¼ khi điểm cuối M nằm ở các góc phần tư khác - Xác định được dấu của các gtlg của cung AM nhau - Vận dụng được các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản giữa các gtlg của một góc để tính toán[r]
Trang 1Giá trị lượng giác của một cung
Tuần 30 31:
Tiết 55 + 56 :
Ngày soạn : 02/04/2008
I Mục tiêu:
1 Về kiến thức:
- Hiểu khái niệm gtlg của 1 góc (cung ); bảng gtlg của 1 số góc thường gặp
- Hiểu được hệ thức cơ bản giữa các gtlg của 1 góc
- Biết quan hệ giữa các gtlg của các góc có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém nhau góc p
- Biết ý nghĩa hình học của tan và cot
2 Về kĩ năng:
- Xác định được gtlg của 1 góc khi biết sđ của góc đó
- Xác định được dấu của các gtlg của cung AM¼ khi điểm cuối M nằm ở các góc phần tư khác nhau
- Vận dụng được các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản giữa các gtlg của một góc để tính toán, chứng minh các hệ thức đơn giản
- Vận dụng được các công thức giữa các gtlg của các góc có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém nhau góc vào việc tính gtlg của góc bất kỳ hoặc chứng minh các đẳng thức.p
3 Về tư duy, thái độ: Biết quy lạ về quen; cẩn thận, chính xác
II Chuẩn bị phương tiện dạy học:
1 Thực tiễn: Hs đã biết gtlg của 1 góc với 0 a £ a £ 1800 , sđ của 1 cung lượng giác,
2 Phương tiện:
+ GV: Chuẩn bị các bảng phụ kết quả mỗi hoạt động, SGK, thước, compa, máy tính bỏ túi, + HS: Đọc bài trước ở nhà, SGK, thước, compa, máy tính bỏ túi,
III Gợi ý về PPDH: Cơ bản dùng PP gợi mở, vấn đáp thông qua các HĐ điều khiển tư duy
IV Tiến trình bài học và các hoạt động:
1 Ổn định lớp:
2 Kiểm tra bài cũ:
- Công thức sđ của các cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối B ( theo 2 đơn vị)? Công thức độ dài của cung tròn ?
- Một đường tròn có bán kính 15cm.Tìm độ dài các cung trên đường tròn có sđ 250 ? ĐS: 6,55 cm
- Trên đường tròn lượng, hãy biểu diễn các cung có sđ tương ứng là -17 ?
4 p
3 Bài mới:
Nội dung, mục đích Hoạt động của GV Hoạt động của HS
Tiết 55
I Giá trị lượng giác của cung a
HĐ1: Hình thành định nghĩa gtlg của cung a
và rèn luyện kỹ năng tính gtlg của cung a
1 Định nghĩa
*Trên đường tròn lượng giác cho cung AM¼
có sđAM¼ = a
+ Tung độ y = OK của điểm M gọi là sin
của a và kí hiệu là sina
+ Hoành độ x = OH của điểm M gọi là côsin
của a và kí hiệu là cosa
+ Nếu cos 0, tỉ số a ¹ sin gọi là tang của
cos
a a
và kí hiệu là tan ( hoặc tg )
* HĐ1 SGK: Nhắc lại khái
niệm gtlg của góc (0 a £
1800)
a £
* Ta có thể mở rộng khái niệm gtlg cho các cung và góc lượng giác
* Với mỗi góc a ( 00
) ta xđ 1 điểm 0
180
a
trên nửa đường tròn đơn
vị sao cho ·xOM= a và giả sử điểm M có tọa độ
M(x0;y0) Khi đó ta có đn : sin = ya 0; cos = xa 0; tan = a 0 (x0 0);
0
y
cot = a 0 (y0 0)
0 y
Trang 2+ Nếu sin 0, tỉ số a ¹ cos gọi là côtang
sin
a a
của và kí hiệu là a cota ( hoặc cotga)
Vậy:
sina = OK
cos = a OH
tan = a sin
cos
a a
cot = a cos
sin
a a
* Các giá trị sin , cos , tan , cot đgl a a a a
các giá trị lượng giác của cung a
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục
hoành là trục côsin.
* Chú ý:
+ Các định định nghĩa trên cũng áp dụng
cho các góc lượng giác
+ Nếu 0 £ a £ 1800 thì các giá trị lượng
giác của góc chính là các gtlg của góc đó a
đã nêu trong SGK Hình học 10
VD: ( HĐ2 ) Tính sin25 , cos(-2400),
4
p
tan(-4050)
Giải
* Điểm cuối của cung là điểm chính
4
25
giữa M của cung nhỏ »AB
Có OK = 2 Vậy sin =
2
25 4
2
* Điểm cuối của cung -2400 là điểm M của
cung nhỏ A'B¼ thỏa A'M¼ 2A'B¼
3
= Có OH = - Vậy cos(-2401 0) =
-2
1 2
* Điểm cuối của cung -4050 là điểm chính
giữa M của cung nhỏ B'A¼
Có OK = - 2 , =
2 2 Vậy tan(-4050) = -1
* GV giảng
* Để tính các gtlg của cung ta cần tìm gì ?a
+ Xđ điểm cuối M của cung
+ Tìm tọa độ của M GTLG
Þ
* Hs nghe, hiểu
* Tọa độ điểm cuối M của cung AM¼ có sđ a
* Nghe hướng dẫn
* Hs thực hành
HĐ2: Giới thiệu hệ quả của gtlg của cung a
và gtlg của các cung đặc biệt
2 Hệ quả
1) sin và cos xác định với mọi R a a a Ỵ
Ta có:
sin( + k2 ) = sin , a p a " Ỵk Z
cos( + k2 ) = cos , a p a " Ỵk Z
2) -1 sin £ a £ 1 , -1 cos£ a £ 1
3) "m RỴ mà -1 m 1 đều £ £ $ a b, :
sin = m và cos = ma b
* Dựa vào đtlg ss sin( + k2 ) và sin a p a
cos( + k2 ) và cos ?a p a
* Gt của sin và cos ?a a
Vì -1 £ OK 1; £
-1 £ OH 1 £
* Gv diễn giải tc 3)
* Tan xđ khi thỏa đk a a
* Bằng nhau vì có cùng điểm cuối M
* -1 sin £ a £ 1 , -1 cos£ a £ 1
* Hs nghe hiểu
Lop10.com
Trang 34) tan xác định a k (k Z)
2
p
" ¹ + Ỵ 5) cot xác định a "a¹ kp (k Z)Ỵ
6) Dấu của các gtlg của góc phụ thuộc a
vào vị trí điểm cuối của cung AM¼ = trên a
đường tròn lượng giác
Bảng xác định dấu của các gtlg
-3 Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
2
3
2
2 2
1
gì ?
* Tương tự cho cota
* Gv diễn giải tc 6)
Dán bảng phụ
* Dán bảng phụ và chỉ hs cách nhớ
2
p
" ¹ + Ỵ
* "a¹ kp (k Z)Ỵ
* Hs nghe hiểu
Hs phát biểu
* Hs ghi nhớ
II Ý nghĩa hình học của tan và cot
HĐ3: Giới thiệu ý nghĩa hình học của tan và
cot
1 Ý nghĩa hình học của tana
* Từ A vẽ tiếp tuyến t'At với đường tròn
lượng giác Ta coi tiếp tuyến này là một trục
số bằng cách chọn gốc A và vectơ đơn vị
i OB=
r uuur
Cho cung lượng giác AM¼ có số đo là (a a
+k ) Gọi T là giao điểm của OM với
2
p
trục t'At
+ Giả sử T không trùng với A Vì MH // AT,
Vì HM sin ,OH cos= a = a và OA 1=
(1) tan = Þ a sin =
cos
a a
OH = OA= + Khi T trùng A thì = k và tan = 0.a p a
* Vậy: tan = a AT
tan được biểu diễn bởi độ dài đại số của a
vectơ ATuuur trên trục t'At Trục t'At đgl trục
tang.
2 Ý nghĩa hình học của cota
* HĐ3 SGK: Từ định nghĩa
của sin và cos , hãy a a
phát biểu ý nghĩa hình học của chúng
* Gv vẽ hình và diễn giải
* OAT và OHM là 2 D D
gì ? Ta có tỉ lệ thức nào D
?
* Gv kết luận
* Gv dán bảng phụ TH2
* sin được biểu diễn bởi a
độ dài củaOKuuur trên trục Oy; cos được biểu diễn a
bởi độ dài củaOHuuur trên trục Ox
* Quan sát hình vẽ và nghe, hiểu
* 2 đồng dạngD
* Hs nghe, hiểu
* Quan sát GTLG Phần tư
Trang 4* Từ B vẽ tiếp tuyến s'Bs với đường tròn
lượng giác và xác định trên tiếp tuyến này
một trục có gốc tại B và vectơ đơn vị bằng
OAuuur
Cho cung lượng giác AM¼ có số đo làa
( a ¹ kp)
Gọi S là giao điểm của OM và trục s'Bs
* Tương tự, ta có: cot = a BS
cot được biểu diễn bởi độ dài đại số của a
vectơ BS trên trục s'As Trục s'As đgl trục
côtang.
Chú ý: tan( + k ) = tan , a p a " Ỵk Z
cot( + k ) = cot , a p a " Ỵk Z
* Gọi hs kết luận
* HĐ4 SGK: Từ ý nghĩa
hình học của tan và cota
, hãy suy ra với mọi số
a
nguyên k:
tan( + k ) = tana p a
cot( + k ) = cota p a
* cot được biểu diễn bởi a
độ dài đại số của vectơ trên trục s'As
BS
* Từ hình vẽ, ta có điểm cuối của cung có sđ và a
( + k ) đx nhau qua a p
tâm O và chúng cùng cắt nhau tại T ( hoặc S) trên trục t'At ( hoặc s'Bs) nên tan( + k ) = tana p a
cot( + k ) = cota p a
Tiết 56
III Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
HĐ1: Giới thiệu các hđt và áp dụng
1 Công thức lượng giác cơ bản
Đối với các gtlg, ta có các hằng đẳng thức
sau
sin2a + cos2a= 1
1 + tan2a = 12 +k , k Z
p
1 + cot2a = 12 , , k Z
sin a a ¹ kp Ỵ tan cota a = 1, k ,k Z
2
p
2 Ví dụ áp dụng
* VD1: Cho sin = , với < < Tính a 3
p
cosa
Giải
Ta có sin2a + cos2a= 1
cos2 = 1 - sin2
= 1 - 9 =
25
16 25 cos =
5
±
Vì < < nên cos < 0
2
p
Vậy cos = - a 4
5
* VD2: Cho tan = - , với a 4
5
2
p
< <
Tính sin và cosa a
Giải
* sin2 + cosa 2a = ? Dán bảng phụ ct Þ
tan = ?, cot = ?a a
* HĐ5 SGK: Hãy cm các
hđt còn lại
* Gv cho vd
* Ta sd ct nào để tính ?
* Gv hd và gọi hs tính
* < < nên điểm 2
p
ngọn của cung có sđ a
nằm ở góc phần tư nào ?
* Gv cho vd
* Ta sd ct nào để tính ?
* Gv hd và gọi hs tính
* sin2a + cos2a
= OK2 + OH2 = OM2 = 1
* Hs ghi nhận kiến thức tan =a sin ,cot =
cos
a
cos sin
a a
* Hs cm
1 + tan2a = 1 +( sin )2
cos
a a
= cos2 2sin2 = cos
a
+
2
1 cos a
Ct thứ 3) cm tương tự ct 2)
tan cota a = sin
cos
a a
cos sin
a a
= 1
* Hs tìm hiểu đề
* sin2a + cos2a= 1
* Hs tính
* Góc phần tư thứ 2
* Hs tìm hiểu đề
* 1 + tan2a = 12
cos a
Lop10.com
Trang 5Ta có 1 + tan2a = 12
cos a
cos2 =
1 tan+ a
= 116 25
41 1
25
= +
41
±
Vì 3 2 nên cos > 0
2
p
Vậy cos = a 5
41 sin = tan cos = - a a a 4 =
-5
5 41
4 41
* VD3: Cho k ,k Z
2
p
Chứng minh rằng cos 3sin tan3 +
cos
a
+
tan2a + tan + 1a
CM
Vì k ,k Z nên cos 0
2
p
Ta có:
VT = cos 3sin
cos
a
+
= 12 cos sin
+
= (1 + tan2a)(1 + tan ) a
= tan3a + tan2a + tan + 1a
= VP
* 3 2 nên điểm 2
p
< <
ngọn của cung có sđ a
nằm ở góc phần tư nào ?
* Tính sin theo ct nào ?a
* Nêu cách cm hệ thức ?
* Gọi hs cm
* Hs tính
* Góc phần tư thứ 4
* tan = a sin
cos
a a
* Có 3 cách: VP = = VT
VP = A, VT = A
VP =VT Þ
Biến đổi tương đương
* Hs phát biểu như cột nd
HĐ2: Giới thiệu các giá trị lượng giác của
các cung có liên quan đặc biệt và áp dụng
3 Giá trị lượng giác của các cung có liên
quan đặc biệt
a Cung đối nhau và a -a
b Cung bù nhau và a p-a
c Cung hơn kém : và p a p+a
* GV dán bảng phụ
* Các điểm cuối của 2 cung = a AM¼ và - = a
ntn với nhau ? Tọa
¼ AM' độ của chúng ntn ?
* Gọi hs phát biểu ct gtlg của 2 cung đối nhau
* Hai cung như thế nào gl bù nhau
* Các điểm cuối của 2 cung = a AM¼ và - = p a
ntn với nhau ? Tọa
¼ AM' độ của chúng ntn ?
* Gọi hs phát biểu ct gtlg của 2 cung bù nhau
* Các điểm cuối của 2 cung = a AM¼ và + = p a
ntn với nhau ? Tọa
¼ AM' độ của chúng ntn ?
* Quan sát hình vẽ
* Đối xứng nhau qua trục
Ox Có hoành độ bằng, tung độ đối nhau
* Hs phát biểu
* Tổng số đo bằng p
* Đối xứng nhau qua trục
Oy Có tung độ bằng, hoành độ đối nhau
* Hs phát biểu
* Đối xứng nhau qua gốc tọa độ O Có tung độ, hoành độ đối nhau
cos(- ) = cosa a
sin(- ) =a - sina
tan(- ) = a - tana
cot(- ) = a - cota
sin( - ) = sinp a a
cos( - ) = p a - cos a
tan( - ) = p a - tana
cot( - ) = p a - cota
sin( + ) = p a - sina
cos( + ) = p a - cos a
Trang 6d Cung phụ nhau và (a )
2
p a
-VD: (HĐ6) Tính cos 11 , tan ,
4
p
31 6
p
sin(-13800)
Giải
* cos 11 = cos
4
p
= cos 3
4
p
ỉ ư÷
= cos 3
4
p
= cos 4
= - cos
4
p
ỉ ư÷ ç- ÷
çè ø = - cos
4
p
= - 2
2
* tan31 = tan
6
= tan
6
p
= 3
3
* sin(-13800) = sin (- 14400 + 600)
= sin600
= 3
2
* Gọi hs phát biểu ct gtlg của 2 cung bù nhau
* Hai cung như thế nào gl phụ nhau
* Các điểm cuối của 2 cung = a AM¼ và =
2
p a
ntn với nhau ? Tọa
¼ AM' độ của chúng ntn ?
* Gọi hs phát biểu ct gtlg của 2 cung phụ nhau
* Xem hđ6 sgk
* Vận dụng các ct trên, kq hđ4 và hq để tính các gtlg này
* Gọi hs thực hành
-8 = - 2 Áp dụng hq 4
p
p Þ Áp dụng cung đối
Áp dụng cung hơn kém p
Áp dụng cung đối
= 5
30 6
p p
Áp dụng kq hđ4 Þ
- 14400 = - 4.3600
Áp dụng hq Þ
* Hs phát biểu
* Tổng số đo bằng
2
p
* Đx nhau qua đường phân giác thứ nhất y = x Có hoành độ điểm này là tung độ điểm kia và ngược lại
* Tìm hiểu đề
* Nghe, hiểu
* Hs ll biến đổi
4 Củng cố: Cần nắm cách
- Xác định được gtlg của 1 góc khi biết sđ của góc đó
- Xác định được dấu của các gtlg của cung AM¼ khi điểm cuối M nằm ở các góc phần tư khác nhau
- Vận dụng được các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản giữa các gtlg của một góc để tính toán, chứng minh các hệ thức đơn giản
sin( ) = cos
2
p
a
cos( ) = sin
2
p
a
tan( ) = cot
2
p
a
cot( ) = tan
2
p
a
Lop10.com
Trang 7- Vận dụng được các công thức giữa các gtlg của các góc có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đối nhau, hơn kém nhau góc vào việc tính gtlg của góc bất kỳ hoặc chứng minh các đẳng thức.p