Giới thiệu các đề thi về hệ phương trình Từ năm 2000 đến năm 2012

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm... 27 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm 4..[r]

Tư liệu: Giới thiệu cỏc đề thi về hệ phương trỡnh

Từ năm 2000 đến năm 2012

Các đề thi ĐH năm 2000

Bài 1: ĐHSP Hà Nội KA:

Giải hệ phương trình :  

 







Giải : Từ (2) suy ra x ≠ 0 , chia các vế cho x2 :

2

2

2

2

y y

6

x x

1

y 5

x



 



 

  



2

y 1

x x







Đặt u y; v 1 y ta được hệ :

x x

  

 

2

2

3

u

2

v 2u 5 v 5 v 5v 12 0 *

.v 6 2







(*) Û (v-3)(v2+3v+4) = 0 Û v=3; u = 2

Vậy hệ có nghiệm là (1;2) hoặc

y 3

1

y 2 y 1 y 2

x

     



1

;1 2

 

 

 

Bài 2: ĐHSP Hà Nội K B,D:

Giải hệ phương trình : x24 y24 xy 72 2







Giải : Đây là hệ đói xứng loại 1 , Biến đổi về dạng :

2 2

2



2

2 2 2

x y 7 xy

7 xy x y 21

   



 



           

2

xy 2

xy 2







Bài 3 : ĐHSP tp HCM-K A,B

Giải hệ phương trình :  

 







HD: Từ (1) và (2) ta có : 2(x2+2xy+3y2=9(2x2+2xy+y2)

Û16x2+14xy+3y2=0 (3)

Dễ thấy x=0 không thoả mãn hệ, do đó (3) Û 2

x 1

y 2

x 3

y 8

  







Với x 1 y 2x Thế vào (2) ta có x2=1Û x Từ đó hệ có hai nghiệm là :

(1;-2), (-1;2)

Với x 3 Thế vào (2) ta có x2= Từ đó hệ có hai

y   8 y 8x.

3

17

3 17 17

 

nghiệm là 3 17; 8 17 ; 3 17 8 17;

ĐS : hệ có 4 nghiệm là (1;-2), (-1;2), 3 17; 8 17 ; 3 17 8 17;

Bài 4 : ĐHGTVT Hà Nội

Giải hệ phương trình : xy x y 112 2

  







HD : Đây là hệ đối xứng loại 1

ĐS: Hệ có 4 nghiệm là :        1;5 , 5;1 , 2;3 , 3; 2

Bài 5 : ĐHTCKT Hà Nội

Giải hệ phương trình :  

 

log y log x

log x log y 1 2







Giải : Từ (2) :log4 x 1 x 4 x 4y Thay vào (1) :

y      y

 log y 8 log 4y8 log y8 log y8 log 4 log y8 8

4y  y   4 4 y  y y  4

2log y 2log 2 2

8

2log 2 2

8 8

log y

8

8

8

log 2

log y



Đặt t log y  8 thì phương trình thành : 2t +3t2=1Û 3t2 +2t – 1 = 0Û

1 t 3

 





 



Từ đó hệ có hai nghiệm là

8

8

y 8 1

3

 





 8; 2 , 1 1;

2 8

 

 

 

Bài 6 : ĐHMĐC Hà Nội

Giải và biện luận theo tham số a hệ phương trình :  

 

2

a x y xy

x y a 1 1

2 4   2 2

   









HD : Từ (2) : 2 2 x y xy     2 1 a 2  2 x y xy     1 a 2

Từ (1) : y =1-x-a

Hệ trở thành :

   2   2

1 x a

 



 



 2  2  2

' 1 a 2 1 a 1 a 0

        

Với a=1 thì phương trình (*) có nghiệm là x=0  y=0 Vậy hệ có một nghiệm là (0;0) Với a≠ 0 thì phương trình (*) vô nghiệm  hệ vô nghiệm

Bài 7: ĐH ngoại ngữ

Giải hệ phương trình : 2x2 y2 z2

xyz 64







Với điều kiện ba số log x, log y, log zy z x theo thứ tự đó tạo thành một cấp số nhân

Giải : Từ giả thiết ta có : 2

log x.log z log y 

Hệ trở thành : 2 2

2

x y z 4







Bài 8: ĐH An ninh K-A

Tìm tất cả các giá trị a để hệ phương trình :

 

x 2xy 3y 8 1 2x 4xy 5y a 4a 4a 12 105 2

   







Có nghiệm

Giải : Đểgọn ta đặt vế trái của phươngtrình (2) bằng m

Xét hệ :   Các phương trình của hệ có vế trái đẳng cấp bậc hai

 







đối với x và y

Từ (1) suy ra x≠ 0, ta đặt y=tx , dẫn tới hệ :    







Từ (3) suy ra 1-2t-3t2> 0 1 t 1

3

   

Chia từng vế của (3) cho (4) ta có :

2

2 2

1 2t 3t 8

2m 40 t 2 m 16 t 16 m 0 *

2 4t 5t m

 

Vậy phương trình (*) phải có nghiệm thoả mãn 1 t 1

3

  

Gọi f(t) là vế trái của phương trình (*)

Ta xét hai trường hợp :

Trường hợp 1: có một nghiệm thoả mãn : 1 t 1Û

3

   f 1 f 1 0

3

 

  

 

Dễ kiểm nghiệm thấy điều kiện này không thoả mãn

Trường hợp2: có cả hai nghiệm thoả mãn : 1 t 1

3

  

' 0

3m 40 f ( 1) 0

1 m 3 105 3m 40 f 0

3

S 1

1

2 3

 





        



   



    

m 3 a 4a 4a 12 105 3 105

a 4a 4a 9 0 a 1 a 3 a 2a 3 0

a 1 a 3

         

    

Bài 9: ĐHCSND-KA

Cho hệ phương trình :  

 

x xy y m 2 1







1 GiảI hệ với m = -3

2 Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất

Giải : Hệ đã cho   Đặt u=x+y; v=xy thì hệ trở thành:



 



u v m 2

u.v m 1

  





Với m=-3 thì hệ trở thành :

  



  



v 1

u 1

 



  





Với u=-2; v=1 ta có hệ :  

  





Với u=1; v=-2 ta có hệ :  

x y 1

  







 











Vậy hệ có ba nghiệm là   1; 1 , 1; 2 , 2; 1     

Xét hệ phương trình  

 

x xy y m 2 1







Phương trình (2)Û(x+y+xy)-(x2y+xy2)=(m+2)-(m+1) Û

Û(x+y-1)(1-xy) =0 Ûx y 1xy 1 



Hệ đã cho tương dương với hai hệ:

A

x y 1

B

xy 1





 











Xét hệ (A) : Hệ (A) Û x y 1 Đây là hệ đối xứng loại 1, vì thế để hệ có

xy m 1

 





nghiệm duy nhất thì phải có x=y

Với x=y thì hệ trở thành 2

1 x

3

x m 1 m

4

 







 



Xét hệ (B) : Hệ (B) Ûx y m 1xy 1  



Với x=y thì hệ trở thành : 2

x 1

m 1 2x m 1

  



 



 







Thử lại ta thấy hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=1;m= 3

4



Bài 10 : ĐH Thương Mại

Cho hệ phương trình ; x ay a o2 2







1.Tìm các giá trị của a để hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt

2.Gọi x ; y , x ; y 1 1  2 2là các nghiệm của hệ đã cho, hãy chứng minh:

  2 2

x  x  y  y  1

Dấu bằng xảy ra khi nào?

Giải : Ta giải hệ này bằng phương pháp hình học

Hệ được viết lại là :

 

 

2 2

x a(y 1) 0 1

x y 2

  





    

 



Phương trình (1) biểu thị một đường thẳng quay quanh một điểm A(0;1) cố định 

Phương trình (2) biểu thị một đường tròn (C) tâm I 1;0 , bán kính R=

2

 

 

 

1 2

Hệ có hai nghiệm Û  cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt Û

1 a 1 2

2

1 a





3a 4a 0 0 a

3

     

2 Với 0<a< thì 4 và MN 2R=1

3       C  M, N 

  2 2  đpcm

Bài 11 :ĐH Thuỷ Lợi.

GiảI hệ phương trình : 2 2 2

3x x.log 3 log y y log

2 2y x.log 12 log x y log

3







GiảI : TXĐ : x>0; y>0 Khi đó ta có :

3x log (3 y) log (2 )

2 2y log (12 x) log (3 )

3







Û

3

3 y x.2

2 2

12 x y.3

3

 



 



 

 

y x

3 x.2 3 y 1 2

2

12 x 3 y 2

3



 



Chia từng vế của (1) cho (2) ta được :

 

3 2 3 3

6 36 6 6 y 2x 3

2 12  2 3      

Thay (3) vào (1) ta được : 3 2x x x 1 x 1

x.2 3 2x 4 3 x 1 0 x 1 2

y=2

Vậy nghiệm của hệ là (1;2)

Bài 12 : ĐH Nông Nghiệp 1-KA

GiảI hệ phương trình :  

 

x 5 y 2 7 1

x 2 y 5 7 2

    





   



GiảI : TXĐ : x≥2; y≥2 Lúc đó hệ đã choÛ







Đây là hệ đối xứng loại 2

Trừ từng vế hai phương trình,ta được : x 5 y 2     x 2 y 5    

Û…Û x=y

Thay kết quả này vào (3) :

2

x 11

 





Vậy hệ có nghiệm là : x=11

Bài 13 : ĐH Dân lâp Phương Đông –KA

GiảI hệ phương trình :  

 







GiảI : Đây là hệ phương trình có vế tráI đẳng cấp bậc hai đối với hai ẩn

Đặt y=tx thì :  



t 2







ới t=2 thì y=2x và phương trình (1) trở thành :12x2=12Ûx=±1

x 5 x 2    

Y=±2

Với t=0,2 thì y=0,2x và phương trình (1) trở thành : 2 50 2 2

      

Vậy hệ có 4nghiệm  1; 2 ,  5 2; 2

11 11

Bài 14:ĐH Thuỷ Sản Đợt 2

Cho hệ phương trình : x 1 y 1 3 A 

x y 1 y x 1 y 1 x 1 m

    





       



1 GiảI hệ phương trình với m=6

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm

GiảI :

x 1 y 1 3

x 1 y 1 y 1 x 1 m

    





     



Đặt u  x 1; v= y 1; u 0; v 0     , thì hệ trở thành:

 

   

u v 3 3

u v 3

u v 3

B m

uv u v m

u v v u m uv 4

3

 



 

1 với m=6 ta có hệ phương trình :

u v 3

 

Vậy với m=6 thì hệ có hai nghiệm là :   0;3 , 3;0

2 Tìm m để hệ có nghiệm:

Do u 0; v 0   thì từ (4) suy ra m>0

Hệ (A) có nghiệm Û Hệ (B) có nghiệm dương

Từ (3) : v=3-u Thay vầo (4) :   m 2 m (*)

u 3 u u 3u 0

     

Bài toán dẫn đến : Tìm m sao cho phương trình (*) có nghiệm thoả mãn :

0 u 3  

Gọi   2 m

f u u 3u

3

  

Ta xét hai khả năng:

a) Phương trinh(*) có một nghiệm thoả mãnđiều kiện 0 u 3   Û Û

    m m

f 0 f 3 0 0 m 0

3 3

b) Phương trinh(*) có hai nghiệm thoả mãnđiều kiện 0 u 3   Û

Û  

 

4m

3 m 1.f 0 0

27

1.f 3 0

3

b 3

2a 2

   







  







    



Vậy với :0 m 27 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm

4

 

Bài 15 : ĐH Dân Lập Hải Phòng-K B,D

Giải hệ phương trình :

 

 

xy 1

3

x y xy 2

2

   





  



Giải:Do đk:x≠ 0: y≠ 0.phương trình (2) Û 1 1y x 32 Hệđã cho

Với

1 1 1

xy

x y 2

2 2

1 1 3 1 1 3

x y 2 x y 2





     

 

 

1 u.v 3 2 3

u v 4

2

 



 

  



u ; v=



u 1

1

v

2













x 1

y 2







hoặc

1

u

2

v 1

 





 



x 2

y 1







Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là :    1; 2 , 2;1

Bài 16 : ĐHQG Hà Nội K-B

Giải hệ phương trình :  

 







Giải:Đây là hệ đối xứng loại 2

Trừ từng vế hai phương trình ta được:







Hệ đã cho

 

2x 3x y 2

a

y x 2x 3x y 2

b

y x 1

   









    





    



Giải hệ (a) ta được hai nghiệm là   1;1 , 2; 2

Giải hệ (b) ta được hai nghiệm là 5 21; 7 21 , 5 21; 7 21

ĐS: Hệ đã cho có 4 nghiệm là :    1;1 , 2; 2 , 5 21; 7 21 , 5 21; 7 21

Các đề thi năm 2001

Bài 17: ĐHSP Hà Nội –Khối B, M, T

GiảI hệ phươngtrình :  

 

3 3

x y 2xy 2 2







GiảI : Đây là hệ đói xứng loại 1

Hệ đã cho     Û

2

 



 

2

u u 3v 8 3

u 2v 2 4





 



Với u=x+y; v=xy

Û

2 u

2 2

v 0









x 0

y 2

x y 2

y 0

  



 





Bài 18:ĐHSP Vinh Khối D, M, T

Giải hệ phương trình :  

 

5 5

x y 1 1







GiảI : (2) Û x 1 x 4  5 y 1 y 4  5 0 (*)

(1)  1 y 5  x 5   1 x 5  y 5

Thay vào (*) ta được : x4.y5+y4.x5=0   4 4

x 0







  



Với x=0 thì y=1; Với y=0 thì x=1

Với y=-x thì x5+y5=0 (loại)

Vậy hệ có hai nghiệm là    0;1 , 1;0

Bài 19 :ĐH Thuỷ Lợi

Giải hệ phương trình :  

 

2 2

3 2x y 1

x 3 2y x 2

y

  





  



Giải : Đây là hệ đối xứng loại hai đối với hai ẩn.

3 2

3 2

3 3

3 2

2x x y 3 3 2x x y 3

2 x y xy x y 0 4 2y y x 3

  

  

 

Xét (4) x y 2x    2  2y 2  3xy   0 x y vì (2x2+2y2+3xy=

2

2

Thay y=x vào (3) ta được : x=y=1

Bài20: ĐH Nông Nghiệp 1-KA

Giải hệ phương trình :    

 

2

3 3

x y y 2 1

x y 19 2

  





 



Giải : Đặt x = ty , thì hệ đã cho  

2 3

t 1 y 2

t 1 y 19

  



 



2 3 2

t 1 y 2 3

t 1 19

4 2

t 1

  



   

 



GiảI (4)  2 t 2    t 1 19 t 1   2t 2  17t 21 0   3 3

t 7 y , x=

18 18 3

t y 2, x=3 2

   







   



Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 37 ;31 , 3; 2 

Bài 21: ĐH Thái Nguyên – Khối A, B, T

Giải hệ phương trình : x33 1 2y

  





 



HD: Đây là hệ đối xứng loại hai đối với x, y

ĐS : hệ đã cho có ba nghiệm là : 1;1 , 1 5; 1 5 , 1 5; 1 5

Bài 22 : ĐH Luật -ĐH Dược Hà Nội

Xác định các giá trị của tham số a để hệ phương trình sau đây có nghiệm

(x,y) với mọi giá trị của tham số b:

 

 

5 5







Giải : Vì hệ có nghiệm với mọi b, nên hệ có nghiệm với một giá trị nào đó của b; chẳng hạn với b=0.Lúc đó hệ trở thành :   5 5

2

1 a







*Với a=1 hệ trở thành : ybx5 1 4 y 1bx Hệ này không có nghiệm với mọi



 



b,chẳng hạn với 1-2b<0 b 1 Vậy a=1 bị loại

2

 

*Với a=-1 hệ trở thành : bx2x5 y5 1 2x5 y5 1

bx 0





Rõ ràng với mọi b, hệ có nghiệm x=0, y=1

Vậy a=-1 chấp nhận được

Bài 23 : ĐH Ngoại Thương khối A

Giải hệ phương trình : x36 3x y6 3 3y







Giải : Hệ đã cho      

 

 

 

6 6

2 2

2 2

6 6

6 6

x y 0

A

x y 1

x y x y xy 3 0 1

x y xy 3

x y 1 2

B

x y 1

   





   

 





Hệ (A) cho nghiệm x=y= 61

2



Xét hệ (B) :Từ :x6+y6=1 x 1; y 1;    x 2  1; y 2  1; xy 1 

Hệ (B) x62 y62 xy 1 vô nghiệm





Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 61 , 61 ; 61 , 61

Bài 24 : ĐH Thương Mại.

Giải hệ phương trình : 3 3 3







Giải : Dễ thấy điều kiện cần là x≠0 Hệ đã cho 

3 3

3

2

2

1

x

1

x , y 2

u 1

2

   





           



( với u 1 y; v=y)

 

Bài 25 : Học viện QHQT-Khối D

x y 4 1 (x y ) x y 280 2

 







Giải : Đặt u=x+y; v=xy

Lưu ý : 2 2  2 2 và

x  y  x y   2xy u   2v x 3  y 3 x y x    2  y 2  xy u(u 2  3v)

u 4





u 4

v 3

u 4

u 4 3v 40v 93 0

31 v 3

  



 











   





 







*Với u=4;v=3 ta được x 1 hoặc

y 3





 



x 3

y 1





 



*Với u=4; v= 31 ta được 4xy>(x+y)2 vô lý

3

ĐS : hệ có hai nghiệm là (1,3) ; (3,1)

Bài 26: ĐH Hàng Hải

Giải hệ phương trình :  

2

x xy y 19 x y

x xy y 7 x y

    





   



Giải :

x  xy y   x y   3xy u   3v 2 2  2 2

x  xy y   x y   xy u   v

(Với u=x-y; v=xy) thì hệ trở thành: u22 3v 19u2 Û





 



2 2







2

2

u 0

v 0

u 1

v 6

 









*Với u=0; v=0 ta có : x y 0 x y 0

xy 0

 



  



*Với u=1; v=6 ta có :

x 3

y 2

x y 1

 



 

 







Vậy hệ đãcho có 3 nghiệm là (0,0); (3,2); (-2,-3)

Bài 27: ĐH An Ninh-Khối D

Giải hệ phương trình : x y 1 2xy2 2

  







Giải : Đặt u=x+y; v=xy thì hệ đã cho 2 2

u 1

v 0

u 2v 1 u 2v 1

u 2

u 2v 1 u u 2 0

3 v 2

  



 









 







Với u=1;v=0 thì ta có x 0; hoặc

y 1





 



x 1

y 0





 



Với u=-2; v= thì ta có 3  phương trình vô nghiệm

x y 4xy 4 4 2 0

2

      

ĐS: Hệ đã cho có hai nghiệm là (0,1); (1,0)

Bài 28 : Học viện Quân y.

Giải hệ phương trình :  

 

x y x y 2 1

x y x y 4 2

    





   



Giải : Từ (1) suy ra x y   x y     x y 0

Với đk này thì hệ đã cho Û Û  

2

2 2

5

2

x y 6 x



  

  



Bài 29 : ĐH Dân Lập Đông Đô

Giải hệ phương trình :  

 

x 9 y 7 4 1

y 9 x 7 4 2

    





   



Giải : Đây là hệ đối xứng loại 2

Cách 1 : sử dụng phương pháp đánh giá

Đk:

x 9 y 7 x 9 16 4

x 7

y 7 y 9 x 7 y 9 16 4

       



 

  

      

 

Suy ra hệ có nghiệm duy nhất : x 7

y 7





 



Cách 2 : sử dụng phương pháp hàm

TXĐ:x,y7;  )

 

x 9 y 7 4 3

x 9 x 7 y 9 y 7 4

    





      



Xét phương trình (4):

Xét hàm số f t  t 9   t 7  với TXĐ : t 7;  )

nghịch biến trên TXĐ

  t 7 t 9  

2 t 9 t 7

Suy ra phương trình (4)Û f t   1  f t 2     t 1 t 2 x y

Thay y=x vào phương trình (3) : x 9   x 7 4   Giải phương trình này ta được nghiệm duy nhất là x = 7

ĐS : Hệ có một nghiệm là (7;7)

Bài 30: ĐH Hồng Đức –Khối A

Cho hệ phương trình : x 2 y 2 1 k x y 1 1

x y xy 1

      





  



1 GiảI hệ với k= 0

2 Tìm tất cả các giá trị của k để hệ có nghiệm duy nhất

Giải :

1 Với k=0 thì ta có hệ : x2 y2 1 1 ĐK :

x y xy 1







2 2

         

 

2 2

2 x y 2 xy 1 u 2 v 1 1

x y 2xy 1 1

u v 1 2

x y xy 1

x y xy 1

 

  

  



( với u=x+y; v=xy)

Từ đó dễ dàng giải ra

2

2ĐK : x y 02 2

 







Trong hệ đã cho vai trò của x và y là như nhau Do đó diều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là x=y

Thế x=y vào hệ ta được: 2  

2

2x 1 k 2x 1 1 k 0

x 1 2x x 1

  



Nhưng với k=0 thì hệ có ba nghiệm Vậy k=0 không là kết quả cần tìm

ĐS : Không tồn tại k thoả mãn yêu cầu đề bài

Bài 31 : Xác định tham số a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất:

 

 

2 2

x 1 y a

y 1 x a

   





  



Giải : Giả sử hệ có nghiệm là x , y 0 0 thì do vai trò của x, y như nhau ,nên

cũng là nghiệm của phương trình Vì vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy

y , x 0 0

nhất là x=y

Thay y=x vào phương trình đầu ta có :  2 2

x 1     x a x     x 1 a 0

Phương trình này có nghiệm duy nhất 1 4 1 a  0 a 3

4

       