-Giáo viên lưu ý học sinh: Người ta gọi hai số a, b là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b la cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, fxdx là biểu thức dưới dấu tích phân và x là[r]
Trang 1BÀI 3 TÍCH PHÂN
Tiết 63-64
I Mục tiêu:
a) Về kiến thức : khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân,
-Học sinh hiểu được bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được của một vật
- Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lí về diện tích hình thang cong
- Viết được các biểu thức biểu diễncác tính chất của tích phân
b) Về kỹ năng:Học sinh rèn luyện được kĩ năng tính một số tích phân đơn giản Vận dụng vào thực tiễn để tính diện tích hình thang cong , giải các bài toán tìm quãng đường đi được của một vật
II Phương pháp :
- Thuyết trình, kết hợp thảo luận nhóm và hỏi đáp
- Phương tiện dạy học: SGK
III Chuẩn bị:
+ Chuẩn bị của giáo viên :
- Phiếu học tập, bảng phụ
+ Chuẩn bị của học sinh :
IV Tiến trình tiết dạy :
1.Ổn định lớp :
2.Kiểm tra bài cũ : 5’
- Tính :(x dx1)
0
0 0
'
0
lim
x x
x f x f x
f
x
3.Vào bài mới
Tiết1:
Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong
1
Trang 2Tg Hoạt động của giáo viên Hoạt động của Hs Nội dung ghi bảng
10
’
2o
’
I/Khái niệm hình thang cong
y
7 B
H
f(t)=t+1
3 A
1 D G C
-1 x
O 2 t 6
( Hình 1)
-Dựng hình thang ABCD khi biết các
đường thẳng: AB: f(x)=x+1,AD: x=2,
CB: x=6 và y = 0 (trục hoành)
-Tính diện tích S hình thang ABCD
-Lấy t 2;6 Khi đó diện tích hình
thang AHGDbằng bao nhiêu?
-S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có liên hệ
như thế nào ?
-Tính S(6) , S(2) ? và SABCD?
Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình thang
cong và công thức tính d/t nó
y
B
y= f (x)
A
x
O a b
-Giáo viên đưa ra bài toán: Tính diện
tích của hình thang cong aABb
Giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục
y = f(x) , f(x) 0, trục Ox và các
đương thẳng x = a , x = b (a<b)
-Cho học sinh đọc bài toán 1 sgk
-Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm
số y = f(x), trục Ox và các đường
thẳng đi qua a, x và song song Oy
Hãy chứng minh S(x) là một nguyên
2
3 7
2 ) 2 ( 2
1
t
t t
t
t 2;6 S’(t) = t+1= f(t) S(t) là một nguyên hàm của f(t) = t+1
S(6) = 20,S(2) = 0
và SABCD= S(6)-S(2)
-Bài toán tích diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong có thể đưa về bài toán tính diện tích của một
số hình thang cong
1/ Hai bài toán dẫn đến khái niệm
tích phân:
a) Diện tích hình thang cong
-Bài toán 1: (sgk) y y=f(x)
S(x)
x
o a x b Hình 3 KH: S(x) (a xb )
Trang 3-Giả sử x0 là điểm tùy ý cố định
thuộc (a ; b)
*Xét điểm x (a ; b ]
-Diện tích hình thang cong
MNEQ?
-Dựa vào hình 4 so sánh diện tích
SMNPQ , SMNEQ và SMNEF
*f(x) liên tục trên [ a; b ]
?
f x
x
x 0
lim
0) ( ) ( lim
x S x S
x x
*Xét điểm x [a ; b )
0
0) ( ) ( lim
x S x S
x x
Từ (2) và (3) suy ra gì?
S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên
[ a; b ] ta biểu diễn S(x)?
* SMNEQ = S(x) – S(x0)
S =?
-Giáo viên củng cố kiến thức BT1
+ Giả sử y = f(x) la một hàm số
liên tục và f(x) 0 trên [ a; b ]
Khi đó diện tích của hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị (C) của
hàm sốy = f(x), trục Ox và 2
đường thẳng
x = a, x = b là S = F(b) – F(a)
trong đó F(x) là một nguyên hàm
bất kì của hàm số f(x) trên [ a; b
]
SMNEQ = S(x) – S(x0)
SMNPQ < SMNEQ < SMNEF
f(x0)
f x
x
x 0
lim
f(x0) (2)
0
0) ( ) ( lim
x S x S
x x
f(x0) (3)
0
0) ( ) ( lim
x S x S
x x
f(x0)
0) ( ) ( lim
x S x S
x x
S(x) = F(x) +C (C: là hằng số)
S = S(b) – S(a)
y y=f(x)
F E f(x)
f(x ) Q P0
xo x
x
0 a M N b Hình 4
*Xét điểm x (a ; b ]
SMNEQ là S(x) – S(x0)
Ta có:SMNPQ < SMNEQ < SMNEF
f(x0)(x-x0)<S(x)-S(x0
)<f(x)(x-
x0)
0
0
x -x
) S(x -S(x)
f x
x
x 0
lim
0
0) ( ) ( lim
x S x S
x x
*Xét điểm x [a ; b )
0
0) ( ) ( lim
x S x S
x x
f(x0)(3)
Từ (2) và (3)ta có:
0
0) ( ) ( lim
x S x S
x x
Hay S’ (x) = f(x0) Suy ra S’ (x) = f(x) (vì x (a ; b ) nên suy ra S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b)
Vậy S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [ a; b ]
S(x)= F(x) +C (C: là hằng số)
S = S(b) – S(a) = (F(b) +C) – (F(a) + C) = F(b) – F(a)
Trang 4-Giáo viên định hướng học sinh
giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học
tập số 1
-Tìm họ nguyên hàm của f(x)?
-Chọn một nguyên hàm F(x) của
f(x) trong họ các nguyên hàm đã
tìm được ?
-Tính F(1) và F(2)
Diện tích cần tìm ?
-Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên:
I = x4dx= C ( C là hằng
5
5
x
số) Chọn F(x) =
5
5
x
F(1) = , F(2) =
5
1
5 32
5
31
dvdt
GIẢI:
I = x4dx= C
5
5
x
5
5
x
F(1) = , F(2) =
5
1
5 32
5
31
đvdt
Tiết2: Hoạt động 2: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong
8’
5’
-Giáo viên định hướng học
sinh giải bài toán 2 (sgk)
+Gọi s(t) là quãng đường đi
được của vật cho đến thời
điểm t Quãng đường đi được
trong khoảng thời gian từ thời
điểm t = a đến thời điểm t = b
là bao nhiêu?
+ v(t) và s(t) có liên hệ như
thế nào?
+Suy ra f(t) và s(t) có liên hệ
như thế nào?
+Suy ra s(t) và F(t) có liên hệ
như thế nào?
+Từ (1) và (2) hãy tính L theo
F(a) và F(b)?
-Giáo viên định hướng học
sinh giải quyết nhiệm vụ ở
phiếu học tập 2
+Tìm họ nguyên hàm của
f(t)?
+Lấy một nguyên hàm của
F(t) của f(t) trong họ các
nguyên hàm đã tìm được
+Tính F(20) và F(50)?
+Quãng đường L vật đi được
trong khoảng thời gian từ t1
=20 đến t2=50 liên hệ như thế
-Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm
t = a đến thời điểm t = b là :
L = s(b) – s(a) (1) v(t) = s’(t)
s’(t) = f(t)
s(t) là một nguyên hàm của f(t) suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2)
Từ (1) và (2) L= F(b)–F(a)
-Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên
I = t dt t 2tC
2
3 ) 2 3
F(t) = t 2t
2
3
2
F(20) = 640 ; F(50) = 3850 Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m)
b, Quãng đường đi đượccủa1 vật Bài toán 2: (sgk)
CM: Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm
t = a đến thời điểm t = b là :
L = s(b) – s(a) (1) v(t) = s’(t)
s’(t) = f(t)
s(t) là một nguyên hàm của f(t) suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2)
Từ (1) và (2) L= F(b)–F(a)
GIẢI:
2
3 ) 2 3
F(t) = t 2t
2
3
2 F(20) = 640 ; F(50) = 3850 Suy ra L = F(50)–F(20)=3210(m)
Trang 5Hoạt động 3: Tìm hiểu khái niệm tích phân
động của giáo viên
Hoạt động của Hs
Nội dung ghi bảng 7’
5’
15’
-Giáo viên nêu định nghĩa tích phân
(sgk)
-Giáo viên nhấn mạnh Trong
trường hợp a < b, ta gọi b là
a
dx x
f( ) tích phân của f trên đoạn [a ; b ]
Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời
câu hỏi (H2)
Gợi ý:
-Gọi F(x) = g(x) +C là họ các
nguyên hàm của f(x)
-Chọn nguyên hàm F1(x) = g(x)+C1
bất kì trong họ các nguyên hàm đó
-Tính F1(a), F1(b)?
a
dx x
f( )
-Nhận xét kết quả thu được
-Giáo viên lưu ý học sinh: Người ta
còn dùng kí hiệu F(x)| để chỉ hiệu b
a
số F(b) -F(a)
-Hãy dùng kí hiệu này để viết
b
a
dx x
f( )
-Giáo viên lưu ý học sinh: Người ta
gọi hai số a, b là hai cận tích phân,
số a là cận dưới, số b la cận trên, f
là hàm số dưới dấu tích phân,
f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích
phân và x là biến số lấy tích phân
-Giáo viên định hướng học sinh
giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học
tập số 3
Học sinh tiếp thu và ghi nhớ
Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên
a
dx x
f( ) Chọn F1(x) = g(x)+C1 bất kì
F1(a) = g(a)+C1
F1(b) = g(b)+C1
= [g(b)+C1]-[g(a)+C1]
b
a
dx x
f( ) = g(b) – g(a) Không phụ thuộc vào cách chọn
Học sinh tiếp thu , ghi nhớ
Giả sử F(x) là một nguyên hàm
a
dx x
a
Học sinh giải quyết dưới sự định hướng của giáo viên:
5
2/Khái niệm tích phân
Định nghĩa: (sgk)
Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| b
a
để chỉ hiệu số F(b) -F(a).Như vậy nếu F là một nguyên hàm của f trên
a
dx x
a
Trang 6a) 5
1
2xdx
-Tìm nguyên hàm của 2x?
-Thay các cận vào nguyên hàm trên
b) /2
0
sin
xdx
-Tìm nguyên hàm của sinx?
-Thay các cận vào nguyên hàm trên
c) /3
4
/
2
cos
dx
x
2
cos 1 -Thay các cận vào nguyên hàm trên
d) 4
2 x
dx
-Tìm nguyên hàm của ?
x
1 -Thay các cận vào nguyên hàm trên
+Với định nghĩa tích phân như trên,
kết quả thu được ở bài toán 1 được
phát biểu lại như thế nào?
-Giáo viên thể chế hóa tri thức, đưa
ra nội dung của định lý 1:Cho hàm
số y = f(x) liên tục và không âm
trên K; a và b là hai số thuộc K
( a<b) Khi đó diện tích S của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f(x) trục hoành và 2 đường
thẳng x = a, x =b là: S = b
a
dx x
f( )
-Giáo viên hướng dẫn học sinh
trả lời H3.
-Theo kết quả của bài toán 2 quãng
đường vật đi được từ điểm a đến
thời điểm b được tính như thế nào?
-Dựa vào định nghĩa tích phân hãy
viết lại kết quả thu được?
a) 5 = x2| = 25 – 1 = 24
1
1
0
sin
0
=1
4 / 2
cos
4 /
d)4 = ln|x|| = ln4 – ln2 =ln
2 x
2
2 4
= ln2 Học sinh thảo luận theo nhóm trả lời
Học sinh giải quyết dưới sự định hướng của giáo viên:
Theo kết quả của bài toán 2
Quãng đường vật đi được từ điểm
a đến thời điểm b là:
L = F(b) –F(a) F(x) là nguyên hàm của f(x) Theo định nghĩa tích phân
= F(b) –F(a)
b f(x)dx
Giải:
a) 5 = x2| = 25 – 1 = 24
1
1
0
sin
0
=1
4 / 2
cos
4 /
d)4 = ln|x|| = ln4 – ln2 =ln
2 x
2
2 4 = ln2
ĐỊNH LÍ1: Cho hàm số y = f(x)
liên tục và không âm trên K; a và
b là hai số thuộc K ( a<b) Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f(x) trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x =b là:
S = b
a
dx x
f( )
Theo kết quả của bài toán 2 Quãng đường vật đi được từ điểm a đến thời điểm b là:
L = F(b) –F(a) F(x) là nguyên hàm của f(x) Theo định nghĩa tích phân
= F(b) –F(a)
b f(x)dx
Trang 7Tiết3: Hoạt động 4: Tìm hiểu các tính chất của tích phân;
15’
-Giáo viên phát biểu định lí
2(sgk)
-Giáo viên định hướng học sinh
chứng minh các tính chất trên:
Giả sử F là một nguyên hàm của
f, G là một nguyên hàm của g
a
dx x
f( ) -Nguyên hàm của f(x) ?
-Thay các cận vào nguyên
hàmtrên?
a
dx x
f( ) a
b
dx x
f( )
a
dx x
f( )
b
dx x
f( )
a
dx x
f( ) c
b
dx x
f( )
c
a
dx
x
f( )
a
dx x
f( )
b
dx x
f( )
a
dx x
f( )
4) F(x) là nguyên hàm của f(x),
G(x) là nguyên hàm của g(x)
nguyên hàm của f(x) + g(x)
=?
f x g x dx
b
a
Học sinh tiếp thu và ghi nhớ Học sinh thực hiện dưới sự định hướng của giáo viên
= F(x)| = F(a) – F(a) = 0
a
a
dx x
a
= F(x)| = F(b) – F(a)
b
a
dx x
a
= F(x)| = F(a) – F(b)
a
b
dx x
b
= -
b
a
dx x
f( ) a
b
dx x
f( )
b
a
dx x
f( ) c
b
dx x
a
=F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= F(c) –
c b
F(a)
= F(x)| = F(c) – F(a)
c
a
dx x
a
b
a
dx x
f( ) c
b
dx x
f( ) c
a
dx x
f( ) 4) f x g x dx
b
a
) ( )
b a
= F(b)G(b) F(a)G(a)
= F(b) – F(a) + G(b) – G(a)
b
a
dx x
f( ) b
a
dx x
a
b a
= F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm)
3 Tính chất của tích phân
ĐỊNH LÍ2: (sgk)
CM:(Giáo viên HD chứng minh tính chất 3,4,5)
a
dx x
a
a
dx x
a
= F(x)| = F(a) – F(b)
a
b
dx x
b
= -
b
a
dx x
f( ) a
b
dx x
f( )
a
dx x
f( ) c
b
dx x
a
+F(x)| =F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= c b
F(c) – F(a)
= F(x)| = F(c) – F(a)
c
a
dx x
a
b
a
dx x
f( ) c
b
dx x
f( ) c
a
dx x
f( ) 4) f x g x dx
b
a
) ( )
a
= F(b)G(b) F(a)G(a)
= F(b) – F(a) + G(b) – G(a)
b
a
dx x
f( ) b
a
dx x
= F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm)
Trang 85) F(x) là nguyên hàm của f(x)
nguyên hàm của kf(x)?
=?
b
a
dx x
kf )(
=?
b
a
dx x
f
k ( )
Giáo viên định hướng học sinh
giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học
tập số 4
Biểu thức của tính chất 4?
Áp dụng tính chất này tính tích
phân trên?
Xét dấu của x – 2 trên [1: 3]?
Áp dụng tính chất 3 tính tích phân
trên?
a
dx x
kf )( b
a
x
kF )(
=kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)]
= kF(x) =k[F(b) – F(a)]
b
a
dx x f
a
=
b
a
dx x
kf )( b
a
dx x f
k ( )
Học sinh thực hiện dưới sự định hướng của giáo viên
0
) cos 2 (sin
dx x x
0
2 /
0
cos 2
sin
xdx xdx
= - cos2x | - sinx | 2
0
0
= - (cos - cos0 ) - sin -sin0 2
2
= 0 J= 3 x dx
1
2
1
) 2
3
2
2
2
2
2
2
a
dx x
kf )( b
a
x
kF )(
=kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)]
= kF(x) =k[F(b) – F(a)]
b
a
dx x f
a
=
b
a
dx x
kf )( b
a
dx x f
k ( )
0
) cos 2 (sin
dx x x
0
2 /
0
cos 2
sin
xdx xdx
= - cos2x | - sinx | 2
0
0
= - (cos - cos0 ) - sin -sin0 2
2
= 0 J= 3 x dx
1
2
1
) 2
3
2
2
2
2
2
2
= 1
IV CỦNG CỐ:5’
- Phát biểu lại kết quả cuă bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được một vật
- Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lý về diện tích hình thang cong
- Viết được các biểu thức biểu diễn các tính chất của tích phân
- Trả lời câu hỏi H5
V.NHIỆM VỤ VỀ NHÀ:
-Xem lại bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được một vật
-Học thuộc các tính chất của tích phân
- Giải bài tập sách giáo khoa
- Bài tập làm thêm:
1) Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -2x2 +3x +6 ,trục hoành , trục tung và đường thẳng
x =2
2) Tính : I = x x dx
1
2 2
Trang 9VI PHỤ LỤC
Phiếu học tập số 1
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x4 trục hoành và hai đường thẳng x =1 , x =2
Phiếu học tập số 2
Vật chuyển động thẳng có vận tốc thay đổi theo thời gian v = f(x) = 3t + 2 m/s Tìm quãng đường L vật đi được trong khoange thời gian từ t1 = 20 s đến t2 = 50 s?
Phiếu học tập số 3
Tính giá trị các tích phân sau:
a) 5 b) c) d)
1
0
sin
4 / 2
cos
dx
4
2 x dx
Phiếu học tập số 4
Tính các tích phân sau:
I= /2 , J=
0
) cos 2 (sin
dx x
1
2