0,25 Hết -Ghi chú: - Học sinh giải cách khác đúng cho điêm phần tương ứng - Khi chấm Giám khảo không làm tròn điểm Trang 4.
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2010 – 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG A
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang )
Câu 1.
a,
(3,0đ)
Khi đó phương trình ⇔ x2 −x− x+ 1 − 2 −x = − 1 − 2 (1) 0,25 Xét : f(x) =x2 −x− x+ 1 − 2 −x với x∈[-1;2]
f x x x x
−
+ +
−
−
=
2 2
1 1
2
1 1 2 ) (
) 2 1 ( 2 1 2
1 1
)[
1 2 ( ) ( '
x x
x x
x x f
− + +
− + +
−
2
⇒ Bảng biến thiên :
x
-1 1
2 2 f’(x) - 0 +
f(x) 2− 3 2 − 3
6 4
1 −
−
0,5
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có đúng 2 nghiệm 0,25
Dể nhận thấy x=0; x=1 là 2 nghiệm của phương trình (1) 0,5 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S ={ }0 ; 1 0,25
b,
(3,0đ)
b) Bất phương trình đã cho tương đương với
1 2 )
2 (m+ x−m≥x2 + x+ ⇔m(x− 1 ) ≥x2 + 1 (*) 0,25 Nhận thấy x = 1 không nghiệm đúng bất phương trình (*) 0,25 Với x∈[− 2 ; 1) Ta có bpt (*)
1
1
2
−
+
≤
⇔
x
x
Với x∈(1 ; 2] Ta có bpt (*)
1
1
2
−
+
≥
⇔
x
x
Xét hàm số ( )
1
1
2
−
+
=
x
x x
f , với x∈[− 2 ; 1) (∪ 1 ; 2] 0,25
Có '( ) 2 2
) 1 (
1 2
−
−
−
=
x
x x x
f (x) 0
x 1 2 (lo¹i)
= −
= ⇔
= +
Bảng biến thiên:
x -2 1 − 2 1 2 f’(x) + 0 - -
f(x) 2−2 2 + ∞
3
5
− − ∞ 5
0,5
Bpt(*) có nghiệm thuộc đoạn [− 2 : 2]⇔hoặc bpt (1) có nghiệm thuộc 0,25
Trang 2[− 2 ; 1) hoặc bpt (2) có nghiệm thuộc (1 ; 2]
≥
−
≤
⇔
5
2 2 2
m m
Vậy m∈ −∞ −( ;2 2 2]∪ +∞[5; ) là tất cả các giá trị cần tìm
0,5
Câu 2.
(2,0đ)
Điều kiện xác định của hệ phương trình là
≤
≤
≤
≤
−
2 0
1
1
y
x
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
− +
= +
−
+ + +
= +
)2 ( 2 1
1
)1 ( )1 ( )1 (
2
3 3
y y
x
x x
y
y
0,25
Từ(*) ta có [ ]
[ ]
1 0; 2 0; 2
x y
+ ∈
∈
Xét: f t =t +t
3
) ( f' (t) = 3t2 + 1 > 0 ∀t
0,5 Hàm số f(t) =t3 +t đồng biến trên đoạn [0 ; 2] nên pt(1)⇔y=x+ 1,
thế vào pt(2) ta được: 1 −x2 + 1 = 1 +x + 1 −x 0,5 ⇔ x= 0 ⇒y= 1 (thỏa mãn (*))
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) là ( )0 ; 1 0,5
Câu 3.
a,
(2,5đ) a)Điều kiện :
>
−>
y x
y
x
2
2
Suy ra x> 2y ⇒ x> 0 0,25
Ta có : log4 (x+2y)+log4 (x-2y)=1 ⇔log4(x2 -4y2 )=1 0,25 ⇔x2-4y2 =4 ⇔x= 4y2 + 4 (do x > 0) 0,25 Suy ra: 2x−y = 2 4y2 + 4 −y , đặt : t = y , t ≥0 0,25 Xét: f(t) = 2 4t2 + 4 −t , vớit ≥ 0
4 4
4 4 8 1 4 4
8 ) (
2 2
2 '
+
+
−
=
− +
=
t
t t t
t t
15
1 0
) (
' t = ⇔t=
Bảng biến thiên:
t 0
15
1 +∞
f’(t) - 0 + f(t)
4 +∞ 15
0,5
Từ bảng biến thiên suy ra f(t) ≥ 15 ⇒ 2x−y ≥ 15 (đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra
15
1 ,
15
=
b,
c b a c b a ca bc
ab+ + = + + − − − 0,25 suy ra: ( ) 2
4
1
c b a ca bc
Trang 2
Trang 3
+ + +
+ + +
+ +
= + +
+ +
=
3 3
3 3
3 3
16
1 ) (
) (
4
c b a
c c
b a
b c
b a
a c
b a
c b a
Đặt :
c b a
a x
+ +
= 4 ,
c b a
b y
+ +
= 4 ,
c b a
c z
+ +
= 4
0,5 Thì
+−=
−=+
⇔
=++
=++
44
4 4
4
2 xx yz
xz
y zxyz xy
zyx
.Vì (y+z)2 ≥ 4yz nên 0 ≤x≤38
Ta có 1 ( 3 3 3) 1 3 3
( ) 3 ( )
P= x +y +z = x + +y z − yz y z+ ⇒ (3 12 12 16)
16
+ +
−
P
0,25
Xét: f(x) = 3x3 − 12x2 + 12x+ 16 , với: ]
3
8
; 0 [
∈
x
=
=
⇔
=
⇒ +
−
=
⇒
3 2
2 0
) (' 12 24 9 )
x
x x
f x
x x
3
8
; 0 [
∈
Có:
9
176 ) 3
8 ( , 9
176 ) 3
2 ( , 16 ) 2 ( , 16 ) 0
⇒ Trên ]
3
8
; 0 [ : min f(x)=16 , Max f(x)=1769
⇒ min P = 1 , chẳng hạn khi: a= 0 , b=c≠ 0
Max P =
9
11 , chẳng hạn khi: a=b ,c= 4a ,a≠ 0
0,25
Câu 4.
(2,0đ) Gọi trung điểm của HA,HB,HC,BC,CA,AB lần lượt là:
I,E,F,M,N,P
0,25
Ta có: EH⊥AC⇒EH⊥IF
Mà MF//EH ⇒MF IF⊥ ⇒ ·I FM 1v= 0,25 Tương tự ⇒ ·IEM 1v= nên M thuộc
đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF 0,25 Tương tự ta có N,P cũng thuộc đường tròn
ngoại tiếp tam giác IEF 0,25 + Dễ thấy: ∆ABClà ảnh của ∆MNPqua phép vị tự tâm G tỷ số k =-2 0,25
⇒đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là ảnh của đường tròn ngoại tiếp
MNP
∆
Ta có đường tròn ngoại tiếp ∆MNP có phương trình:
0 4 4 2 2
2 +y − x+ y+ =
x
0,25
Có tâm K(1;-2) , R =1 Gọi K1,R1 là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆ thì: GKuuuur1= −2GK Ruuur , 1=2R ⇒K1(1;10) , R1=2 0,25
⇒ Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là:
(x− 1 ) 2 + (y− 10 ) 2 = 4
0,25
H A
C M
I
Trang 4Câu 5.
a,
(2,0đ)
D
A
B C
H K
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên mp(ABD) Kẻ CK ⊥AB tại K ⇒HK ⊥AB
⇒ góc giữa (ABC) và (ABD) là ·CKH= α 0,5
3
1
3
1
CK S S
CH
Mà: S C CK.AB
2
1
3
1
AB
S S
D
⇒
AB
S S
3
sin
G A
B
C S
S'
B'
Gọi S’ là trọng tâm tam giác ABC
⇒ SG đi qua S’ và:
4
3 ' =
SS
Gọi V,V’ lần lượt là thể tích các khối tứ diện SABC, SA’B’C’
Ta có: (dt S AB∆ ' )=dt S BC(∆ ' )=dt S CA(∆ ' ) 0,25 SS'AB SS'BC SS'CA
V
3
mà:V V SG SS SA SA SB SB
AB SS
B SGA
'.
' '.
.
'
'
SGA'B'
1 SA ' SB'
4 SA SB
=
0,5 Tương tự:⇒ ' '
1 ' ' 4
SGB C
SB SC
SB SC
1 ' ' 4
SGA C
SA SC
SA SC
Mà: V'=V SGA B' '+V SGB C' '+V SGA C' '
⇒ ' 1 ' ' ' ' ' '
4
⇒ '. '. ' 1 ' ' ' ' ' '
' '
SC
SC SB
SB SA
⇒SA1'+SB1'+SC1 ' = a4 ( do SA = SB = SC = a )
0,25
Q
SA SB SB SC SC SA
3 SA ' SB' SC' 3a
⇒ minQ = 3 2
16
a khi SA’ = SB’ = SC’ = 3a4
⇔(P) qua G và song song với mp (ABC) 0,25
Hết
-Ghi chú: - Học sinh giải cách khác đúng cho điêm phần tương ứng
- Khi chấm Giám khảo không làm tròn điểm
Trang 4
