SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Giả sử K là một khoảng.. Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.[r]
Trang 1SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa Giả sử K là một khoảng Hàm số f xác định trên K được gọi là :
Đồng biến trên K nếu , K , < <
1
x
2
x
1
x
2
1 f(x )
2
Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
Nghịch biến trên K nếu , K , < >
1
x
2
x
1
x
2
1 f(x )
2
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải
Đồ thị:
Định lí : GIả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K
a)Nếu f’(x) > 0 với mọi x K thì hàm số f đồng biến trên khoàng K
b)Nếu f’(x) < 0 với mọi x K thì hàm số f nghịch biến trên khoàng K
c)Nếu f’(x) = 0 với mọi x K thì hàm số f không đổi trên khoàng K
Nhận xét : Khoảng K trong định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng Khi đó phải bổ sung thêm giả thiết :
Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm f’(x) trên khoảng (a; b)
a)Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x (a; b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a; b]
b)Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x (a; b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a; b]
Trên đoạn [a; b] , ta có :
Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu : giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) D
Bước 1: Tìm miền xác định D, tính & xét dấu y’ = f’(x).
Bước 2: Áp dụng định lý
Ghi chú về việc xét dấu :
f’(x) là đa thức hay phân thức : xét dấu nhị thức, tam thức.
Trang 2 f’(x) vô tỉ, lượng giác: giải các bất phương trình f’(x) 0; f’(x) 0.
f’(x) là biểu thức phức tạp có thể áp dụng các bước sau :
– tìm x o sao cho f’(x o ) = 0 hay f’(x) không xác định.
– các số x o chia miền xác định của f(x) thành nhiều khoảng.
– trên mỗi khoảng f’(x) có 1 dấu nhất định Ta xác dịnh dấu trên mỗi khoảng bằng cách xét một giá trị đặc biệt.
Đôi khi ta cần tính thêm f”(x) để xét dấu f’(x).
Ví du 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số :
x
4 x
D = \ {0} Chiều biến thiên
2 x
2 x
2
x
4
1
Ta có y’ = 0 x = 2
Vậy hàm số đồng biến / (; 2) và (2;+), nghịch biến / ( 2 ; 0 ) và ( 0 ; 2 )
Ví du 2 : Xét chiều biến thiên của hàm số : 4 3 2
3
y = x - 2x + x - 3
D = y’ = 4x2 − 4x + 1
Ta có: y’ = 0 với x = và y’ > 0 x
2
1
2 1
Bảng biến thiên :
Vì hàm số đồng biến / 2 và hàm số đồng biến trên
1
2
1
Qua ví dụ 2 ta thấy có thể mở rộng định lí như sau :
Mở rộng định lí GIả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K
a)Nếu f’(x) ≥ 0, x K thì hàm số f đồng biến trên K
b)Nếu f’(x) 0, x K thì hàm số f nghịch biến trên K
( f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm )
H1 Xét chiều biến thiên của a) 1 3 3 2 ; b)
y = x - x + 2x - 3
5 4 10 3 7
Ví dụ 3 : Xét chiều biến thiên của hàm số f(x) = 3 - x
D = (– ;3] Hàm số f liên tục trên (–;3]
Vậy f nghịch biến trên (– ;3]
1
'( ) 0 x ;3
2 3
f x
x
Ví dụ 4: Chứng minh rằng hàm số y = x3
3x2 + 3x + 2 là đồng biến trên
D = y’= 3 x2 – 6x + 3 = 3(x–1)2 y’= 0 x = 1
Lập BBT ta có :hàm số đồng biến trên (–; 1] và [ 1;+) f đồng biến trên
Ví dụ 5*: Chứng minh: sinx + tanx > 2x với mọi x 0;
2
Trang 3Giải: Xét f(x) = sinx + tanx – 2x liên tục trên 0; ta có
2
1
cos
f x x
x
.Với x (0; ) ta có 0 < cosx < 1 cosx > cos2x nên
2
f’(x) >cos2x + 12 − 2 = >0 Vậy f đồng biến trên
cos x
2
(cos 1) cos
x x
0;
2
Suy ra: f(x) > f(0) với mọi x 0; hay sinx + tanx > 2x x
2
0;2
Ví dụ 6*: Cm yf x( ) cos2 x2x1 nghịch biến trên
Ta có f liên tục trên và f x'( ) 2sin2x 2 2(sinx 1) 0 x
f’(x) = 0 Vậy f nghịch biến trên mỗi đọan
4
x k
4 k 4 k
f nghịch biến trên
Bài tập SGK (Cơ bản) Bài 1: Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
a) y = 4 + 3x – x2 KQ: đồng biến / ; 3 , nghịch biến / ;
2
3
; 2
b) y = 1/3x3 +3x2 – 7x – 2 KQ: đồng biến / ( ; 7) và (1 ; +), nghịch biến / (7 ; 1) ; c) y = x4 −2x2 + 3 KQ: đồng biến /(1;0) và (1;+), nghịch biến / (;1) và(0;1) ; d) y= − x3 +x2 − 5 KQ: đồng biến / 0 ;2 , nghịch biến / ( ; 0) và
3
2
; 3
Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a/ y = 3 1 KQ : đồng biến trên các khoảng ( ; 1) và (1 ; +) 1
x
x
b/ y = 2 2 KQ : nghịch biến trên các khoảng ( ; 1) và (1 ; +)
1
x
c/ y = x2 x 20 KQ : nghịch biến trên ( ; 4) và đồng biến trên (5 ; +) ; d/ y= 22 KQ : nghịch biến trên ( ; 3) và (−3; 3) và (3 ; +) ;
9
x
x
Bài 3: CMR y = 2 đồng biến / (-1;1); nghịch biến / ( ;-1) và (1; )
1
x
Bài 4: CMR y = 2x x 2 đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2)
TXĐ:D = [0;2] BBT
y’=
2
1
2
x
x x
Vậy hàm số đồng biến / (0;1) và nghịch biến / (1;2)
Trang 4Bài 5: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a/ tanx > x (0<x< ); b/ tanx > x + (0<x< )
2
3
x
2
Xét hàm số g(x) = tanx - x liên tục / 0; và có: g’(x) = tan2x ,x
2
g'(x) = 0 x = 0 nên g đồng biến trên 0; Do đó g(x) > g(0) = 0 x
2
b) g’(x) = tan2x − x2 = (tanx − x)(tanx + x) 0…
Bài tập tự luyện
1 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau :
a/ y = 3x2 – 2x + 5 b/ y = 5 + 4x x2 c/ y = ⅓ x3 + 6x2+11x + 1
d/ y = x4 4x2 + 3 e/ y = x4 + 4x2 + 3 f/ y = ¼ x4 x2
a) y = x3– 3x2 + 2 b) y = −x3 + x2 – 5x + 9 c) y = x4 – 8x2 + 7 i/*y x 2 2x 3 e) y = f)* y = g/* h/*
1
x x
x
1
x x x
x x - 2
y x 1
3 x
KQ: a) Hs đồng biến / ( ;0) và (2; ); nghịch biến trên khoảng (0; 2)
b) Hs nghịch biến trên R vì y’ = - x3 + 2x – 5 < 0, x R
c) Hs đồng biến /(-2; 0) và (2; ); nghịch biến / ( ;-2) và (0; 2)
d) Hs đồng biến trên khoảng ( ;0); nghịch biến trên khoảng (0; )
e) Hs đồng biến / ( ;0) và (2; ); nghịch biến / (0; 1) và (1; 2)
3 Chứng minh các hàm số sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định.
a)* y = x3 + x − cosx −4 b) y = x3 − 6x2 + 17x + 4
c) y = x3 3x2 + 3x + 2 d) e)
1
x x y
x
1
2 1
x y x
4 Chứng minh rằng: a/ y = x +1 nghịch biến /[-1; 0) và (0; 1] b/
x
giảm / mỗi khoảng xác định c/ nghịch biến / [2 ; 4]
3 - x
y =
2x + 1
2 4
y x x d/ y x24đồng biến / [2 ; +) e/ y x x22nghịch biến /
5.* Chứng minh rằng hàm số f(x) = x + cos2x đồng biến trên
Vấn đề 2: Tìm m để hàm số tăng (giảm)
1 Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )
Tập xác định Đạo hàm y/ ( y’ = 0 ax2 + bx + c = 0)
Hàm số tăng (giảm) trên ( trong từng khoảng xác định):
y/ 0 x (hay ) Giải tìm m
0 0
0 0
a
Chú ý: Nếu hệ số a của y/ có chứa tham số thì phải xét khi a = 0
Trang 52 Hàm số nhất biến :
ax b y
cx d
Tập xác định Đạo hàm y/
Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác định :
y/ > 0 ( y / < 0 ) ad − bc (tử) > 0 ( < 0 ) Giải tìm m
Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0
1) Với giá trị nào của m thì y = 2x3-3(m+2)x2 + 6(m+1)x -3m +5 luôn đồng biến/
TXĐ: D =
y’ = 6x2 – 6(m+2)x + 6(m+1) Hs luôn luôn đồng biến y’ 0, x
x2 – (m+2)x + (m+1) 0 … m2 0 m = 0
0
2) Tìm m để hàm số: y = 2 nghịch biến trên từng khoảng xác định
mx m
x m
TXĐ: D = \ {- m} y’ = 2 22
( )
x m
Hs nghịch biến trên từng khoảng xác định y’ 0, x D m2 +m -2 < 0 -2< m<1
Bài tập tự luyện
1) Với các giá trị nào của a thì hàm số y = ax – x3 nghịch biến trên (a ≤ 0)
2) Định m để y = f(x) = x3 - 3(m+1)x2 + 3(m +1)x+1 luôn đồng biến (1 m 0) 3) Tìm m để f(x) = mx 1 đồng biến / từng khoảng xác định của nó (m = 0)
x m
4) Tìm m để hàm số y x2 2mx m 2 luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
x m
(ĐS : m ≤ - 1 V m 2 ) 5) Tìm m để y 2x2 (1 m x m) 1 luôn đồng biến (suy biến) (ĐS : m = - 1)
x m
7)* Tìm m để hàm số y = x2.(m - x) - m đồng biến trên (1;2) (ĐS : m 3)
8) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến / từng khoảng xác định
a) 1 3 2 ; b) y = x + 2 +
3
f x x mx x
1
m
x