Bài tập tổng hợp Khảo sát hàm số - Hàm phân thức (tiếp)

Viết pt tiếp tuyến của đồ thị C tại giao điểm của đồ thị hàm số với Oy c.Tìm những điểm trên đồ thị C có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên Bài 2: Cho hàm số y =.. Khảo sat [r]

Trang 1

HÀM NH ẤT BIẾN ( hàm phân thức bậc 1/ bậc 1)

I Ki ến thức cần nhớ:

Hàm s ố nhất biến: y ax b (a 0,ad bc 0)

cx d



1 MXĐ: D R\ d

c

  

a b

y



  Đặt pad bc, ta có:

* Nếu p > 0 thì hàm số tăng trên từng khoảng xác định

* Nếu p < 0 thì hàm số giảm trên từng khoảng xác định

3 Các đường tiệm cận :

lim

d

x

c

y



c

   là tiệm cận đứng

lim

x

a y

c

   y a

c

  là tiệm cận ngang

4 Bảng biến thiên và đồ thị :

* p>0 :

* p<0 :

5 Đồ thị của hàm số nhất biến gọi là một hypebol vuông góc có tâm đối xứng I( d a, )

c c

 , là giao điểm của 2 đường tiệm cận

x

 d

c

 

y' + +

y

a c





x

y

I

a

c



x

 d

c

 

y' - -

y

a c





x y

I

a c

d c



O

Trang 2

Giáo viên: Nguy ễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 or 01889 822 933

- “ Đường đời gian khổ nuôi ta lớn, ân tình bạc bẽo dạy ta khôn “ - 2

II M ột số bài tập ví dụ :

Bài 1: Cho hàm số: 2 1

1

x y x







a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến  với (C) đi qua A (0 ; 2)

Bài 2: Cho hàm số 1

1

x y x







a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến  với (C) biết  vuông góc với đường thẳng d: x – 2y = 0

Bài 3: Cho hàm số

1

x y

x





a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận Chứng minh rằng không có bất cứ đường tiếp tuyến nào

của đồ thị đi qua I

Bài 4 Cho hàm số 2

3

x y x







a Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị

b Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng bằng

khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận ngang

Bài 5: Cho hàm số: 1

2

x y x





 có đồ thị (H) và đường thẳng d: y = - x + m

a Khảo sát và vẽ đồ thị (H)

b Chứng minh rằng d luôn cắt (H) tại 2 điểm phân biệt thuộc hai nhánh của (H)

Bài 6: Cho hàm số

-ax b y

x d







a Tìm a, b, d biết đồ thị (H) của hàm số đã cho đi qua các điểm (0; 3); (1; 2); (3;0)

2

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với a, b, d vừa tìm được

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (H), trục hoành và các đường thẳng x 3; x1

2

x y x





 (đồ thị (C))

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

b Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng d: x + y + 2 = 0

Bài 8: Cho hàm số y mx 3

x n







a Tính m, n để đồ thị (H) của hàm số nhận đường thẳng y = 2 làm tiệm cận ngang, nhận đường thẳng

x = 2 làm tiêm cận đứng

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m, n vừa tìm được

c Gọi M là giao điểm của (H) với trục hoành và N là giao điểm của (H) với trục tung Viết phương trình đường thẳng MN

d Viết phương trình và vẽ tiếp tuyến với (H) tại M và N Tìm tọa độ giao điểm của các tiếp tuyến

1 m

x

 





a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 4

Lop12.net

Trang 3

b Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (-1 ;0) có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm của (C) và (d)

c Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và các đường thẳng

x = 2, x = 4 khi quay quanh trục Ox

Bài 10: Cho hàm số 2 1

1

x y x





 có đồ thị (C)

b Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tọa độ nguyên

c Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách từ đó đến 2 đường tiệm cận của (C) là nhỏ

nhất

d Đường thẳng (d) đi qua A(1 ;1) có hệ số góc k Định k để (d) cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của

đồ thị

e Lập phương trình tiếp tuyến vơi (C), biết tiếp tuyến đó song song với đường phân giác của góc phần

tư thứ nhất

Bài 11: Cho hàm số:

1

x y x



 có đồ thị (H) và Parabol (P):

2

yax bx

a Khảo sát và vẽ đồ thị (H)

b Xác định a và b để (P) tiếp xúc (H) tại gốc toạ độ O và cắt (H) tại điểm A có hoành độ bằng 5

1

x y x





 (đồ thị (C))

a Khảo sát hàm số

b Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Tìm M ( )C sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B để chu vi IABnhỏ nhất

3

x y

x





 đồ thị (C)

a Khảo sát hàm số

b Bằng phương pháp đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2

2 3

log 3

x

m x







1

x y x





 (đồ thị (C))

b Chứng tỏ m R đường thẳng d y:   x mluôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Tìm m để AB

= 2 2

2

x y x





 có đồ thị (C)

a Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C)

b CMR: đường thẳng d: y = x + m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt nằm trên hai nhánh của (H) Tìm

m để khoảng cách giữa 2 điểm đó là ngắn nhất

1

x y x







a CMR đồ thị hàm số nhận các đường thẳng y = x + 2 và y = -x làm các trục đối xứng

b Tìm N thuộc đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến các trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 4

Bài 17 Cho hàm số 2 1

1

x y x





 (C)

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ 1

2

x

c Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ 1

2

y  d.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến k  3

e Tìm m để đường thẳng   5

3

d ymx  m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

1

x y x





 (C)

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ 1

2

y

c Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

 1

9

2

d Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

 2

1

8

d y x

e Tìm m để đường thẳng  d3 :ymx2m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm

1

x y x





 (C)

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành

c Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung

 1

:

d y  x

e Tìm m để đường thẳng  d2 :ymx2m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương

Bài 20 Cho hàm số 3 1

1

x y

x





 (C)

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc

phần tư thứ nhất

c Tìm m để đường thẳng  d1 :ymx2m7 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB

 d2 :x  y 2 0

e Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên

2

x y

x





 (C)

Lop12.net

Trang 5

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tt vuông góc với đường phân giác của góc phần tư

thứ hai

c Viết phương trình đường thẳng qua điểm M 3;4 và tiếp xúc với đồ thị (C)

d Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên

x y

x





 (C)

b Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai

c Viết phương trình đường thẳng qua điểm 3; 6

7

  

M và tiếp xúc với đồ thị (C)

d Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên

1

x y x





 (C)

b Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với Oy

c.Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên

Bài 2: Cho hàm số y =

1

1 2



x

(1)

1 Khảo sat sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2 Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của (C) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C)

tại M vuông góc với đường thẳng IM

Bài 3: Cho hàm số: y =

2

3



x

()

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ()

2 Gọi (C) là đồ thị của hàm số () đã cho.Chứng minh rằng đường thẳng

y =

2

1

x – m luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B.Xác định m sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất

1





x

(1) có đồ thị (C)

1 Khảo sát hàm số (1)

2 Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến

của (C) tại A và B song song với nhau

3 Tìm tất cả các điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm 2 đường tiệm cận của (C) ngắn nhất

Trang 6

m x

m m x m





) 1 3 (

(1) (m là tham số m)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2 Với giá trị nào của tham số m thì hàm số (1) đồng biến trên mọi khoảng thuộc tập xác định của nó

1



x

(1) có đồ thị (C)

1 Khảo sát hàm số (1)

2 Tìm các điểm M thuộc (C) có khoảng cách đến đường thẳng 3x + 4y = 0 bằng 1

ÔN T ẬP HÀM SỐ HỮU TỈ BẬC 2 TRÊN BẬC 1

A Ki ến thức cần nhớ:

I Hàm s ố hữu tỉ: ax2 bx c ( , 0)

 



Thực hiện phép chia đa thức ta được: y Ax B C ( a C 0)



1 MXĐ: D \ 



  

y A

A



* Nếu C 0

A

 

thì hàm số không có cực trị, hàm số tăng hoặc giảm trên từng khoảng xác định

* Nếu C 0

A

 

thì hàm số có 2 cực trị

3 Các đường tiệm cận:

Tiệm cận đứng: x 



 

Tiệm cận xiên: y AxB

4 Bảng biến thiên

* A0, AC 0: Hàm số có 2 cực trị

x

 x1 



 x2 

y’ + 0 - - 0 +

y

CĐ

CT

-5

5 10 15

x

y

I

Lop12.net

Trang 7

* A0, AC 0: Hàm số không có cực trị

* A0, AC 0: Hàm số có 2 cực trị

* A0, AC 0: Hàm số không có cực trị

II M ột số tính chất của hàm số hữu tỉ bậc 2 trên bậc 1

g x y

x

 

 với g(x) là một tam thức bậc 2 có biệt số 

1 Hàm số có cực đại và cực tiểu  g(x) có 2 nghiệm phân biệt 



 

0



 





   

  



2 Các cực trị là: 1

1

2ax b y





 ; 2 2ax2 b

y





 , với x x1, 2 là 2 nghiệm của y'0

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị có phương trình : y 1(2ax b)



3 Điều kiện để 2 cực trị trái dấu là :

2

( ) 0

0

cã 2 nghiÖm ph©n biÖt

v« nghiÖm

g x

ax bx c











4 Giả sử M là điểm thuộc đồ thị hàm số Nếu tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B thì ta có :

* M là trung điểm của AB và SIAB không đổi (I là giao điểm 2 đường tiệm cận, cũng là tâm đối xứng của đồ thị

* Tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là 1 hằng số

B M ột số bài tập ví dụ:

1 Cho hàm số: y x2 x 1

x 1

 



 a) Khảo sát hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số qua điểm M(-1;0)

c) Tìm a để phương trình 1

1

x

 có 2 nghiệm phân biệt

x

 



 

y’ + +

y

I

Trang 8

2 Cho hàm số: y x2

1 x



 (C) a) Khảo sát hàm số

b) Đường thẳng d qua giao điểm hai tiệm cận và có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) tại 2 điểm phân

biệt

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1

3

3 Cho hàm số: y x2 4x 3

x 2



a) Khảo sát hàm số

b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

2 5

y x

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành

4 Cho hàm số: y x2 x 3

x 1

  



a) Khảo sát hàm số

b) Tìm m để đường thẳng ymx 3 2m qua giao điểm hai tiện cận của đồ thị (C)

c) Tìm m để đường thẳng ymxm tiếp xúc với đồ thị (C)

1 (C)

y x

x

  

 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), đường tiệm cận xiên và các đường thẳng

x xk k  Tính k để diện tích này bằng 3 đơn vị diện tích

c) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ đều là các số nguyên

6 Cho hàm số

) m (C

y

x m



 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại (1; )7

2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị đi qua N( 1;0)

d) Chứng minh với m bất kì đồ thị hàm số (C m) luôn luôn có cực trị Viết phương trình đường thẳng

đi qua 2 điểm cực trị

7 Cho hàm số

2 2

)

1 (Cm

y

x m



a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=-1

b) Bằng đồ thị biện luận theo k số nghiệm của phương trình x 2 3 k

x

   c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành, các đường x=1, x=3

8 Cho hàm số

2 1

x y x



a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

Lop12.net

Trang 9

b) Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ đến đồ thị (C) 2 tiếp tuyến và 2

tiếp tuyến này vuông góc với nhau

9 Cho hàm số

2

1 1

x x y

x

 



 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều 2 trục tọa độ

c) Với những giá trị nào của m thì đường thẳng y=m-x cắt đồ thị của hàm số tại 2 điểm phân biệt?

Chứng minh rằng khi đó cả 2 giao điểm đều thuộc một nhánh của đồ thị

10 Cho

2

5 4 2

y

x

 



 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Chứng tỏ đường thẳng y  x m luôn cắt đồ thị ở 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị

c) Tìm m để các tiếp tuyến tại A, B (ở câu 2) là song song nhau

d) Tìm cặp điểm trên đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng y=x

11 Cho hàm số

2

x x a y

x a

  



 a) Tìm a để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y x 1 tại 2 điểm phân biệt

b) Gọi y y1, 2 là tung độ của 2 giao điểm ở câu a) Tìm hệ thức giữa y y1, 2 không phụ thuộc vào a

12 Cho hàm số: 1 1

1

y x

x

  

 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Dựa vào đồ thị suy ra số nghiệm (0; )

2

x 

của phương trình:

2

sin x cos x ( tgx cotgx ) m

sin x cos x

2

1

x x y

x

 

 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Xác định m để phương trình: 4 3 2

t  m t  t  m t  có nghiệm

2

2 2

1 (C)

y

x



 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Gọi M là điểm bất kỳ thuộc (C), tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B CMR M là trung điểm của AB và SABC không phụ thuộc vào vị trí của M

2

2 1

x x y

x

 



Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của (C) tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và qua tâm đối xứng của đồ thị

2

1 1

x x y

x

 



Tìm trên Oy các điểm từ đó có thể kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

17 Xho hàm số

2

2x 2x 2

Trang 10

Tìm các điểm trên trục hoành để qua đó kẻ đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

18 Cho hàm số 2 2 2

1

y

x



Tìm M ( )C sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất

2

1 (C )m

y

x



 Tìm m để đồ thị(C m) của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ 2 điểm đó đến đường thẳng x  y 2 0bằng nhau

20 Cho hàm số:

2

1

x x y

x

 



 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Có nhận xét gì về tiếp tuyến vẽ đến (C) từ các điểm nằm trên đường thẳng y = 7

c) Chứng minh trên đường thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm có thể vẽ đến (C) 2 tiếp tuyến

tạo nhau 1 góc 450

1 (C)

y x

x

  

 Tìm trên (C) những điểm có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với 2 tiệm cận 1 tam giác có chu vi nhỏ nhất

2







x

m x x

1 Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn [-1;0]

2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1

3 Tìm a để pt sau có nghiệm: 91+ 1 t 2 (a + 2)31+ 1 t 2 + 2a + 1 = 0

x

mx x



 1

2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa 2 điểm cực

trị của đồ thị hàm số (1) bằng 10

Bài 4:

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =

) 1 ( 2

3 4

2 2



x

x x

2 Tìm m để pt : 2x2

– 4x – 3 + 2m x1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Lop12.net

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	1,01 MB