Thiết kế giáo án Đại số 8 - Bài 1 đến bài 9

- Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử Sử dụng các tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử một cách thức hợp nhằm làm xuất hiện dạn[r]

Chương I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC

Bài 1: PHÉP NHÂN ĐA THỨC

A Tóm tắt lý thuyết

I Nhân đơn thức với đa thức

- Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau

II Nhân đa thức với đa thức

- Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia, rồi cộng các tích với nhau

B Bài tập

I Nhân đơn thức với đa thức

Câu 1: Làm tính nhân









3

1 2 4

3x2 x3 x













4

3 3

8

4

c) 4x32x2 x5.5x

Câu 2: Thực hiện phép nhân, rút gọn biểu thức rồi tính giá trị tại x = và y = -2005

4

1

x y x y x yx x

x 3  2(  2) 2 3

Câu 3: Tìm x, biết

a) 4x(7x5)7x(4x2)12

b) 2(5x8)3(4x5)4(3x4)11

Câu 4: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

a) 10x5xx2 7x2x25x827x2

b) 4x3x56x2x338x5

II Nhân đa thức với đa thức

Bài 1 Thực hiện phép tính











5

1 2 5

b) x2 xy y2 x y

c) x1 x5 x4 x3 x2 x1

Bài 2 Tìm x, biết

a) x2 x1 x1x3 3x15

b)    









 







x

4

3 4 3 2

3

c) x2x3  x2x56

Bài 3 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

 5 3 18 1 8

3x x  x x 

Bài 4 Cho a + b + c = 0 So sánh M , N và P biết

) )(

(

) )(

(

) )(

(

b c

a

c

c

P

c b

a

b

b

N

c a b

a

a

M



















Bài 5:

a) Cho ba số tự nhiên liên tiếp Tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số sau là 50 Tìm ba số đó

b) Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tổng của các tích từng cặp hai trong ba số ấy bằng 107

III Một số bài tập nâng cao

Bài 1 Tìm giá trị của biểu thức A tại x = 2010

( Gợi ý: Xét quan hệ giữa x và 2011)

2011 2011

2011 2011

A

Bài 2 Tính giá trị của biểu thức B

( Gợi ý: Thay số bởi chữ số hợp lý )

297 3589

3 3589

7 297

2 3589

3588 3 297

1

7

3589

1









B

Bài 3 Cho biểu thức

2

) )(

( ) )(

( ) )(

2

1 2

1 2

1







Bài 2: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A Tóm tắt lý thuyết

Thực hiện phép nhân đa thức, ta được các hằng đẳng thức sau:

1 Bình phương của một tổng: AB2  A2 2ABB2=AB2 4AB

A A B B

3 Hiệu của hai bình phương: A2 B2 ABAB

4 Lập phương của tổng: AB3  A3 3A2B3AB2 B3  A3 B3 3ABAB

5 Lập phương của hiệu: AB3  A3 3A2B3AB2 B3  A3 B3 3ABAB

6 Tổng hai lập phương: A3B3 AB A2 ABB2

7 Hiệu hai lập phương: A3B3 AB A2 ABB2

B Bài tập

Bài 1 Rút gọn các biểu thức sau

a) 3x5 2  3x5 2  3x23x2

b) x23 xx2 6x58

c) x1 3  x2 x2 2x43x2 2x

d) 2x1 4x2 2x1 8x x2 15

1 4 3 3 3 1

2

f) 3x12 23x13x5  3x52

Bài 2 Nối cột A với B sao cho chúng tạo thành đẳng thức đúng

2 5x2y5x2y b x3 3x2y2 3xy4  y6



















 

4

1 2

1 2

x x

8

1

3 

x

2

5  23

y

6 3x y 9x2 3xyy2 f 25x2 20xy4y2

Bài 6 Tìm x, biết

a x2 2  x32 2x1x19

b x3 x2 3x9x3 2x

c x23 x3 6x2 7

d x3 x2 3x9xx22x1

e x1 3  x13 6x12 10

Bài 7 Chứng minh

b

b ab 2  ab2 4ab

c abc2 a2 b2 c2 2ab2bc2ac

d abc3 a3 b3 c3 3abbcac

e a3 b3 c3 3abcabc a2 b2 c2 abbcac

y x

y

g 999.991, 1.000.027,  là hợp số

2010 99

999 8

n

n

2

22

1

11

2



Bài 3 Tính giá trị biểu thức

2 2 105 215

47 63





2 2

2 2

463 537

363 437





c) 12 22 32 42  992 1002

d) 12 22 32 42  20102 20112

Bài 4 Viết biểu thức sau thành tổng của hai bình phương

a x2 4x5y2 2y

b 2x2  y2 2xy10x25

c 2x2 2y2

Bài 5 Tính nhanh

a 9782 222 978.44

b 9876543.987654598765442

Bài 8

a) Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn có giá trị dương với mọi giá trị của x

1 2

2

1

2 6

9

27 4 8

5 6

3

19 8

2

2

2

2

2

2

2









































x

x

F

x

x

E

x

x

D

y x y

x

C

x

x

B

x

x

A

b) Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn có giá trị âm với mọi giá trị của x

49 20

5

7 2

2

2

















x x

H

x

x

G

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau

  2 2

2

2

2

2

2 1

2

5 3

15 4

2

8

7 4































x x

N

x

x

M

x

x

L

x

x

K

x

x

I

d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứ sau

2

2

2

2

2

4

2

4

1 2

3

15 8

2

15 6

x

x

S

x x

R

x

x

Q

x

x

P

x

x

O



































Bài 9

a) Cho a và b, thỏa mãn a  b23và a.b132 Tính giá trị của biểu thức Aa2 b2

b) Cho x và y, thỏa mãn x  y 1 Tính giá trị của biểu thức Bx3 3xy y3

c) Cho m, n, p thỏa mãn mn p15và m2 n2  p2 77 Tính giá trị biểu thức C mnnpmp

d) Cho abc0 Chứng minh rằng a3 b3 c3 3abc

e) Cho abcd 0 Chứng minh rằng a3 b3 c3 d3 3cdabcd









































ac bc ab c

b a

c b a c

b a

ac bc ab c b a

3

3 2

2 2 2 2

2 2 2

g) Chứng minh rằng nếu abc0thì biểu thức

































2

2 2

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 4

4 4

c b a

ac bc ab

c a c b b a c

b a

h) Cho xy avà x.y b Tính x n  y n theo a và b với n2 ; 3 ; 4 ; 5

Chú ý:

* Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta cần

1 Chứng minh A m với m là hằng số

2 Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra

3 Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m

Ký hiệu GTNN của A là minA hoặc Amin

* Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A, ta cần

1 Chứng minh A n với n là hằng số

2 Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra

3 Kết luận : Gía trị lớn nhất của A là n

Bài 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A Tóm tắt lý thuyết

* Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức

* Để phân tích một đa thức thành nhân tử, ta thường dùng các phương pháp sau:

- Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Nếu các hạng tử của một đa thức có chung một nhân tử, ta có thể đặc nhân tử chung đó ra ngoài dấu ngoặc

B C F

A F A C

A B

A       

- Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Sử dụng các hằng đằng thức được viết dưới dạng sau đây giúp biến đổi một đa thức về dạng một tích các đa thức hoặc lũy thừa của một đa thức

 

 

  

 

 

   

   2 2

3 3

2 2

3 3

3 3

2 2

3

3 3

2 2

3

2 2

2 2

2

2 2

2

3 3

3 3

2 2

B AB A B A B A

B AB A B A B A

B A B AB B A A

B A B AB B A A

B A B A B A

B A B AB A

B A B AB A

































































- Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Sử dụng các tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử một cách thức hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung mới Từ đó giúp phân tích đa thức đã cho thành nhân tử

- Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Để phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta thường vận dụng linh hoạt các phương pháp cơ bản đã biết và thường tiến hành theo trình tự sau:

+ Đặt nhân tử chung

+ Dùng hằng đẳng thức

+ Nhóm các hạng tử một cách thích hợp

- Một số phương pháp khác

+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử

Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương Làm xuất hiện nhân tử chung

+ Phương pháp đổi biến

+ Phương pháp hệ số bất định

+ Phương pháp xét giá trị riêng

B Bài tập

I Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Bài 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a 15x30y20z

b x2 x3 9x2y

31

4

7

5x x  y y

Bài 2 Tính giá trị của biểu thức sau

a) A2x3xy2x3yz2x3zx với x = 1999, y = 1963, z = -897

b) Bxy2xyz  xyxzy2 x2 với x =1234,8 ; y = -0,357 và z = 2004

Bài 3 Tìm x, biết

a 8x2  x4 0

b 5xx3 7 x30

c 7xx2004x20040

d 2x2  x

Bài 4 Cho Ax2 3x Tìm x để A = 0; A > 0 ; A < 0 ;

Bài 5 Chứng minh rằng 5100 598 chia hết cho 13

Bài 6 Tìm m và n N, sao cho  2m 2n 1984

II Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Bài 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a x2 6xy2 9y4

b x6 y2 2x3y

c a4 b4

d x3 9x2y27xy2 27y3

e x3 3x2 3x1

f 8x327y3

g 64x6 27y6

Bài 2 Tìm x, biết

4

1

2  x

x

b x2  x10 250

c x3 3x2 3x10

d 5x3 3x2 3x123x3

Bài 3 Tính nhẩm

Bài 4 Chứng minh biểu thức  2  2 2 2  2 2 không phụ thuộc

1 3 1

3 5

3 2 5



P

vào giá trị của biến

Bài 5 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng : 4b2c2 b2 c2 a22 0

III Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử

Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a x2 3xyx3y

b 7x2 2xy4x4y

c x2 6x y2 9

d x2 y2 z2 9t2 2xy6zt

e x4 3x3 9x27

f x4 3x3 9x9

g x3 3x2 3x18y3

Bài 2 Tìm x, biết

a xx25x100

b x3 5x2 4x200

Bài 3 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng a2 b2 c2 2bc0

IV Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Bài 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a 5x2 45x

b 7x3y14x2y7xy

c 16x4y2 2xy5

d a2bc2dab2cd2 a2bcd2 ab2c2d

e x2  x7 10

f x2  x6 5

g 3x2  x7 6

h 10x2 29x10

i x4 4

k x4  x2 1

Bài 2 Tìm x, biết

a x3  x 0

b 2x3 12x2 18x0

c 3x12 4x32 0

d x3 5x2 4x200

Bài 3 Chứng minh rằng x3 x2  2x2 2x chia hết cho 6

Bài 4 Với x 2 Chứng minh rằng  x3 4x2 3x180

V Một số phương pháp khác: Chuyên đề : Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 4: CHIA ĐA THỨC

A Lý thuyết

I Chia đơn thức cho đơn thức

- Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của

nó trong A

- Quy tắc:

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B, ta làm như sau:

+ Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B

+ Chia lũy thức của từng biến trong A cho lũy thừa của từng biến trong B

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau

II Chia đa thức cho đơn thức

- Quy tắc:

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B, ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau

III Chia đa thức một biến đã sắp xếp

- Phép chia hai đa thức đã sắp xếp được thực hiện tương tự như phép chia hai số tự nhiên

- Người ta chứng minh được rằng, với hai đa thức tùy ý A và B của một biến B0, tồn tại duy nhất một cặp

đa thức Q và R sao cho A B QR

Trong đó : Bậc của R thấp hơn bậc của B

R = 0  Phép chia A cho B là phép chia hết

B Bài tập

I Chia đơn thức cho đơn thức

Bài 1 Làm tính chia

a x280: x 170





















 x9y8z x6y7z

10

3 : 5

4





















5

3 : 2

1

Bài 2 Tìm m, n, p N , biết rằng 27x m 5y n 1z p : 9xy6z23x14y5

Bài 3

a CMR biểu thức sau không âm với mọi giá trị của biến

 15x3y6 : 5xy2

b CMR giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

 1 1

2 3

1 :

3











B

II Chia đa thức cho đơn thức

Bài 1 Không làm tính chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đơn thức B không ?

2 2

3 3

4

2

10 2

8

xy B

y x y

x y

x

A









b 3

3 4

20

5

6 5

7

x B

x y x x

A









Bài 2 Làm tính chia

a/ 15x4 20x3 10x2 : 5x2















4

1 : 4 5

: 2

6

Bài 3 Thực hiện phép tình rồi tìm GTNN của biểu thức

9xy2 6x2y: 3xy 6x2y 2x4  : 2x2

Bài 4 Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đa thức B

n

n

y

x

B

y x y

x

A

2

4 3 5

1

5

5 7





III Chia đa thức cho đa thức

Bài 1 Thực hiện phép tính

a/ x312x5x2 7:x3

b/ 3x4 2x3 2x2 4x8 : x2 2

c/ x37x6:x3

Bài 2 Cho A và B là hai đa thức Hãy chia A cho B rồi viết dưới dạng A = B.Q + R

2

5 7 2

4

2

3

4













x

B

x x

x

A

Bài 3 Tính nhanh

a/ 9x2 25y2:3x5y

b/ x38 : x2 2x4

Bài 4 Xác định hằng số a sao cho

a/ 4x2  6xa chia hết cho x3

b/ x3  ax2 4 chia hết cho x2  x4 4

c/ ax5  x5 4 9chia hết cho x1

d/ 2x2  ax1 chia cho x – 3 dư 4

Bài 5 Xác định hằng số a và b, sao cho

a/ x4 axb chia hết cho x2 4

b/ x4 ax3 bx1 chia hết cho x2 1

c/ x3 axbchia hết cho x2  x2 2

d/ x4 4 chia hết cho x2 axb

e/ ax3 bx2 5x50chia hết cho x2  x3 10

Bài 6 Tìm các hằng số a và b sao cho x3 axbchia cho x + 1 thì dư 7, chia cho x – 3 thì dư -5