Khi đó mpMNP chia khối tứ diện thành 2 khối đa diện BCNPQM và ADPNMQ.
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2010 – 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG B
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu
1.
(3,0đ)
Xét H/s: y=x3 + 3mx2 −m2
+TXĐ:D=R
+ có: y' = 3x2 + 6mx ,
−
=
=
⇔
=
m x
x y
2
0 0
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn y(x1).y(x2) < 0 0,50
⇔
<−
−
≠
⇔
<−
≠
0) 4)((
0 0)2 ().0(
0
2 3
m
m my y
m
0,75
⇔
4
1 4
1
0
>
⇔
>
≠
m m
m
1,0
Câu
2.
a,
(3,0đ)
a) Đặt : u= 2010x ,u> 0 Phương trình đã cho trở thành : u2 + u 12 12+ = 0,50
đặt: u+ 12 =v ,v> 12
)2(
12
)1(
12 2 2
2
2
=+
− +
⇔
=+
+
−
⇒
+=
=+
v uv u v
u v
u u
v
v
⇔ u−v+ 1 = 0 (Vì u + v >0 ) ⇔ v = u +1 0,50
Trang 2Thay vào (1) ta được:
+−
=
−−
=
⇔
=
−+
2
45 1 2
45 1 0
11
2
u
u u
Đối chiếu đ/k ta có:
2
45
1 +
−
=
2
1 45
2
1 45 log2010 −
=
x Vậy pt có nghiệm duy nhất:
2
1 45 log2010 −
=
b,
(3,0đ) b) Điều kiện:
0
≠
x
Khi đó hệ ⇔
+=+
−=+
⇔
−=
−
−=+
22 4 3
2 3 4 2 3
2 3
1
1 1) (
1)
(
yxx yx
xyx
yx xyx xy
xx
xy
Đặt : a=yx3 + 1 ,b=x2 −xy Ta có: x4 +x2y2 =(x2 −xy)2+ 2x3y 0,50
Hệ (I) trở thành
=−+
=
⇔
−+
=
=
02 )1(2 2
ba ab a
ba
−
=
=
=
=
⇔
2
1
b a
b a
0,50
+) Với a =b= 1 ta có
=
−
=
+
1
1 1 2
3
xy x
yx
=
−
=
⇔
1
0
2
3
xy x
yx
⇔
=
−
=
=
=
0 , 1
0 , 1
y x
y x
0,50
+) Với a =b= − 2 ta có
−=
−
−=
+
2
2 1 2
3
xy x
yx
−=
−
−=
⇔
)2 ( 2
)1(
3
2
3
xy x
yx
Hệ này vô nghiệm (vì từ (1) suy ra xy< 0, từ (2)suy ra xy> 0)
0,75
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm là
=
=
0
1
y
x
và
=
−=
0
1
y x
0,25
Trang 3Câu
3.
a,
(3,0đ)
a) Điều kiện :
>
−>
y x
y
x
2
2
Ta có : log4 (x+2y)+log4 (x-2y)=1 ⇔log4(x2 -4y2 )=1
⇔x2-4y2 =4 ⇔x= 4y2 + 4 (do x > 0) 0,50 Suy ra : 2x−y = 2 4y2 + 4 −y Đặt: t= y , t 0≥ 0,25
Xét : f(t) = 2 4t2 + 4 −t , vớit ≥ 0
4 4
4 4 8 1 4 4
8 ) (
2 2 2
'
+
+
−
=
− +
=
t
t t t
t t
15
1 0
)
(
' t = ⇔t=
Bảng biến thiên:
t 0
15
1
+∞
f’(t) - 0 + f(t) 4 +
∞
15
0,50
Từ bảng biến thiên suy ra f(t) ≥ 15 ⇒ P= 2x−y ≥ 15
Dấu đẳng thức xảy ra , 151
15
=
b,
(2,0đ) b) Do a +b +c = 1
⇒ ab+c = ab+c(a+b+c) ⇔ab+c= (a+c)(b+c) 0,50
+
+ +
≤ + +
=
b c a
a c
b
b c a
a c
ab
ab
2
1
0,25
+
+ +
≤
c b a
b a
bc
bc
2
1
+
+ +
≤
a b c
c b
ca
ca
2
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
≤ +
+ +
+
a c b
c c a
c a b
b c b
b c a
a b
ac
ac a
bc
bc c
ab
ab
2
1
0,50
⇔
2
3
≤ +
+ +
+
ac a
bc
bc c
ab
ab
Dấu bằng xảy ra khi : a b c 1
3
= = =
0,50
Câu
4.
(3,0đ)
D
A
B C
H K
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên mp(ABD) Kẻ CK ⊥AB tại K ⇒ HK ⊥ AB 0,50
3
1
3
1
CK S S
CH
Trang 4Mà : S C CK.AB
2
1
CK AB
2 sinα
3
1
AB
S S
D
AB
S S
3
sin
Câu
5.
(3,0đ)
P
A
B
E
D
C
M
Q N
Gọi E là giao điểm của MN và BC, Q là giao điểm của EP và BD
Khi đó mp(MNP) chia khối tứ diện thành 2 khối
đa diện BCNPQM và ADPNMQ
0,50
Đặt: VABCD = V , VBCNPQM =V1 , VADPNMQ = V2
Ta có: N là trọng tâm của ∆ABE ⇒C là trung điểm của BE. 0,25
⇒ P là trọng tâm của ∆DBE ⇒ Q là trung điểm của BD. 0,25
⇒ CNPE
CNPE ABCD
EBMQ
Từ (1) và (2) ⇒ VBEMQ 1V
2
⇒ V1 = VEBQM – VCNPE = 7 V
2
Hết -Ghi chú: - Học sinh giải cách khác đúng cho điêm phần tương ứng
- Khi chấm Giám khảo không làm tròn điểm
