Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B đến mpSAC.. Hãy tính toạ độ các điểm C, D.[r]
Trang 1SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT PHÚC THÀNH
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn thi: TOÁN Khối A, B, D
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu I (2.0 điểm)
Cho hàm số y x 33mx2 4m3 (m là tham số) có đồ thị là (C m)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2 Xác định m để (C m) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng y = x.
Câu II (2.0 điểm )
1 Giải phương trình: 32 4 2sin 2 2 3 2(cot 1)
sin 2 cos
x
x x
x
Câu III (1.0 điểm ) Tính tích phân
6
0
tan( )
4 cos2x
x
Câu IV (1.0 điểm)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh 3 ; các cạnh còn lại đều bằng a
2
a
SA
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B đến mp(SAC).
Câu V (2.0 điểm)
1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần
lượt có phương trình:
(P): 2x y 2z 2 = 0; (d): 1 2
x y z
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 8
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có A( 0 ; 2), B( 4 ; 5) và
giao điểm của hai đường chéo thuộc đường thẳng (d) có phương trình x – y – 1 = 0 Hãy tính toạ độ các điểm C, D
Câu VI (2.0 điểm)
1 Thực hiện phép tính (1 )20112010 ( trong đó )
(1 )
i i
i
2 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1
P
o0o
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: SBD:
Trang 2Câu Nội dung Điểm
1 Khi m = 1, hàm số có dạng: y = x3 3x2 + 4
+ TXĐ: R
+ Sự biến thiên: y’ = 3x2 6x = 0 x = 0 hoặc x = 2
Hàm số đồng biến trên: (; 0) và (2; +)
Hàm số nghich biến trên: (0; 2)
Hàm số đạt CĐ tại xCĐ = 0, yCĐ = 4; đạt CT tại xCT = 2, yCT = 0
y” = 6x 6 = 0 x = 1
Đồ thị hàm số lồi trên (; 1), lõm trên (1; +) Điểm uốn (1; 2)
0.25
Giới hạn và tiệm cận: lim lim 3 1 3 43
LËp BBT:
0.25
§å thÞ:
0.25
2/ Ta có: y’ = 3x2 6mx = 0 0
2
x
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m 0.
0.25
I
Giả sử hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) AB(2 ; 4m m3)
Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với
đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x 0.25
0
x
∞
y’
y
0
x
y
O
Trang 33 3
2
Giải ra ta có: 2; m = 0
2
Kết hợp với điều kiện ta có: 2
2
m
2/ Đk:
2
x k
0.25
Phương trình đã cho tương đương với:
2
2 2
4
sin 2 2(sin cos )
sin cos
tg tg
x
0.25
3
3 1
tg
tg
x
0.25
KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : ; kZ
x k
0.25
2/
3 3 2 0 (1)
Điều kiện:
2 2
y
y y
0.25
Đặt t = x + 1 t[0; 2]; ta có (1) t3 3t2 = y3 3y2 0.25
Hàm số f(u) = u3 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:
(1) t = y y = x + 1 (2) x2 2 1x2 m 0 0.25
II
Đặt v 1x2 v[0; 1] (2) v2 + 2v 1 = m.
Hàm số g(v) = v2 + 2v 1 đạt
min ( ) 1; m ( ) 2
[ ] g v ax[ ] g v Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 m 2
0.25
III Tính tích phân 6
0
tan( )
4 os2x
x
c
Trang 4
2
2
4
2
1
cos
x
1
x t x t
0.25
0.25
1
1 3
3 2
0 0
dt I
Vậy 1 3
2
( Không có hình, hoặc hình vẽ sai không chấm điểm)
Gọi M là trung điểm của BC thì SM BC AM, BC Suy ra tam giác SMA đều
vì có các cạnh bằng 3 Diện tích tam giác SMA bằng
2
16
Ta có
IV
Gọi N là trung điểm của SA Ta có CN SA 13( vì tam giác CAN
4
a CN
vuông tại N) 1 . 1 3. 13 2 39
SCA
S SA CN
0.25
Ta có 3 3 1 . ( ,( )) 1 2 39. ( ,( )) Suy ra:
13
B SAC
a
Đường thẳng () có phương trình tham số là: 1 2 ;
2
Gọi tâm mặt cầu là I Giả sử I (t; 1 + 2t; 2+ t)()
0.25
V
Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 nên: 0.25
Trang 5
| 2 1 2 4 2 2 | | 6 5 |
3 7 3
t t
Có hai tâm mặt cầu: 2 1 8; ; 7; 17; 1
Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có chu vi bằng 8 => r = 4 nên
mặt cầu có bán kính là R = 5.
0.25
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
0.25
Có IA ( ;3x x), IB (4 x;6 x)
0.25
Do IA vuông góc với IB 0 9; 2.
2
0.25
Ta được hai nghiệm : C1 ( 9 ; 5 ), D1 ( 5; 2 ) và C2 ( 4 ; 0 ), D2 ( 0 ; - 3) 02.5
Ta có
2010 2011
2010
(1 ).
i
Mà : 1 (1 )2 1 2 1
i
Suy ra
2010 2011
2010
(1 ) (1 ) ( ) (1 ) 1
Vậy
2011 2010
(1 )
1 (1 )
i
i i
2/ Ta có: (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 1 9 (phải cm)
P
2 y 2 z 2
3 6
VI
Vậy GTNN là Pmin = khi 3
Chú ý: Nếu thí làm cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa !