Giải phương trình vi phân tìm nghiệm tổng quát - Đưa phương trình về dạng chính tắc.. - Giải phương trình chính tắc tìm nghiệm tổng quát..[r]
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Chương 1.
I Đưa phương trình về dạng chính tắc và phân dạng
Cho phương trình: aUxx bUxy cUyy F(x,y,U,Ux,Uy)0
Xét phương trình đặc trưng: a(y')2 by'c0 và b2 4ac
* Nhận dạng phương trình chính tắc:
Nếu: 0 thì pt chính tắc có dạng U F1(,,U,U,U), thuộc loại hyperbol
0
loại ellip
thì pt chính tắc có dạng , thuộc loại
0
parabol
* Tìm phương trình chính tắc:
- Giải phương trình đặc trưng: a(y')2 by'c0 (*)
Trường hợp 1 0 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt y (x)C1
và yg(x)C2 Đặt (x,y) yf(x);(x,y)yg(x)
Trường hợp 2 0 Phương trình (*) có 2 nghiệm phức liên hợp
Đặt C i )
x
(
g
)
y
,
x
(
f (x,y)f(x,y);(x,y)g(x)
Trường hợp 3 0 Phương trình (*) có nghiệm kép yf(x)C Đặt
) x ( f y
)
y
,
x
) y , x ( D
) , ( D
- Sử dụng phương pháp đổi biến đưa phương trình về dạng chính tắc
II Giải phương trình vi phân tìm nghiệm tổng quát
Trang 2Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOL
I Bài toán Cauchy
) x ( h ) 0 , x ( U
) x ( g ) 0 , x ( U
, 0 R ) t , x ( );
t , x ( f U a U
t
xx
2 tt
Phương trình nghiệm tổng quát như sau:
d d ) , ( f a 2
1 dy ) y ( h a 2
1 ) at x ( g ) at x ( g 2
1
)
t
,
x
(
U
t
0
a x
a x
at x
at x
II Bài toán biên ban đầu
0 ) t ,l ( U ) t , 0 ( U
) x ( h ) 0 , x ( U );
x ( g ) 0 , x ( U
, 0 l , 0 ) t , x ( );
t , x ( f U a U
t xx
2 tt
Trường hợp 1 f(x,t)0, ta có công thức nghiệm:
x l
n sin t l
a n sin B t l
a n cos A )
t , x ( U
1
l
n sin )
x ( g l
2 A
l
0
l
n sin )
x ( h a n
2 B
l
0
Trường hợp 2 f(x,t)0, ta có công thức nghiệm:
x l
n sin ) t ( T )
t , x ( U
1 n n
l
n sin )
, x ( f d ) t ( l
a n sin a n
2 T
t
0
l
0
với
0
l
a n sin ) ( f a n
l
0
l
n sin )
, x ( f l
2 ) ( f
Trang 3Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH ELLIP
I Bài toán Dirichlet trong hình tròn S bán kính R
f(S) U
0 U U
U S
yy xx
Bằng cách đổi tọa độ cực xrcos;yrsin ta có công thức nghiệm tổng
0 n
n n
n
n sin B n cos A R
r )
,
r
U
2
0
2
1
2 0
n 1 f( )cosn d
2 0
n 1 f( )sinn d B
II Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật
) y ( h ) y , a ( U ) y , 0 ( U
) x ( g ) b , x ( U ) 0 , x ( U
b , 0 a , 0 ) y , x (
; 0 U
Ta có phương trình nghiệm tổng quát:
x a
n sin e B e
A )
y , x ( U
1 n
y a n n
y a n n
) y ( h ) y , a ( U ) y , 0 ( U
) x ( g ) b , x ( U ) 0 , x ( U
n
n,B A
Trang 4Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH PARABOL
I Bài toán Cauchy
) x ( g ) 0 , x ( U
) , 0 ( R ) t , x ( , U a
t
Ta có công thức nghiệm:
t a 2
1 )
t , x (
x
2 2
II Bài toán biên ban đầu thứ nhất
0 ) t ,l ( U ) t , 0 ( U
l x 0 );
x ( g ) 0 , x ( U
V ) t , x ( );
t , x ( f U a
t
Trường hợp 1 f(x,t)0, ta có phương trình nghiệm tổng quát:
x l
n sin e
C )
t x (
U
1 n
t l a n n
2
l
n sin )
x ( g l
2 C
l
0
Trường hợp 2 f(x,t)0, ta có phương trình nghiệm tổng quát:
x l
n sin ) t ( T )
t , x ( U
1
n n
t
0
t l a n n
a n
l ) t ( T
2
0
l
n sin )
, x ( f l
2 ) ( f