Đề cương ôn tập Toán học 10 học kỳ II

Chủ đề 8: Hệ thức lượng trong tam giác: - Áp dụng định lí côsin, định lí sin, công thức về độ dài đường trung tuyến, các công thức tính diện tích để giải một số bài toán có liên quan đến[r]

PHẦN 1: ĐẠI SỐ:

Phương pháp: nhớ và vận dụng các kiến thức sau:

1 Tính chất của bất đẳng thức

a < b và b < c  a < c Bắc cầu

a < b  a + c < b + c Cộng hai vế bất đẳng thức với một số

c > 0 a < b ac < bc

Nhân hai vế bất đẳng thức với một số

c < 0 a < b  ac > bc

a < b và c < da + c < b + d Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều

a > 0, c > 0 a < b và c < d ac < bd Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều

n nguyên dương a < b  2n 1  2n 1

b

a Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một luỹ

thừa 0< a < b  n n

b

a2  2

a > 0 a < b  a  b

Khai căn hai vế của một bất đẳng thức

a < b  3 3

b

a 

2 Các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

x x x x

a x a a

x     (a > 0)

a x a

x    hoặc xa

b a b a b

3 Bất đẳng thức Cơ-si

) 0 , 0 (



 a b a b

2

b a

ab  

xảy ra khi a = b

Áp dụng vào các bài tập: CM các BĐT sau với a,b,c,d dương và khi nào đẳng thức xảy ra ?

a) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc; b) (a+b)(1+ab)  4ab; c)

(a 2)(b 2)(c  2) 16 2abc;

d) ac+b/c 2 ab; e) (2a+1)(3+2b)(ab+3) 48ab f) (1+a/b)(1+b/c)(1+c/a) 8;

a

b b

a





b a b

a  

4 1 1

d c b a









h)

d c b a d c b

a       

16 1

1 1 1

b 2

1



c b a c b

a    

9 1

1 1

Phương pháp: nhớ và vận dụng các kiến thức trên và 2 định lý về dấu:

* Dấu của một nhị thức bậc nhất

x - ∞ -b/a + ∞ f(x)=ax +b trái dấu với a 0 cùng dấu với a

* Dấu của tam thức bậc hai

0

0

 

Cùng dấu với a

2

b x a

   0

  Pt f x( )0 có 2 nghiệm x1x2 Áp dụng "trong trái, ngoài cùng"

Áp dụng vào các bài tập: Xét dấu các biểu thức sau:



2

1 3 ) ( ) 2 1 5 7 ) ( ) ) ( ) 8 15

4

x

d) x25x6 2

e  x  x    2 

f x x  x

2

7 )

x g



 

Phương pháp: Đưa các bất phương trình về dạng f x( )0 (hay f x( )0; ( )f x 0; ( )f x 0) Rồi dùng phương pháp lập bảng xét dấu để giải (Chú ý điều kiện khi giải gặp f(x) là hàm phân thức, căn thức, có chứa dấu giá trị tuyệt đối)

Áp dụng vào các bài tập:

1 Giải các bất phương trình

2

c x  x   2

d x   x

e) x2x6 2 x 5 0 f ) x2  7 x  12  0 g) (1 – x )( x2 + x – 6 ) > 0

( 2)( 3)

1

h

x



x i

 



2

x k

x x



Phương pháp:

+ Phương trình có dấu gttd và căn: A B B 0





    

0

B





  





+ Bất pt có chứa dấu gttd và căn: (nâng cao)

Chủ đề 2: Xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai

Xét dấu biểu thức tích, thương của các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai

Chủ đề 3: Giải bất phương trình bậc hai Giải bất phương trình dạng tích (mỗi

thừa số trong bất phương trình dạng tích là một nhị thức bậc nhất) Dạng phân

thức hữu tỷ

Chủ đề 4: Giải phương trình, bất phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị

tuyệt đối, phương trình có chứa ẩn trong dấu căn bậc hai

( )

( )

 





0 0

A

 



  

 



2

0 0 0

B A

A B

B

A B

 



 





   



 



Áp dụng vào các bài tập:

a/

2 1 1

5

x

b/ x24x 9 2x7 c) x26x 6 2x1 d) x  1 x 3

e x  x f x  x  x g x x  x h x  x  x

i  x x j x  x k x  x  x l x  x  x

Phương pháp:

+ Giải hệ bất phương trình bậc nhất: chuyển các bất phương trình trong hệ về dạng: ax by c (hay

ax by c, ax by c, ax by c) Sau đó vẽ hệ trục tọa độ Oxy, vẽ các miền nghiệm các bất phương trình trong hệ rồi kết luận

+ Tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm:

Nếu a0 thì giải bất phương trình  0 tìm m

Nếu a là biểu thức theo m, trước tiên ta tìm m để a=0, ví dụ tìm được các giá trị m1,m2,… thế vào xem phương trình bậc nhất có nghiệm không Sau đó biện luận trường hợp m khác m1, m2, … thì phương trình trên là pt b2 Để có nghiệm thì  0

+ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt: giải hệ 0

0

a



 



+ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu: giải hệ

0 0 0

a

P





 



 



Áp dụng vào các bài tập:

Bài 1 Giải các hệ bất phương trình sau



  

x

    







Bài 2: Tìm các giá trị của m để các pt sau có nghiệm :

a) x2  2( m  2) x  2 m   1 0 ;

b) ( m  5) x2  4 mx m    2 0 ;

c) (3  m x ) 2  2( m  3) x    m 2 0

Bài 3: Tìm các giá trị của m để pt:

a) x2  2( m  1) x  9 m   5 0 có 2 nghiệm phân biệt ;

b) ( m  2) x2  2 mx    m 3 0 có 2 nghiệm trái dấu

Chủ đề 5: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Tìm điều kiện của tham số m để thương trình bậc hai có nghiệm, có hai

nghiệm trái dấu

Phương pháp: Xem lại kiến thức nhất là các cơng thức chương thống kê

+ Tần suất: i

i

n f n

 với fi là tần suất giá trị thứ i, ni: tần số tương ứng n: tổng số tần số

+ Số trung bình: x 1(x n1 1 x n2 2 x n k k) x f1 1 x f2 2 x f k k

n

x 1(c n1 1 c n2 2 c n k k) c f1 1 c f2 2 c f k k n

1

n

+ Độ lệch chuẩn: s s2

Áp dụng vào các bài tập:

1 Cho các số liệu ghi trong bảng sau: Thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân (đơn vị:phút)

a) Hãy lập bảng phân bố tần số, bảng phân bố tần suất

b) Trong 50 công nhân được khảo sát, những công nhân có thời gian hoàn thành một sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?

2 Điểm thi học kì II mơn Tốn của một tổ học sinh lớp 10A (quy ước rằng điểm kiểm tra học kì cĩ thể làm

trịn đến 0,5 điểm) được liệt kê như sau: 2 ; 5 ; 7,5 ; 8 ; 5 ; 7 ; 6,5 ; 9 ; 4,5 ; 10

a) Tính điểm trung bình của 10 học sinh đĩ (chỉ lấy đến một chữ số thập phân sau khi đã làm trịn)

b) Tính số trung vị của dãy số liệu trên

3 Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau :

Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ờ trường THPT C ( đơn vị : giây )

6.3 6.2 6.5 6.8 6.9 8.2 8.6 6.6 6.7 7.0 7.1 8.7 7.6 7.7 7.8 7.5 7.6

8.5 7.4 7.3 7.2 7.1 7.0 8.4 8.1 7.1 7.3 7.5 7.7 7.8 7.2 7.5 8.3

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp:

[ 6,0 ; 6,5 ) ; [ 6,5 ; 7,0 ) ; [ 7,0 ; 7,5 ) ; [ 7,5 ; 8,0 ) ; [ 8,0 ; 8,5 ) ; [ 8,5 ; 9,0 ]

b) Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc về thành tích chạy của học sinh

c) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của bảng phân bố

Chủ đề 6: Thống kê:

- Xác định tần số, tần suất của mỗi giá trị trong dãy số liệu thống kê

- Vẽ biểu đồ tần số hình cột

- Vẽ đường gấp khúc tần số, tần suất

- Tìm số trung bình, số trung vị, mốt của dãy số liệu thống kê

- Tính phương sai, độ lệch chuẩn của dãy số liệu thống kê

4 Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng được thống kê như ở bảng sau:

Số

Kh.ách

430 550 430 520 550 515 550 110 520 430 550 880

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất và tìm số trung bình ;

b) Tìm mốt, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn

Phương pháp: Chú ý các kiến thức, các công thức lược giác đã học

Áp dụng vào các bài tập:

Bài 1: Tính giá trị lượng giác của các cung ( góc ) :

a) 1200 b) 1350 c) 1500 d) 2250 e) 6900

Bài 2: Tính giá trị lượng giác của các cung ( góc ) :

a) 3

4



b) 7

6



c) 11

3



Bài 3: Tính : a) tan 4200 b) sin 8700 c) cos (-2400)

Bài 4 : Tính các giá trị lượng giác còn lại :a) Cho 4

cos

13

  và 0

2





  , tính sin , tan , cot  

sin

13

  và

2

    , tính cos , tan , cot  

cos

5

  và 3

2



   , tính sin , tan , cot  

tan

2

  , tính sin , cos , cot  

Bài 5 : Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:

1) sin x + cos x = (sinx + cosx)(1 - sinx.cosx) 3 3

2) sin x - cos x = (sinx - cosx)(1 + sinx.cosx) 3 3

3) cos x + sin x = 1 - 2 sin x.cos x4 4 2 2

4) cos x - sin x = 1 - 2 sin x4 4 2

5) (1 - sinx)(1 + sinx) = sin x.cot x2 2

6) sin x.cotx 1

cosx 

7) (cotxtan )x 2(cotxtan )x 2 4

Chủ đề 7: Lượng giác:

- Tính các giá trị lượng giác của một cung, góc cho trước

- Tính giá trị của một biểu thức lượng giác

- Cho trước một giá trị lượng giác của một cung, góc , tính các giá trị lượng

giác còn lại

- Chứng minh đẳng thức lượng giác đơn giản

- Ngoài ra chú ý thêm: đổi số đo, biểu diễn cung lg

8) sin 1 cos 2





Phương pháp:

+ Áp dụng định lý cosin:

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

Hệ quả:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

cos

2 cos

2 cos

2

b c a A

bc

a c b B

ac

a b c C

ab

 



 



 



R

A B  C 

+ Tính độ dài trung tuyến:

2

2

2

4

4

4

a

b

c

b c a m

a c b m

a b c m







+ Tính diện tích tam giác:

4

abc S R





p là nữa chu vi

Áp dụng vào các bài tập:

Bài 1 Cho ABC có AB = 5 cm, AC = 8 cm, A600

a Tính độ dài cạnh BC, diện tích và đường cao AH của ABC

b Xét xem góc B nhọn hay tù ?

b Tính bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp ABC, độ dài trung tuyến BM của tam giác

c Tính độ dài phân giác trong AD của ABC

Bài 2 Cho ABC có a = 21, b = 17, c = 10

a Tính cosA, sinA và diện tích ABC

b Tính ha, mc, R, r của ABC

Chủ đề 8: Hệ thức lượng trong tam giác:

- Áp dụng định lí côsin, định lí sin, công thức về độ dài đường trung tuyến, các công

thức tính diện tích để giải một số bài toán có liên quan đến tam giác

- Chứng minh các hệ thức về mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

- Giải tam giác trong một số trường hợp đơn giản (tính được các cạnh và các góc còn

lại của tam giác khi biết ba yếu tố, trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh)

a) ΔABC có AB = 3, AC = 5, BC = 7

b) ΔABC có A = 1200, C = 150, AC = 2

c) ABC biết góc A = 670 a =100 c =125

Phương pháp: Ôn lại một số kiến thức cũ:

- Vecto chỉ phương: là vecto có giá song song hay trùng với đường thẳng

- Vecto pháp tuyến: là vecto có giá vuông góc với đường thẳng Chú ý: nếu đường thẳng có vtcp

( ; )

u a b thì có vtpt n( ;b a) hay vtpt n ( b a; )

2

o o

 



  

 có vtcp u ( ;u u1 2) và qua M x y( ;o o)

- Pttq: d: a x( x o)b y( y o) 0 ax by c  0 có vtpt n ( ; )a b và qua M x y( ;o o)

- Khoảng cách từ M x y( ;o o) đến đường thẳng d1: ax by c  0 là: d M d( , 1) ax o 2by o 2 c





- Góc giữa hai đường thẳng: d a x b y c1: 1  1  1 0 và d2:a x b y c2  2  2 0 là:

1 2 1 2 1 2

cos( ,d d ) a a b b





- Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: d a x b y c1: 1  1  1 0 và d2:a x b y c2  2  2 0:

+ Nếu: 1 1

2 2

a b

a b thì d1 cắt d2 Giao điểm là nghiệm của hệ: 1 1 1

0 0





+ Nếu: 1 1 1

a b c

a b  c thì thì d1 // d2 Và nếu: 1 1 1

a b c

a b c thì d1 d2

Áp dụng vào các bài tập:

Bài 1 : Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng  biết:

a  đi qua M(2; –3) và có vectơ pháp tuyến n ( 4;1)

b  đi qua 2 điểm A(0; 5) và B(4; –2)

c  đi qua điểm N(6 ; –1) và có hệ số góc k = 2

3



d  đi qua P(–3 ; 2) và vuông góc với đường thẳng : 4x – 5y +1 = 0

e  qua A(1;2) và song song với đt d: x+3y-1=0

Bài 2 : Cho ABC với A(3; 2), B(1;1), C(5; 6)

a Viết pt tổng quát các cạnh của ABC

b Viết pt tổng quát đường cao AH, đường trung tuyến AM

c Viết pt tổng quát của đường trung trực cạnh AB, AC

Bài 3 Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

a M(5; 1) và : 3x – 4y – 1 = 0 b M(–2; –3) và : x 2 3t

  



   



Bài 4 Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d và d trong các trường hợp:

Chủ đề 9:Phương trình đường thẳng:

- Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng

- Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, xác định số đo góc giữa hai đường

thẳng

- Xác định vị trí tương đối, điểm chung của hai đường thẳng

a d1: 3x – y + 1 = 0 và d2: 2x – 4y + 6 = 0 b d1: 2x – 3y + 7 = 0 và d2: x 3 2t

 



  



Phương pháp: Xem lại các công thức đã hoc, các định nghĩa

- Phương trình đường tròn:

+ Ptct: (x a )2(y b )2 R2 với tâm I(a;b) và bán kính R

+ Pttq: x2y22ax2by c 0 với tâm I(a;b) và bán kính 2 2

R a b c + Pttt tại M x y( ;o o)nằm trên đường tròn: (x oa x)( x o) ( y oa y)( y o)0

- Phương trình Elip:

a b  Có trục lớn 2a, trục bé 2b, tiêu cự 2c với c a2b2 Tâm sai

1( ;0)

F c , F c2( ;0)

Áp dụng vào các bài tập:

Bài 1 Trong các phương trình sau, phương trình nào phương trình của đường tròn? Tìm tâm và bán kính của

đường tròn đó

a x2 + y2 – 2x + 4y – 1 = 0 b x2 + y2 – 6x + 8y + 50 = 0 c

(x 3) (y 4)

1

   

d 2x2 +2y2 -4x+8y-2=0 e x2 + y2 +4x+10y+15=0 f (x-5)2 + (y+7)2 =15

Bài 2 Lập phương trình đường tròn (C) biết:

a (C) có tâm I(6; 1), tiếp xúc với đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0

b (C) có đường kính AB biết A(1 ; -2), B(0 ; 3)

c (C) có bán kính R=1, tiếp xúc với trục hoành và có tâm nằm trên đường thẳng: x +y – 3 = 0

d (C) đi qua 3 điểm A(1 ;2), B(5 ; 2), C(1 ; –3)

Bài 3 Cho đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 5

Lập phương trình các tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tại điểm A(3; –2)

Bài 4 Lập pt tiếp tuyến với đường tròn (C) : (x+1)2 + (y+2)2 = 36 tại điểm M(4;1) thuộc đường tròn

Bài 5 Trong mặt phẳng Oxy cho (E):

1

25  9 

a Xác định toạ độ các tiêu điểm, đỉnh, tâm sai và độ dài các trục của elip

b Tìm các điểm M thuộc (E) sao cho 3MF1 – 2MF2 = 1

Bài 6 Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a Có một đỉnh có toạ độ (0; –2) và một tiêu điểm F1(–1; 0)

b (E) đi qua hai điểm 3

M 5;

2

  và N(–2 ; 1)

Chủ đề 10:Phương trình đường tròn, Elip:

- Viết phương trình đường tròn

- Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

- Nhận dạng một phương trình bậc hai là phương trình đường tròn; Xác định

được tọa độ tâm và độ dài bán kính đường tròn khi biết phương trình của nó

- Từ phương trình chính tắc của elip: xác định độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự,

tâm sai của elip; xác định được tọa độ các tiêu điểm, giao điểm của elip với các

trục tọa độ

- Viết phương trình chính tắc của elip khi cho các yếu tố đủ để xác định elip đó