Hình vẽ phục vụ tốt cho lời giải có thể với cách giải khác Vì S là đỉnh, H là tâm của hình tròn đáy của hình nón nội tiếp mặt cầu tâm O nên H thuộc đường kính SS’ của mặt cầu.. Đặt SH = [r]
Trang 1Đề số 17
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2008 – 2009
Môn TOÁN Lớp 12
Thời gian làm bài 90 phút
I PHẦN CHUNG: (7,0 điểm)
Câu I: (3,0 điểm) Cho hàm số y x 33x1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:
x3 3x 1 m 0
3) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm có hoành độ x0 = 2
Câu II: (3,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: A =
2+ 7 2+ 7 1+ 7
14
2 7 2) Giải các phương trình sau:
a) 9 10.3x x 9 0 b) x
x
4
1 log ( 3) 1 log
Câu III: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, cạnh SA vuông
góc với đáy, góc ABC bằng600, BC = a và SA = a 3 Tính thể tích của khối chóp đó
II PHẦN RIÊNG: (3,0 điểm)
A Theo chương trình chuẩn:
Câu IVa: (3,0 điểm)
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 x trên đoạn [1; 3]
2
log ( 1)
2) Cho hình nón có đỉnh S, mặt đáy là hình tròn tâm O, đường kính AB = 2R và tam giác SAB
vuông
a) Tính thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón đó
b) Giả sử M là một điểm thuộc đường tròn đáy sao cho BAM30 0 Tính diện tích thiết diện
của hình nón tạo bởi mặt phẳng (SAM)
B Theo chương trình nâng cao:
Câu IVb: (3,0 điểm)
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3 x 2 x x trên
3
đoạn 1 ;4
4
2) Cho mặt cầu tâm O, bán kính bằng R Xét một hình nón nội tiếp mặt cầu có bán kính đáy
bằng r Tính diện tích xung quanh hình nón.
––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 2Đề số 17
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2008 – 2009
Môn TOÁN Lớp 12
Thời gian làm bài 90 phút
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 1.5 điểm
y’ = 3x2 – 3, y ' 0 x 1
x < – 1 hoặc x > 1;
HS đồng biến trên các khoảng ; 1 ; 1; và nghịch biến trên khoảng (–1; 1)
yCĐ = y(–1) = 1và yCT = y(1) = –3
0.25
Bảng biến thiên:
x – –1 1 +
y’ + 0 – 0 +
y 1 +
– –3
0.25
Đồ thị:
+y'' 6 x, y'' = 0x = 0
Đồ thị có tâm đối xứng là điểm (0; –1) + Các điểm khác thuộc (C) là (– 2; – 3), (2; 1)
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
1
2 -2
-3
-1
0.50
2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của
phương trình:x33x 1 m 0 1.0 điểm
Ta có: x3 3x 1 m 0 x33x 1 m(2) 0.25
(2) là PT HĐGĐ của (C) và (d): y = m, (d) song song hoặc trùng với
Ox Số nghiệm của PT (2) đúng bằng số giao điểm của (C) và (d). 0.25
Dựa vào đồ thị (C) ta có:
– Khi m < –3 hoặc m > 1: (d) cắt (C) tại 1 điểm nên phương trình có
1 nghiệm duy nhất
– Khi m = –3 hoặc m = 1: (d) và (C) có hai điểm chung phân biệt
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
– Khi –3 < m < 1: (d) cắt (C) tại 3 điểm phận biệt nên phương trình
có 3 nghiệm phân biệt
(đúng 2 ý cho 0.25)
0.50
Trang 33 Viết PTTT của đồ thị (C) tại tiếp điểm có hoành độ x 0 = 2 0.5 điểm
x0 = 2 y0 = 1
PT tiếp tuyến của (C) tại điểm (2; 1) là:
1
Rút gọn biểu thức: A =
2+ 7 2+ 7 1+ 7
14
2 7
1.0 điểm
A =
2 7 1 7 2 7 1 7
2 7
2 7 1 7
1 7
7
PT x 2 x
Đặt t 3 x> 0 ta được phương trình theo t: t2 – 10t + 9 = 0
t = 1 hoặc t = 9
Với t = 1 ta được 3x = 1 x = 0
2.b
Giải phương trình x
x
4
1
x
1
Khi đó:
PT log (4 x 3) 1 log4x log4xlog (4 x3) = 1 0.25
x
4
3
x
x = 4(x – 3) 3x = 12 x = 4 (thoả mãn điều kiện)
III Tính thể tích của khối chóp SABC (1.0 điểm)
a
a 3
60 0 A
C
B
S
0.25
Diện tích ABC: dt(ΔABC) = CA.CB1
2
2
= a 3.a = a
Trang 4Theo giả thiết SA = a 3 là chiều cao của hình chóp
Vậy thể tích của khối chóp là:
1
V = dt(ΔABC).SA
0.25
1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y 1 x trên đoạn [1 ; 3]
2
log ( 1)
1.0 điểm
Đặt t = x +1 ,x [1; 3] t [2; 4]
Khi đó hàm số đã cho trở thành 1
2
Vì 0 < a = 1< 1 nên hàm số nghịch biến trên
2
Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [2; 4] là 1
2 log 2 1
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2; 4] là 1
2
log 4 2 (đúng 1 ý cho 0.25)
0.50
2
2.a Tính thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón đó 1.0 điểm
Ta có SA và SB là các đường sinh của hình nón nên SA = SB Theo giả thiết thì tam giác ASB vuông tại S có SO là trung tuyến nên chiều cao hình nón là: h = SO = AB = R 1
2
0.25
Thể tích khối nón là V= dtđáy.SO = 1
3
3 2
πR R =
30 R H
O S
A
B
M
Nếu hình vẽ chỉ để phục vụ câu a) cho 0.25
0.50
2.b Tính diện tích thiết diện của hình nón tạo bởi mp(SAM) 1.0 điểm
Vì M thuộc đường tròn đường kính AB nên tam giác ABM vuông tại
M có góc A bằng 300
MA =AB.cosA = 2R.cos300 =
0.25
Vì tam giác SOM vuông tại O nên OS = OM = R SM = R 2
Gọi H là trung điểm MA, ta có MH = 1MA = R 3
0.25
Trang 5SH MA SH SM2MH2 2R2 3R2 R 5
Mp(SAM) cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SAM cân đỉnh S
có SH là đường cao.:
2 ΔSAM
0.25
1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
3
4
2
4
Bài toán trở thành: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
trên đoạn [–2; 2]
y 1t3 t2 3 1t
3
0.25
; 2
y' = t + 2t - 3 y' 0 t 1 [ 2; 2] t 3 [ 2; 2] 0.25
y( 2) 8 4 6 1 25
y(2) 8 4 6 1 5
0.25
Vậy GTLN của hàm số là 25, GTNN của hàm số là
4
2 3
2 Cho mặt cầu tâm O, bán kính bằng R Xét một hình nón nội tiếp
mặt cầu có bán kính đáy bằng r Tính DTXQ hình nón 2.0 điểm
r R
H O S
M
S'
Hình vẽ phục vụ tốt cho lời giải (có thể với cách giải khác)
0.25
Vì S là đỉnh, H là tâm của hình tròn đáy của hình nón nội tiếp mặt cầu tâm O nên H thuộc đường kính SS’ của mặt cầu
Vì M thuộc đường tròn (H) nên tam giác MSS’ vuông tại M r2 MH2 SH S H h R h ' (2 )
h2 – 2Rh + r2 = 0 h = R R2r2 hoặc h R R2r2
0.50
Trang 6* Nếu SH = h = R R2r2 thì độ dài đường sinh hình nón:
l = SM = SH2HM2 h2r2= 2R22R R2r2
Diện tích chung quanh của hình nón:
S xq rl r 2R22R R2r2
0.50
* Nếu SH = h = R R2r2 thì độ dài đường sinh hình nón:
l = SM = SH2HM2 h2r2= 2R22R R2r2
Diện tích chung quanh của hình nón:
S xq rl r 2R22R R2r2
0.50
Nếu học sinh chỉ tìm được một trong hai kết quả trên (có thể với
cách trình bày khác) thì cho nửa số điểm của câu này
============================