TRƯỜNG THPT TÂY THỤY ANH ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2010-2011 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 7,0 điểm..[r]
Trang 1http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
TRƯỜNG THPT TÂY THỤY ANH ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2010-2011
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm) : Cho hàm số y = x3
– 3x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2/ Tìm m để (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc nhau
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình : sin 2x+3sinx=cos 2x+cosx+1
2 Giải bất phương trình : 2 x− −1 x+5>x−3
Câu III (1điểm) Tính tích phân I =
1
2 1
dx
Câu IV (1điểm) Cho hình hộp đứng ABCD A ’
B ’ C ’ D’ có AB = AD = a, AA ’ = a 3
2 , góc BAD bằng 60
0 .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh A’D’ và A’B’ Chứng minh AC’vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối đa diện AA’BDMN theo a
Câu V (1 điểm)
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 CMR: 3 2 3 2 3 2 3
x y+z +y z+x +z x+y ≥
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa (2®iÓm)
1 Cho tam giác ABC có đỉnh A (0;1), đường trung tuyến qua B và đường phân giác trong của góc C lần lượt có phương trình : (d1): x – 2y + 4 = 0 và (d2): x + 2y + 2 = 0
Viết phương trình đường thẳng BC
2 Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và
hai đường thẳng : (d) x 1 3 y z 2
− và (d’)
Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ∆ ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’) CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng
C©u VIIa: (1®iÓm)
n
n
x a x
a x a a
x
+ + + +
=
3 2
2 1
n
a a
a
a0, 1, 2, , biÕt r»ng n lµ sè tù nhiªn tháa m·n 2 2 2 2 1 1 1 11025
= +
n n n n n n n
n
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI b(2điểm)
1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A(2; 3) và elip (E):
1
+ = Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm của (E) (F1 có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (E); N
là điểm đối xứng của F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2.
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm B(0;3; 0 ,) M(4; 0; 3− ) Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa B M, và cắt các trục Ox Oz, lần lượt tại các điểm A và C sao cho thể tích khối tứ diện
OABC bằng 3 (O là gốc toạ độ )
3
logx y+ (3x y) log x y+ (x 2xy y ) 3
Trang 2Họ và tên thí sinh : ……… Số báo danh ………
TRƯỜNG THPT TÂY THỤY ANH KỲ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC LẦN II NĂM HỌC 2010-2011
Môn: TOÁN
ĐÁP ÁN SƠ LƯỢC – BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
(Đáp án gồm 07 trang)
Câu I
(2 điểm)
: Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx + m + 3
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2/ Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc nhau
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
(Yêu cầu đầy đủ các bước) + TXĐ
+ Khoảng đồng biến , nghịch biến
+ Cực trị
1
* Bảng biến thiên:
x -∞ -1 1 +∞
y' + 0 - 0 +
0,25đ
2
* Đồ thị:
4
2
-2
-4
y
x
-1
3
1 -1 o
0,25đ
Trang 3http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
2/ Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông
góc nhau
Xét pt hoành độ giao điểm x3-3x+1=mx+m+1
(x+1)(x2-x-m-2)=0 x =-1
g(x) = x2-x-m-2=0 (1)
0,25đ
d cắt (C) tại M(-1;3) và cắt thêm tại N và P sao cho tiếp tuyến của (C) tại đó
vuông góc với nhau
0 ( ) ( ) 1 ( 1) 0
g
g
∆ >
= −
− ≠
Câu II
(2 điểm)
1 Giải phương trình : sin 2x+3sinx=cos 2x+cosx+1
2 2
2 sin cos 1 2 sin 3sin cos 1 0 cos(2 sin 1) 2 sin 3sin 2 0
cos (2 sin 1) (2 sin 1)(sin 2) 0 (2 sin 1)(cos sin 2) 0
2
5
6
x
π
=
0,5đ
Giải bất phương trình : 2 x− −1 x+5>x−3
2
2 x− −1 x+5 > x− (1) 3 Đk:x ≥1
Nhân lượng liên hợp: 2 x− +1 x+5 >0
(2 x− −1 x+5)(2 x− +1 x+5)>(x−3)(2 x− +1 x+5) 4(x 1) (x 5) (x 3)(2 x 1 x 5)
3(x 3) (x 3)(2 x 1 x 5)
Xét các trường hợp:
TH1:x>3 thì phương trình (2) trở thành: 3>2 x− +1 x+5(3)
VP > + = >3 nên bất phương trình (3) vô nghiệm
0,25đ
Trang 4TH3: 1≤x<3nên từ bất phương trình (2) ta suy ra:
3<(2 x− +1 x+5) bình phương 2 vế ta được:
4 (x−1)(x+5)> −8 5x(4)
x
x x
− <
⇔ < <
≤ <
x
x x
≤ <
(*) nên bình phương hai vế của (4)ta được
2
9x −144x+144<0⇔8− 48<x< +8 48
0,25đ
Kết hợp với điều kiện(*) ta được: 8 48 8
5
x
− < ≤ (6)
Từ (5) và (6) ta có đs: 8− 48<x<3
0,25đ
Tính I =
1
2 1
dx
Đặt t = 1+x + x +2 1 ⇔ t – (1+x ) = x +2 1 ⇔
⇔
2
2 2 x 2x
2( 1)
t
−
−
2
2
x 2( 1)
t
−
= ⇒ = +
= − ⇒ =
0,25đ
Câu III
(1 điểm)
Vậy I =
dt
+
−
Câu IV
(1 điểm)
Trang 5
http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
N M
'
B '
A ' S
O
B A
Gọi O là tâm của ABCD , S là điểm đối xứng của A qua A’ thì M và N lần lượt là trung
điểm của SD và SB
AB=AD=a , góc BAD = 600 nên ∆ABDđều ⇒ 3, 3
2
a
SA = 2AA’ = a 3; CC’ = AA’ = 3
2
a
⇒ ∆ SAO = ∆ ACC’
⇒ SO⊥AC'
0,25đ
Mặt khác BD⊥(ACC A' ')⇒BD⊥AC' Vậy AC’
⊥(BDMN)
0,25đ
Lập luận dẫn tới
3 2
D
3
SAB
a
SA MN
3
D
AA D
7a 32
SAB
0,25đ
Câu V
(1 điểm)
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1
x y+z + y z+x + z x+y ≥
Đặt a 1;b 1;c 1
= = = ta có :
bc b c bc
x y+z + y z+x +z x+y = b+c + a+c + b+a (1)
0,25đ
Trang 6Do xyz = 1 nên abc = 1 Ta được (1) ⇔
x y+z +y z+x +z x+y =b+c+a+c+b+a Cũng áp dụng bất đẳng thức Cô si
ta được
2 a 4
b c a
b c
+
+ 2
4
b a c
b
a c
+
2
4
c a b
c
b a
+
+
a
2
b c a c b a
+ +
+ + + mà a+ + ≥b c 33abc =3 Vậy
3
x y+z + y z+x +z x+y =b+c+a+c+b+a≥ Điều cần chứng minh
0,75đ
Cho tam giác ABC có đỉnh A (0;1), đường trung tuyến qua B và đường phân giác trong của góc C lần lượt có phương trình : (d1): x – 2y + 4 = 0 và
(d2): x + 2y + 2 = 0 Viết phương trình đường thẳng BC
Câu VIa
(2 điểm)
1
Gọi ( ;C x y c c)
Vì C thuộc đường thẳng (d2) nên: ( 2C − y c−2;y c)
Gọi M là trung điểm của AC nên 1; 1
2
c c
y
0,25đ
Vì M thuộc đường thẳng (d1) nên : 1 2 1 4 0 1
2
c
y
( 4;1)
C
0,25đ
Từ A kẻ AJ ⊥d2 tại I ( J thuộc đường thẳng BC) nên véc tơ chỉ phương của đường
thẳng (d2) là (2; 1)u
→
− là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (AJ) Vậy phương trình đường thẳng (AJ) qua A(0;1)là:2x-y+1=0
Vì I=(AJ) ∩ (d2) nên toạ độ diểm I là nghiệm của hệ
4
( ; )
5
x
x y
I
y
= −
− + =
0,25đ
Vì tam giác ACJ cân tại C nên I là trung điểm của AJ
Gọi J(x;y) ta có:
0
8 11
1
J
+ = − = −
Vậy phương trình đường thẳng (BC) qua C(-4;1) ; ( 8; 11)
J − − là:
4x+3y+13=0
0,25đ
Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5)
Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :
Trang 7http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
x 9 t
y 6 8t
z 5 15t
= −
= −
= −
+ Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và cú VTCP u 1;1; 2( )
+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và cú VTCP u ' 2;1;1( )
Ta cú :
• MM '=(2; 1;3− )
1 1 1 2 2 1
Do đú (d) và (d’) chộo nhau (Đpcm)
0,25đ
2
Khi đú :
( ) ( )
11
u, u '
0,5đ
Tìm số lớn nhất trong các số a0,a1,a2, ,a n
n 2 n 1
n n 1 n 1 n n 2 n n 2 n n 2
+ Với n∈Nvà n ≥2
−
=
=
⇔
=
− +
⇔
= +
−
⇔
= +
) i
ạ lo ( 15 n
14 n 0 210 n n 105 n 2
) 1 n ( n 105 C
=
−
−
=
−
=
=
+
14
0 k
k k 14 k k 14 14
0 k
k k 14 k 14
14
x 3 2 C 3
x 2
1 C 3
x 2 1
14
=
Giả sử a là hệ số lớn nhất cần tìm ta đ-ợc hệ , k qua cụng thức khai
triển nhị thức NEWTON ta cú hệ sau :
1
1
k k
k k
+
−
≥
≥
2(15 ) 3
⇔
5 6
k k
≥
⇔
≤
0,25đ
_
0,25đ
Do k∈ N , nên nhận 2 giá trị k = 5 hoặc k = 6
0,25đ
Cõu
VIIa
(1 điểm)
Do đó a5 và a6 là hai hệ số lớn nhất, thay vào ta đượckết quả
6
5; a
a và a =5 a6
Vậy hệ số lớn nhất là
62208
1001 3
2 C a
14 6
0,25đ
Cõu VIb
(2 điểm)
Trang 81
( )
Do đó F1(-1; 0); F2(1; 0); (AF1) có phương trình x−y 3 1+ =0
⇒ M 1; 2
3
⇒ N
4 1;
3
0,5đ
⇒ NA 1; 1
3
= −
; F A2 =(1; 3)
⇒ NA.F A2 =0
⇒ ∆ANF2 vuông tại A nên đường tròn ngoại tiếp tam giác này có đường kính
là F2N
0,25đ
Do đó đường tròn có phương trình là :
2
( 1)
3 3
2 • Gọi a c, lần lượt là hoành độ, cao độ của các điểm A C, Do OABC là
hình tứ diện theo giả thiết nên ac≠0
Vì B(0;3; 0)∈Oy nên ta có phương trình mặt phẳng chắn ( ): 1
3
P
0,25đ
• M(4; 0; 3) ( )P 4 3 1 4c 3a ac
ac
Từ (1) và (2) ta có hệ
4
3
2
a
= −
Câu
VIIb
(1 điểm)
Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:
3
x
x y x y
∈
Đặt logx y+ (3x+y) log+ 3x y+ (x2+2xy+ y2)=3 (1) và 4 2.4 20
x
x y+ + x y+ = (2)
< + ≠
< + ≠
3
logx y+ (3x y) log x y+ (x y) 3
3
logx y+ (3x y) 2 log x y+ (x y) 3 (3)
Đặt t=logx y+ (3x+y)
0,25đ
Trang 9http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !
2
t
t t
=
=
Víi t=1 ta cã logx y+ (3x+y) 1= ⇔3x+y=x+y⇔x=0 thay vµo (2)
ta ®-îc : 4y+2.40=20⇔4y =18⇔y=log 184 (TM)
Víi t=2 ta cã logx y+ (3x+y)=2⇔3x+y=(x+y) (4)2
0,25đ
PT(2)
1
+ +
+ Thay (4) vµo (5) ta ®-îc
2 ( )
x y
+
§Æt t= ( )
2 x y+ >0PT(6) trở thµnh t2 + t – 20 = 0 5( )
4( )
= −
=
Víi t = 4 ta cã 2x y+ 4 x y 2 3x y 4
TM
⇔
Kết luận hÖ PT cã 2 cÆp nghiÖm (0;log 18); (1;1)4
0,5đ
HƯỚNG DẪN CHUNG
+ Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm bắt buộc cho từng bước, yêu cầu thí sinh
phải trình bầy và biến đổi hợp lý mới được công nhận cho điểm
+ Mọi cách giải khác đúng vẫn cho tối đa theo biểu điểm
+ Chấm từng phần Điểm toàn bài làm tròn đến 0.5 điểm
Người ra đề : Thầy giáo Phạm Viết Thông
Tổ trưởng tổ Toán – Tin Trường THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình