Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình

Với mười năm làm nghề dạy học tôi đã may mắn được tham gia giảng dạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học và ôn thi học sinh giỏi tôi thấy có một số vấn đề cần phải giải quyết: Một là: Viếc [r]

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

Trên thực tế học sinh THPT đã được học rất nhiều dạng toán về PT,

BPT và hệ PT cụ thể là : Lớp 10 có PT, BPT, hệ PT quy về bậc hai, chứa ẩn

dưới dấu căn và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối Lớp 11 có PT lượng giác

Lớp 12 có PT, BPT, hệ PT mũ và logarit Trong đó có khá nhiều dạng bài toán

cần phải thực hiện phương pháp đặt ẩn phụ khi tiến hành lời giải và hầu hết đó

là các bài toán không chứa tham số Tuy nhiên trong các đề thi tuyển sinh Đại

học và đề thi học sinh giỏi thường có các bài toàn đề cập đến PT, BPT chứa

tham số hoặc tìm GTLN, GTNN mà khi tiến hành lời giải thì phải đặt ẩn phụ và

tìm ĐK của ẩn phụ

Với mười năm làm nghề dạy học tôi đã may mắn được tham gia giảng

dạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học và ôn thi học sinh giỏi tôi thấy có một số

vấn đề cần phải giải quyết:

Một là: Viếc biến đổi PT, BPT hoặc đặt ẩn phụ để quy PT đã cho về các

PT bậc cao thì học sinh được giải quyết khá nhiều ở lớp 10 và lớp 11, nhưng

khảo sát hàm số bằng cách ứng dụng đạo hàm thì đến lớp 12 mới được học nên

khi làm bài cần phải kết hợp hai việc trên với nhau thì học sinh rất lúng túng

nên lời giải nhiều khi không chặt chẽ

Hai là: Khi học sinh làm bài tập về PT, BPT hoặc tìm GTLN, GTNN

của biểu thức có ĐK mà trong lời giải có bước đặt ẩn phụ thì tôi thấy nhiều học

sinh mắc phải một trong những sai lầm: hoặc là đặt ẩn phụ mà không nghĩ đến

tìm ĐK của ẩn phụ hoặc tìm sai ĐK của nó, hoặc đã tìm chính xác ĐK của ẩn

phụ nhưng khi lập luận trên PT, BPT theo ẩn phụ thì lại không xét trên ĐK ràng

buộc của nó nên dẫn đến kết luận không chính xác

Ba là: Từ năm 2006 sách giáo khoa không nói đến định lý đảo về dấu

tam thức bậc hai, trong khi đó sách tham khảo suất bản trước đó có rất nhiều bài

toán sử dụng định lý đó để thực hiện việc so sánh các nghiệm của một tam thức

bậc với các số cho trước nên học sinh đọc sách rất hoang mang Do đó người

giáo viên phải định hướng cho học sinh biến đổi về bài toán sử dụng đạo hàm

để khảo sát hàm số nếu là tình huống không thể giải quyết đơn thuần theo kiểu

tính biệt thức đenta

Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài:

Ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để tìm tham số trong bài

toán phương trình, bất phương trình

2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:

Một là: Làm sáng tỏ sự liên hệ giữa số nghiệm của PT một ẩn với số

giao điểm của hai hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của PT đó, nghiệm của PT

chính là hoành độ các giao điểm nghĩa là từ các giao điểm mà chiếu vuông góc

lên trục hoành ta sẽ tìm được các nghiệm tương ứng

Hai là: Trong khi giải quyết các bài toán về PT, BPT hoặc bài toán tìm

GTLN , GTNN của một biểu thức có ĐK mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thì

việc tìm ĐK của ản phụ là rất cần thiết, việc tìm ĐK của ẩn phụ thực ra là tìm

tạp giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bài toán đã cho Sau khi tìm được

ĐK của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phải

được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên ĐK của nó

Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các

em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về bài toán PT, BPT có tham số

hoặc bài toán tìm GTLN, GTNN có liên quan đến phép đặt ẩn phụ

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải

nghiên cứu trên các dạng toán về PT, BPT và các bài toán tìm GTLN, GTNN

đặc biệt là các bài toán về PT, BPT chứa tham số và trong lời giải có việc đặt

phụ

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải

tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần: PT, BPT, hệ PT

quy về bậc cao một ẩn PT, BPT chứa ản dưới dấu căn bậc hai và chứa ẩn dưới

dấu giá trị tuyệt đối PT lượng giác PT, BPT mũ và logarit

4 Kế hoạch nghiên cứu

Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần

cơ sở thực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tôi đã cho các em học sinh từ lớp 10

làm các bài toán về PT, BPT quy về bậc hai, PT, BPT chứa ẩn dưới dấu căn bậc

hai có liên quan đến tham số và đặt ẩn phụ Các em học sinh lớp 11 làm các bài

toán về PT lượng giác có liên quan đến tham số, bài toán tìm GTLN, GTNN của

biểu thưc lượng giác nói trung là đều phải đặt ẩn phụ Khi đó học sinh có thể

làm được các bài toán mà sau khi đặt ẩn phụ quy về PT bậc hai có thể tính toán

đơn thuần thông qua biệt thức đenta hoặc sau khi biến đổi cô lập tham số ta

được một vế là hàm số bậc hai đối với ẩn phụ, nhưng nhiều em vẫn làm không

chính xác do không để ý tìm ĐK của ẩn phụ hoặc có tìm ĐK của ẩn phụ nhưng

tìm không chính xác

Với các bài toán có tham số mà sau khi đặt ẩn phụ lại quy về PT, BPT

có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bạc bốn hoặc hàm số phân thức thì học sinh

không thể giải được vì khi đó các em chưa được học khảo sát các loại hàm số

này

Các vướng mắc nói trên sẽ được giải quyết toàn diện khi học sinh đã

học về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số Do đó từ đầu năm học 2009

– 2010 tôi đã nghiên cứu đề tài nói trên thông qua một số tiết tự chon nâng cao

tại hai lớp 12A4, 12A6 và từ đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận

a) Tìm số nghiệm của phương trình

Xét PT f x( ) g m( ), (1) Trong đó là ẩn thực và là tham số thựcx m

- Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x( )( có thể

nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thông qua BBT của nó ) và đường thẳng

là đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng ( )

( )

g m

- các nghiệm x x1, , ,2 xn của PT (1) chính là hoành độ của các giao điểm

b) Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số

* Từ việc lập BBT của hàm số f x( ) trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy

những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là

GTLN ( GTNN ) của hàm số

* Nếu hàm số f x( ) xác định và liên tục trên đoạn  a b; thì ta có thể tìm

GTLN và GTNN theo các bước sau :

- Tìm các điểm x x1, , ,2 xn trên đoạn  a b; mà tại đó f x'( )bằng 0 hoặc

không xác định

f x

- Tính các giá trị f a f b f x( ), ( ), ( ), ( ), , ( )1 f x2 f x n

- Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là GTLN (GTNN ) của hàm số

trên đoạn

( )

c) Tìm tham số trong bài toán bất phương trình

Nếu hàm số f x( )có GTLN và GTNN trên tập xác định khi đóD

BPT : f x( )g m( ) thỏa mãn  x D khi và chỉ khi min ( ) ( )

f x( )g m( ) thỏa mãn  x D khi và chỉ khi max ( ) ( )

f x( )g m( ) có nghiệm x D khi và chỉ khi ax ( ) ( )

D

f x( )g m( ) có nghiệm x D khi và chỉ khi min ( ) ( )

Trong trường hợp hàm số f x( ) không có GTLN hoặc GTNN trên tập ta D

phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp

2 Thực trạng của vấn đề

Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như sau:

Trong đợt ôn tập hè năm 2009 cho các em học sinh lớp 11 chuẩn bị lên lớp

12 trong phần ôn tập môn toán có một số tiết ôn tập về phần PT, BPT đã học ở

lớp 10 và lớp 11 tôi đã cho học sinh làm một số bài về PT, BPT có chứa tham

số và có phải thực hiện việc đặt ẩn phụ và dặn các em về ôn tập thêm để đến

đầu năm học lớp 12 tôi cho học sinh lớp 12A4 và 12A6 làm bài kiểm tra khảo

sát 55 phút trong giờ tự chọn nâng cao với đề kiểm tra như sau:

Câu I ( 3 điểm ) Tìm tham số để PT sau có nghiệm duy nhất:m

(1)

0, 1

x



Câu II ( 3 điểm ) Tìm GTLN và GTNN của hàm số

os 4 2 os 2 2 2

Câu III ( 4 điểm ) Cho PT: sinx 2 sin 2x sinx 2 sin 2x m , (2)

1 Giải PT (2) khi m3

2 Tìm tham số để PT (2) có nghiệmm

Kết quả thu được với các mức điểm được tính tỉ lệ phần trăm như sau:

Điểm

Lớp 1 – 2,5 3 – 4,5 5 – 6,5 7 – 8,5 9 – 10

Lớp 12A4

( 55 HS ) 11% 27% 42% 16,5% 3,5%

Lớp 12A6

( 55 HS ) 18% 36% 35% 11% 0%

Để phân tích lý do có kết quả thấp như trên tôi xin trình bày một lời giải đúng:

Câu I

ĐK x1; PT (1)  x2 4x 3 2m 0 x2 4x 3 2 ,m (1a)

PT (1) có nghiệm duy nhất  PT (1a) có đúng một nghiệm thỏa mãn x 1 tức

là đường thẳng y2m cắt đồ thị hàm số y f x( )x2 4x3 tại đúng một

điểm trên khoảng 1;

f x( ) là hàm số bậc hai có hệ số dương nên có bảng biến thiên sau:a

x

( )

f x

1 2 +

0

-1



Từ BBT suy ra là ĐK phải tìm

0

2 0

1

2

m m









     

Câu II TXĐ: ; Đặt  2

2 1

x x

 



2

2

1

x



Ta được y c os2 cos  2 2 osc 2 cos 1

Đặt t c os ,     1;1 t cos1;1

( để học sinh hiểu rõ tính chất trên cần biểu diễn trên đường tròn lượng giác )

Thì y f t( ) 2 t2  t 1, với tcos1;1

Bảng biến thiên của hàm số bậc hai ( )f t

t

( )

f t

1

1

4 cos1

(1)f

( os1)f c

Từ BBT suy ra maxy f(1) 2; min y f c( os1) 2 os 1 c 2 cos1 1

sinx 2 sin sinx 2 sin

t   x  t   x

2

sinx 2 sin

2

t

PT (2) trở thành: 1 2 (2a)

1 ,

2t   t m

1 Khi m3 ta có PT: 2 2

2 8 0

4

t

t t

t





      

Với t  2 sinx 2 sin 2x  2 2 sin 2x  2 sinx

2  2

2 sin x 2 sinx sinx 1   x  k2

Với t   4 sinx 2 sin 2x  4, vô nghiệm vì vế trái    1 4

Vậy khi m3 PT đã cho có nghiệm 2

2

x  k 

3 Ta phải tìm ĐK của t

  x  sinx 1 và 2 sin 2x 1

 t 0; t  0 sinx 1

Mặt khác theo tính chất  2 2 2 2 2

2 sinx 2 sin2 2 sin2 2 sin2 4

t 2; t  2 sinx 1

Vậy    x  t  0;2

PT (2) có nghiệm PT (2a) có nghiệm t 0;2

Xét hàm số 1 2 trên đoạn

2

f t  t  t  0;2

Có bảng biến thiên

t

( )

f t

-1 0 1

-1

3

Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là   1 m 3

Những sai lầm của học sinh trong khi làm bài kiểm tra :

Câu I : Sau khi biến đổi về PT (1a)

- Một số trường hợp chỉ yêu cầu biệt thức đenta bằng không mà không quan tâm

đến ĐK

- Một số trường hợp đã tính các nghiệm và so sánh với số 1 nhưng xét chưa hết

các trường hợp

Câu II : Sau khi đặt t c os

- Một số trường hợp không có ĐK của t

- Một số trường hợp cho rằng t  1;1

Câu III :

a Một số trường hợp không có lời giải mặc dù ý này có thể giải theo nhiều

cách: đặt một ẩn phụ như trên hoặc đặt hai ẩn phụ và quy PT đã cho về hệ PT

b Hầu hết học sinh làm sai vì không nghĩ đến việc tìm ĐK của ẩn phụ hoặc có

tìm ĐK nhưng tìm không chính xác

3 Các phương pháp đã tiến hành

Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do

chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu là

phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tự chọn nâng cao,

tôi đã lồng ghép các bài tập liên quan đến tìm tham số và đặt ẩn phụ Nhưng vì

thời gian không có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức

nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập để các em về nhà nghiên

cứu tìm lời giải Trên lớp tôi cho một số học sinh lên bảng làm bài và một số

học sinh khác nhận xét lời giải Sau đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các

em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số điểm quan trọng trong mỗi

bài, qua mỗi dạng

Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của

mình thành bốn phần sau:

- Phương trình , bất phương trình bậc cao một ẩn

- Phương trình , bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

- Phương trình lượng giác

- Phương trình , bất phương trình mũ và logarit

PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN

Bài 1 Tìm tham số để PT: a x33x2  a 0, (1) có ba nghiệm phân biệt trong

đó có đúng một nghiệm bé hơn 1

Giải

PT (1)  x33x2 a, (1a)

Yêu cầu của đề bài tương đương với PT (1a) có ba nghiệm phân biệt x x x1, ,2 3

sao cho x1 1 x2 x3 tức là đường thẳng y a phải cắt đồ thị hàm số

tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn

( ) 3 6 ; ( ) 0

2

x

f x x x f x

x





     

3 3 ;

lim ( ) lim 1

x

 

    

  xlim ( )f x

Bảng biến thiên của hàm số ( )f x

f x

( )

f x

+ 0 - - 0 +

0

-2





Từ BBT suy ra điều kiện phải tìm là    4 a 2

Nhận xét: Nghiệm của (1a) là hoành độ giao điểm của đường thẳng y a với

đồ thị hàm số y f x( ) tức là từ mỗi giao điểm ta chiếu vuông góc lên trục

hoành sẽ suy ra vị trí các nghiệm

Bài 2 Biện luận theo số nghiệm của PT: a x 13 3(x1)2  a 0, (2)

Giải

Đặt t  x 1 ,    x  t 0

PT (2) trở thành t3 3t2      a 0 a t3 3t2, (2a)

Xét hàm số f t( )  t3 3t2 với t0 có f t'( ) 3t2    6t 0, t 0

lim ( )

Bảng biến thiên của hàm số ( )f t

t

' ( )

f t

( )

f t

+

-0



Từ BBT ta thấy

- Nếu a 0 ( 2a) không có nghiệm t0 nên ( 2) vô nghiệm

- Nếu a 0 ( 2a) có một nghiệm t0 nên ( 2) có một nghiệm x1

- Nếu a 0 ( 2a) có một nghiệm t0 nên ( 2) có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét:

- Thay vì việc khai dấu giá trị tuyệt đối ta thực hiện việc đặt ẩn phụ để có lời

giải ngắn gọn hơn

- Lưu ý quan hệ giữa số nghiệm theo ẩn và số nghiệm theo ẩn t x

x - 0 1 2 +  

 

-4

Bài 3 Tìm tham số để PT: a  x3 ax2  4 m, ( 3)

có ba nghiệm phân biệt   m  4;0

Giải

Yêu cầu của đề bài tương đương với   m  4;0 đường thẳng y m phải cắt

đồ thị hàm số y  f x( )  x3 ax2 4 tại ba điểm phân biệt  (*)

4

0

CD CT

f

f 









0 ( ) 3 2 ; ( ) 0 2

3

x

x







 



Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi 0 2 0,

3

a a

khi đó x0 và 2 là các điểm cực trị của hàm số các giá trị cực trị là

3

a

và

(0) 4

3 27

  Theo ĐK (*) suy ra số -4 phải là giá trị cực tiểu do đó số sẽ là giá trị

3

4 4

27a 

cực đại 

3

4

4

27a    0 a 3

Thử lại : Khi 3 2 0.Lập bảng xét dấu suy ra là điểm

3

a

cực tiểu , 2 là điểm cực đại và các giá trị cực trị thỏa mãn ĐK (*)

3

a

x

Vậy ĐK phải tìm là a3

Tổng quát:

Xét hàm số f x( )ax3bx2 cx d với a0

- Hàm số f x( ) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi PT f x'( ) 0 có hai

nghiệm phân biệt

- PT f x( )g m( )có ba nghiệm phân biệt điều kiện cần và đủ là

f CT g m( ) f CD

Bài 4 Biện luận theo số nghiệm của PT sau :m

2x4 17x3 51x2 (36m x m)  0 , ( 4 )

Giải

PT ( 4) tương đương với

2 17 51 36 ( 1) ( 1)(2 15 36 ) ( 1)

1

2 15 36 ; (4 )

x







Để biện luận số nghiệm của PT (4) trước hết ta biện luận số nghiệm của PT (4a)

Xét hàm số f x( ) 2 x3 15x236x

( ) 6 30 36; ( ) 0

3

x

x





      

lim ( ) lim 2

x x

     

3

2

15 36 lim ( ) lim 2

x x

     

Bảng biến thiên

x

' ( )

f x

( )

f x

1 2 3

28

23



27

+ + 0 - 0 +



Từ BBT suy ra:

- Nếu m28 hoặc m27 và m23 suy ra PT (4a) có một nghiệm khác

1 nên PT (4) có hai nghiệm phân biệt

- Nếu m28 hoặc m27 suy ra PT (4a) có đúng hai nghiệm khác 1 nên

PT (4) có ba nghiệm phân biệt

- Nếu m23 suy ra PT (4a) có một nghiệm bằng 1 nên PT (4) chỉ có một

nghiệm

- Nếu 27 m 28 suy ra PT (4a) có ba nghiệm phân biệt khác 1 nên PT

(4) có bốn nghiệm phân biệt

Lưu ý:

- Việc biện luận số nghiệm của PT (4) trở thành biện luận số nghiệm khác

1 của PT (4a)

- Khi biến đổi từ PT (4) có nhiều trường hợp ta không quy về PT tích được

thì có thể chia cả hai vế cho biểu thức khác 0 để cô lập tham số và khảo

sát hàm số phân thức