức
Thảo luận nhúm để xột tớnh đồng biến, nghịch biến và tớnh giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của cỏc hàm số sau: y = x2 trờn đoạn [- 3; 0] và y = 1 trờn đoạn [3; 5]
1
x x
Thảo luận nhúm để chỉ ra giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số trờn đoạn [- 2; 3] và nờu cỏch tớnh (Dựa vào đồ thị hỡnh