Tài liệu luyện thi đại học - Phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Phương pháp 4: Biến đổi phương trình về dạng tích số fx.gx Tài liệu luyện thi Đại học - Trần Chí Thanh... + Kết luận: nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đường Ví duï Giaûi caù[r]

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

A KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ

1 Các định nghĩa:

n thừa số

a  a.a a nZ , n1 , aR a1 a  a 

n

1 a

a

  nZ ,a R / 0   a0 1 a 0

m

n m n

a  a a 0 , mZ , nZ

m n

n

a

a a



  a 0 , mZ , nZ

2 Các tính chất :

2.1 Các tính chất biểu thi bằng đẳng thức: a,b R \ 0 và m,n   Z

Ta có:

a) a am n  am n b) m m n c)

n

a a a



 (a )m n (a )n m am.n

d) (a.b)n  a bn n e) ( )a n ann

b  b

2.2 Các tính chất biểu thị bằng bất đẳng thức:



  

 b) a  1 am  a mn n

c) 0  a 1 am  a mn n

3 Hàm số mũ: y  ax 0 a 1

 Tập xác định : D R  Tập giá trị : T  R  ax   0, x R

 Tính đơn điệu: ◙ a > 1 : y  ax đồng biến trên R  x1 x2

x  x a a ◙ 0 < a < 1 : y  ax nghịch biến trên R  x1 x2

x  x a a

 Đồ thị của hàm số y  ax 0 a 1

-1

1 2 3 4 5

x

y

y = a x ( a>1 )

y = a x

( 0<a<1 )

 x

y a

0 1

0



1 a 1 a

 0 a 1  

 x

y a

0 1

0



1 a

1 a

 0  a 1 

Hàm số mũ y = ex ( e = 2,71828…)

 Tập xác định : D R  Tập giá trị : T  R  ex   0, x R

 Tính đơn điệu: e > 1  y  ex đồng biến trên R  x1 x2

x  x e e

 Đồ thị của hàm số y = e x

 BBT

B KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT

1 Định nghĩa:

 Với: a > 0 , a 1 và N > 0

log N M a   NaM

 logarit thập phân ( cơ số 10 ): lg x log x10

 logarit Neper ( cơ số e = 2,71828…): ln xlog xe

2 Các tính chất :

 log 1 0a  , log aa 1 0  a 1

 log aa M M 0  a 1 , M R  , alog Na N 0  a 1 , N0

 Với: 0 a 1 , N1 0 , N2  0 Ta có:

log N Na 1 2 log Na 1log Na 2 và 1

2

N

N

 Với: 0 a 1 , N10 , N2 0 Ta có:

log N Na 1 2 log Na 1 log Na 2 và 1

2

N

N

 log xa   log xa 0  a 1 , x  0 và log xa   log xa 0  a 1

a

1 log x  log x



 0 a 1 , x 0 ,   0

e

O

1/e

-1

1 2 3

x

y

y = e x

x

f'(x)

f(x)



0



 x

y e

0



1 e

1

e

3 Công thức đổi cơ số :

 Với: 0 a 1 ,0 b 1 và N0 Ta có: a

b

a

log N log N

log b



 Hệ quả: log Na log b.log Na b và log b.log aa b 1

 Đặc biệt: alog cb clog ab a 0 , c 0 , 0  b 1

4 Hàm số logarít: y log xa 0  a 1

 Tập xác định: D R   Tập giá trị: T  R

 Tính đơn điệu: ◙ a > 1 : y log xa đồng biến trên R  x1 x2 log xa 1log xa 2

◙ 0 < a < 1 : y log xa nghịch biến trên R  x1 x2 log xa 1log xa 2

 Đồ thị của hàm số lôgarít:

-2 -1

1 2 3

x

y

a

y log x a 1

a

y log x 0  a 1





x

y log x



0

1

2

2

a

a 1  



x

y log x



0

1

2

2

a

0 a 1   



Hàm số logarit Neper y = lnx (y = logex , e = 2,71828…)

 Tập xác định: D R   Tập giá trị: T  R

 Tính đơn điệu: e > 1  y ln x đồng biến trên R 

 Đồ thị của hàm số lôgarít Neper:

 BBT:

5 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:

1 Định lý 1: aM  a N  M N 0 a 1

2 Định lý 2: aM a N  M N 0 a 1

3 Định lý 3: aM a N  MN a 1

4 Định lý 4: log Ma log N a  MN 0 a 1 , M0 , N0

5 Định lý 5: log Ma log N a  0M N 0 a 1

6 Định lý 6: log Ma log N a  M N 0 a 1

6 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT:

-2 -1

1 2 3

x

y

1/2 lùn(1/2)

y = lnx

e

O







f(x)



x



y lnx



0 1

2

2

e



6.1 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

A Phương trình mũ cơ bản a x = b 0  a 1

Cách giải: + b 0  phương trình vô nghiệm x , vì: ax   0, x R

+ b > 0 phương trình có nghiệm  x log ba

Ghi nhớ: x

a

a b  x log b 0  a 1 , b 0

Ví dụ Giải các phương trình sau:

a) 2x  5 b) 3x 27 c) 4x 17 d) 5x 8 e) 7x 1 2x

B Phương trình mũ thường gặp

Phương pháp 1: Biến đổi, quy về cùng cơ số

hoặc

f(x) g(x)

f(x) g(x)









(a 1) f(x) g(x) 0







Ví dụ Giải các phương trình sau :

a) 22x 1 4x 1  5 b) c)

x

0,125.4

8



  

x

4.2

4

 

  

  d) 3 2x 3x 576 e) f)

x 17

x 5

x 3

x 7







h) 8x32x22  4x2 x 1 i)   2  x2 x 4

x 3    x 6x 9  

Phương pháp 2: Đặt ẩn số phụ

f(t) 0

Ví dụ Giải các phương trình sau:

a) 27x 12x 2.8x b) 9x 4.3x 45 c) e6x 3.e3x  2 0 d) e2x 4.e2x 3 e) 32x 8 4.3x 5 27 0 f) 6.9x 13.6x 6.4x 0 g) ( 2 3 )x ( 2 3 )x  4 h) (2 3)x (2 3)x  4 i) 125x 50x 23x 1

1

cot g x sin x

7 4 3 3 2 3  2 0 2.4x216x219x21

Phương pháp 3: Logarit hóa ( lấy logarit hai vế của phương trình )

a

f(x) 0

g(x) log f(x)







a b 0 a,b 1 log a log b  f(x)g(x).log ba

Ví dụ Giải các phương trình sau:

a) 3 2x x2 1 b) 4 5x x2 1 c)

x 1



 d) 2x2 2x 3 e) f)

2

  2x24  3x 2 3x 2 x 1 x 5 .7  245

Phương pháp 4: Biến đổi phương trình về dạng tích số f(x).g(x)

f(x) 0 f(x).g(x) 0

g(x) 0







Ví dụ Giải các phương trình sau:

a) 8.3x 3.2x 24 6 x b) 12.3x 3.15x 5x 1 20

Phương pháp 5: Phương pháp đồ thị Bài toán: Giải phương trình ax  f(x) 0  a 1 (1)

Cách giải: + (1) là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường

y  ax 0  a 1 và y = f(x) + Vẽ đồ thị các hàm số y  ax 0 a 1 và y = f(x) + Kết luận: nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đường

Ví dụ Giải các phương trình:

a) 2x 11 x b) 1 x 2x 13 c) d)

3

   

 

 

x

2  3x 10 3x 11 x

x

1

x 1 3

   

 

 

x

1

2x 5 3



 

 

x

   

 

 

x

3  4x 1

Phương pháp 6: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ Ghi nhớ:

+ Nhẩm 1 nghiệm x = x0

+ Chứng minh x = x0 là nghiệm duy nhất ( dùng tính tăng, giảm của hàm số mũ )

Ví dụ Giải các phương trình sau :

a) 4x 5x 9 b) 3x 4x 5x c) 2x 3x 5x d) 5x 12x 13x

e) f) g) h)

x

3

   

 

 

x

2  3 x 2.2x 3.3x 6x 1

Phương pháp 7: Dùng hàm số mũ làm ẩn số Ghi nhớ: Chọn (thích hợp) t  ax 0 0  a 1 làm ẩn số

Ví dụ Giải các phương trình

a) x2  2  x2 2 b)

9  x 3 3  2 2x 0 32x 2x 9 3 x 9.2x 0 c) 32x 3 3x 10 3  x 2   3 x 0 d) 9x 2 x 2 3   x 2x 5 0

e) x.2x  x 3 x  2 2 x 1

Phương pháp 8: Phương pháp lượng giác hóa Ghi nhớ:

+ Chọn (thích hợp) sin t ax hoặc cos t ax 0 a 1 + Từ điều kiện x suy ra điều kiện t

Ví dụ Giải phương trình

a) 1 1 2 2x 1 2 1 2  2x.2x b)

4.3 3   1 9

C BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Loại 1: Bất phương trình mũ cơ bản Dạng 1: ax b 0  a 1

+ b0: Tập hợp nghiệm của bất phương trình là SR

+ b0:

 a > 1: ax   b x log ba Tập hợp nghiệm Slog b ; a  

 0 < a < 1: ax   b x log ba Tập hợp nghiệm S  ; log b a 

Dạng 2: ax b 0 a 1

+ b0: Tập hợp nghiệm của bất phương trình là SR

+ b0:

 a > 1: ax   b x log ba Tập hợp nghiệm Slog b ; a  

 0 < a < 1: ax   b x log ba Tập hợp nghiệm S  ; log b a 

Dạng 3: ax b 0 a 1

+ b0: Tập hợp nghiệm của bất phương trình là S  

+ b 0:

 a > 1: ax   b x log ba Tập hợp nghiệm S  ; log b a 

 0 < a < 1: ax   b x log ba Tập hợp nghiệm Slog b ; a  

Dạng 4: ax b 0 a 1

+ b0: Tập hợp nghiệm của bất phương trình là S  

+ b0:

 a > 1: ax   b x log ba Tập hợp nghiệm S  ; log b a 

 0 < a < 1: ax   b x log ba Tập hợp nghiệm Slog b ; a  

Loại 2: Bất phương trình mũ đơn giản Phương pháp: Để giải các bất phương trình mũ đơn giản, ta có thể biến đổi đưa về

bất phương trình mũ cơ bản hoặc bất phương trình đại số

Ghi nhớ: af(x) ag(x) 0 a 1 ,

f(x) g(x)

 





f(x) g(x)

 





af(x) ag(x) a 1 ,

f(x) g(x)







f(x) g(x)







Tổng quát:

a 1 f(x) g(x) 0







Ví dụ Giải các bất phương trình

2

x 4x 12

1

1 3

 

 

 

2 2   9  10 3x 3x 1  10 3x 3x 1

d) 2 2 3 3x  x 6x 1 e) 2 2 x 2 x f) g)



4

4

 h) 22x 1 22x 2 22x 3  448 i) 16x 4x  6 0 j) 4x 2.52x 10x k) x3x 3



6.1 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

A Phương trình logarit cơ bản log x a  b 0 a 1

Cách giải: Dùng định nghĩa logarit b

a

log x   b x a 0 a 1

lg x  b x 10b ln x  b x eb

Ví dụ Giải các phương trình

a) ln x(x 1)  1 b) lg x lg x 1   1 c) log x 13   log x3 1 d) log log x log log x4 2  2 4 2 e) log x log x log x2  3  4 log x20

B Phương trình logarit thường gặp

Phương pháp 1: Biến đổi, quy về cùng cơ số

log f(x)a log g(x)a 0 a 1

f(x) g(x) 0

 





Ví dụ Giải các phương trình sau :

log x 3x 2 log x 7x 12  3 log 3 ln x ln x 1    0 c) ln x 1   ln x 3   ln x 7   d) x x 1

2

log (4 4) x log (2  3) e) 1  2  1 f)

Phương pháp 2: Đặt ẩn số phụ

a

t log g(x)

f log g(x) 0 0 a 1

f(t) 0









Ví dụ Giải các phương trình sau:

5 lg x 1 lg x 

1

4 log x 2 log x 

3

log 5 1 log 5  5 1

log 5 log 5x 2,25  log 5 ln x 3ln x 4ln x 123  2   0

Phương pháp 3: Phương pháp mũ hóa, logarit hóa

log g(x)a f(x) 0 a 1  g(x) 0f(x)

g(x) a









Ví dụ Giải các phương trình sau:

a) lg x 2  x 6 x lg x 2  4 b) log 12  xlog x3

c) lg 6.5 x 25.20x x lg25 d) e2 ln x  x 3 e) e4 ln x  x

Phương pháp 4: Biến đổi phương trình về dạng tích số f(x).g(x)

f(x) 0 f(x).g(x) 0

g(x) 0







Ví dụ Giải các phương trình sau:

a) log x 2.log x2  7  2 log x.log x2 7 b) log 3x 2 log x  5  2log x 23   c) ln x.ln x 1   ln x d) log 3x 1 log x2   3 2log 3x 12  

2 log x log x.log 2x 1 1 

Phương pháp 5: Phương pháp đồ thị

Bài toán: Giải phương trình log xa  f(x) 0 a 1 (1)

Cách giải: + (1) là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường

y log xa 0 a 1 và y = f(x) + Vẽ đồ thị các hàm số y log xa 0 a 1 và y = f(x) + Kết luận: nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đường

Ví dụ Giải các phương trình:

a) log x2  3 x b) log x3 11 x c) 1

3

log x  3x

d) log x4 4 e) f)

x

2

log x 16 log x3  4 x

Phương pháp 6: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số logarit Ghi nhớ:

+ Nhẩm 1 nghiệm x = x0

+ Chứng minh x = x0 là nghiệm duy nhất ( dùng tính tăng, giảm của hàm số logarit )

Ví dụ Giải các phương trình sau :

a) log x log 2x 12  5  2 c) x d)

2

log x 2  2 2

x

2

3

1

b) log (x2 2  x 6) x log (x 2) 42   e)  2   

log x 4  x log 8 x 2  

Phương pháp 7: Dùng hàm số logarit làm ẩn số Ghi nhớ: Chọn (thích hợp) t log xa 0 a 1 làm ẩn số

Ví dụ Giải các phương trình

a)   2 

log x  x 5 log x 2x 6    0 b) lg x2 2  1 x2 5 lg x  2  1 5x2 0

c) lg x lg x.log 4x 2log x2  2  2 0

C BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Loại 1: Bất phương trình logarit cơ bản Dạng 1: log xa b 0  a 1 , b R 

 a > 1: log xa   b x ab Tập hợp nghiệm Sa ; b  

 0 < a < 1: log xa    b 0 x ab Tập hợp nghiệm S0 ; a b 

Dạng 2: log xa b 0 a 1 , b R 

 a > 1: log xa   b x ab Tập hợp nghiệm    

 b

S a ;

 0 < a < 1: log xa    b 0 x ab Tập hợp nghiệm  



b

S 0 ; a Dạng 3: log xa b 0 a 1 , b R 

 a > 1: log xa    b 0 x ab Tập hợp nghiệm S0 ; a b 

 0 < a < 1: log xa   b x ab Tập hợp nghiệm Sa ; b  

Dạng 4: log xa b 0 a 1 , b R 

 a > 1: log xa    b 0 x ab Tập hợp nghiệm  



b

S 0 ; a

 0 < a < 1: log xa   b x ab Tập hợp nghiệm    

 b

S a ; Loại 2: Bất phương trình logarit đơn giản

Phương pháp: Để giải các bất phương trình logarit đơn giản, ta có thể biến đổi đưa

về bất phương trình logarit cơ bản hoặc bất phương trình đại số

Ghi nhớ:

loại 1: log f(x)a log g(x)a a 1

f(x) g(x) 0







g(x) 0 f(x) g(x)









log f(x)a log g(x)a 0 a 1

0 f(x) g(x)

 





f(x) 0 f(x) g(x)

 







Tổng quát:

f(x) 0 log f(x) log g(x)

g(x) 0

a 1 f(x) g(x) 0











loại 2: log f(x)a log g(x)a a 1

0 f(x) g(x)







f(x) 0 f(x) g(x)









log f(x)a log g(x)a 0 a 1

f(x) g(x) 0

 





g(x) 0 f(x) g(x)

 







Tổng quát:

f(x) 0 log f(x) log g(x)

g(x) 0

a 1 f(x) g(x) 0











Ví dụ 1: Giải các bất phương trình

1 2

2

log log x 1 1 log20,2 x 5log 0,2x  6

d) log x 33  log x 53   1 e) 1 2 f)

2

x 7





3

log log x 0

5 lg x 1 lg x 

ln x 2

0

ln x 1







Ví dụ 2: Giải các bất phương trình

a) lg x 2  x 22lg 3 x   b) ln x 2 ln x 4  3ln2 c) 2x 7 ln x 1     0

d) x 5 lg x 1     0 e) 2log x 5log x log x 232  22  2  0 f) ln 3e x 2 2x

Ví dụ 3: Giải các bất phương trình

a) log (5xx 2 8x 3) 2 b) 2 3 c)

3

log log x 3 1 log3x x2 3 x 1



x

log 64 log 16  3

Ví dụ 4: Giải các bất phương trình

4

  

2x 3

1 x



x 2 log3 x





1

2

1

3 3





BÀI TẬP LÀM THÊM

B1 Cho phương trình: 4x2 m.2x 1 2m0 (1)

1 Giải phương trình khi m = 2

2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 sao cho x1 + x2 =3

B2 YDượcHCM99

1.Giải bất phương trình: ( a là tham số dương và khác 1)

3 a

a

log (35 x )

3 log (5 x)





 2.Xác định các giá trị của tham số m để bất phương trình sau đây có nghiệm:

4x – m.2x + m + 3 0

B3 KA2004 Giải hệ phương trình:     







4

1

y

B4 KA2002 Cho phương trình: log x23  log x 1 2m 1 023     (2), với m là tham số.

1 Giải phương trình (2) khi m = 2.

2 Tìm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3

1;3





B5 Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: 5.16x 2.81x m.36x

B6 Tìm m sau cho bất phương trình: 1 log (x 5 2  1) log (x5 2 4x m) 0 có nghiệm x[2,3] B7 Tìm m để phương trình: 1 x có nghiệm

1 x

1

3





B8 Cho bất phương trình: 2   (BK93)

log x  1 log ax a

1 Giải bất phương trình khi a = –2

2 Tìm các giá trị của a để bất phương trình có nghiệm

B9 Cho hàm số ( KTrúcHN95)

2 2

1 sin x

f(x)

1

2







 

  Tìm m để f(x)0 với mọi x

B10 Cho bất phương trình: x 2xx2  x2 ax.2x a.2 2xx x2 (QGHCM95, KA)

Tìm các giá trị của a để bất phương trình có ít nhất một nghiệm x > 1

B11 (QGHCM95, KB)

1 Giải phương trình

x

3  4 5

2 Tìm a để hệ bất phương trình sau đây có nghiệm

x

4







2

1

2





    



1 Giải hệ khi b = 1

2 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm với  b  0;1

B13 Cho bất phương trình  2  (BK94)

2

log x ax 2

1 Giải bất phương trình khi a = 3

2 Tìm giá trị lớn nhất của tham số a để x = 1 là một nghiệm của bất phương trình B14 (YDược 95)

1 Tìm a để  x R,  2

f(x) x 2 2 x a 3

2 Cho bất phương trình: m.92x2x (2m 1).6 2x2x m.42x2x 0 Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 1

2

 B15 Giải các hệ phương trình, hệ bất phương trình sau:

x

1

3

4











x y

y x

2 3 12

2 3 18









y 2 2y 3





















d) 4x 4y 1 (YDược HCM98) e)



  





  



f)  2x y 1 2x y 2x y 1 g)

y 4x 1 ln(y 2x) 0







x

x 1 lg2 lg 2 1 lg 7.2 12 log x 2 2







