TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ fx THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp :.. Dùng điều kiện đã cho để tìm hằng số C.[r]
Trang 1NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1 : NGUYÊN HÀM
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Nguyên hàm và tính chất
a) Định nghĩa : Cho hàm số f x( ) xác định trên K (K là một đoạn, khoảng hoặc nửa khoảng) Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( )trên K nếu :
F x'( ) f x( ) với mọi x K
b) Định lí :
1) Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )trên K thì với mỗi hằng số C , hàm
số F x( )C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x( )trên K
2) Ngược lại, nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f x( )trên K đều có dạng F x( )C
Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số f x( ) là f x dx( )
Vậy : f x dx( ) = F x( )C , C R
Tính chất của nguyên hàm
1) f x dx'( ) f x( )C
2) k f x dx k f x dx ( ) ( )
3) f x( )g x dx( ) f x dx( ) g x dx( )
Sự tồn tại nguyên hàm
Định lí : Mọi hs f x( ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
Nguyên hàm của hàm sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp (với u u x ( ))
1) 0dx C
2) dx x C
3)
1
1
x
x dx C
dx x C
x
dx x C
3
xdx x x C
8) e dx e x xC
ln
x
a dx C
a
10) sinxdx cosx C
11) cosxdxsinx C
1) 0du C
2) du u C
3)
1
1
u
u du C
du u C
2
du u C
3
udu u u C
8) e du e u u C
ln
u
a du C
a
10) sinudu cosu C
11) cosudusinu C
Trang 212) 12
tan
cot
12) 12
tan
13) 12
cot
B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Phương pháp :
1 Biến đổi hàm số f x( ) về những hàm số có trong bảng nguyên hàm
f x( )k f x1 ( )1 k f x2 ( ) 2 k f x n ( )n
2 Áp dụng tính chất của nguyên hàm
f x dx k( ) 1. f x dx k1( ) 2. f x dx2( ) k n. f x dx n( )
Bài 1 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
1 f x( )x4x3x2 x 1 6 ( ) (2f x x1)3
2 2
1
7 ( )f x x
x
3
f x
x
2
8 ( ) sin cos
f x
4
3
1
f x
x
x
5 f x( ) (2 x1)(x2 x 2) 10 ( ) cos cos5f x x x
Bài 2 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
e
11 ( ) cos3f x xsin 4x1
sin cos
f x
x x
2 sin 2
f x
x
3 1
12 ( )f x e x
3 f x( ) tan 2x 8 ( ) (2f x x3 )x 2 13 ( ) 3 1
1
x x
e
f x
e
4 f x( ) (2 tan xcot )x 2 9 ( ) cos 2
x
f x
14 ( ) sin cosf x x xsin xcosx
2
x
sin
x
f x
x
2
sin
15 ( )
sin 2cos cos
2
x
f x
x
Bài 3 : Tính các nguyên hàm sau :
2x3dx
1
8
(3x2) dx
1 cos x dx
5 3 x dx
x x
x
dx x
1 sin
x dx x
4
2
1
x
dx
x
1
18
(sinxcos )x dx
Trang 33
x
dx x
1
x
e e dx
x
1
x x
(1x)(1 2 ) x dx
1
20
x x
x
dx
x x
f(x)
TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ F(x) LÀ MỘT NGUYÊN HÀM CỦA f(x) Phương pháp :
1 Chứng minh : F x'( ) f x( ) x D
2 Dùng đồng nhất thức và tính chất của nguyên hàm
Bài 1 :
1 CMR hàm số F x( ) 4sin x(4x1)e x1 là một nguyên hàm của hàm số
( ) 4cos (4 5) x
f x x x e
2 CMR hàm số F x( ) ln( x x21) là một nguyên hàm của hàm số
2
1 ( )
1
f x
x
3 CMR hàm số ( ) ln tan là một nguyên hàm của hàm số
2
x
sin
f x
x
Bài 2 :
1 Cho hàm số f x( ) ( x3).e x và F x( ) ( ax2bx c e ) x Với giá trị nào của a, b, c thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) ĐS : a0; b1; c 4
2 Cho hàm số f x( ) ( x2) x24x và F x( ) ( ax2bx c ) x24x Với giá trị nào của a, b, c thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) ĐS : 1; 4; 0
a b c
Phương pháp :
Tìm F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x)
F x( ) f x dx g x( ) ( )C (*)
Dùng điều kiện đã cho để tìm hằng số C Thay C vào (*) ta được nguyên hàm cần tìm
Bài tập :
1 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f x( ) 3x4 22x3 5 biết ĐS :
x
3 2 5
F x x x
x
2 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) 2 4 1 biết
1
x x
f x
x
ĐS :
2
2
x
F x x x
3 Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) 1 sin biết ĐS :
1 cos
x
f x
x
Trang 4Bài 2 : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
Nếu f u du F u( ) ( )C và u u x ( ) là hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì
f u x u x dx F u x ( ) '( ) ( )C.
Hệ quả : Nếu f x dx F x( ) ( )C thì f ax b dx( ) 1F ax b( ) C (a 0)
a
B Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu hai hàm số u u x ( ) và v v x ( ) có đạo hàm liên tục trên K thì
u x v x dx u x v x( ) '( ) ( ) ( )u x v x dx'( ) ( )
Hay viết gọn là : udv uv vdu
Bài tập áp dụng :
TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dạng 1 : Để tìm f x dx( ) , ta tiến hành như sau :
Ta biến đổi f x dx g u x u x dx( ) ( ) '( )
Đặt t u x ( ), khi đó dt u x dx '( )
Vậy f x dx( ) g u x u x dx ( ) '( ) g t dt( ) G t( ) C G u x ( )C với G t( ) là một nguyên hàm của ( )
g t
Một số dạng bài tập thường gặp :
f(sin ).cosx xdx Đặt tsinxdtcosxdx
f(cos ).sinx xdx Đặt tcosxdt sinxdx
(tan )
cos
x
1 tan
cos
x
(cot )
sin
x
1 cot
sin
x
f e e dx( ).x x Đặt t e xdt e dx x
(ln )
f x dx
x
x
Bài tập :
Bài 1 : Tìm các nguyên hàm sau
1
x x
e dx
e
2. sin5
cos
x
dx x
3.
3
ln x
dx
x
4.
5
2
cos
x
dx x
cos
9
x dx
x
3
x x
e dx
e
1
e
Bài 2 : Tìm các nguyên hàm sau
Trang 51 1 4sin cos x xdx 6 cos xdx 5
2
3
2
sin
os
x
dx
c x
1 2cos
x x
dx x
3
3 2 1
x
dx
x
1 cos
x x
dx x
1 3sin 2
x dx x
1 sin
x dx x
5
2
2
x
x
e
dx
e
sin 2
x dx x
Bài 3 : Tìm các nguyên hàm sau
1
sin 2
x
dx
x x
cos
8
x
dx
x x
x
dx
x x
dx
e e
x dx
x x
dx
x x
cos x dx
1
x dx
x
5
2
1
4dx
x x
1
12
1
x dx x
sinx dx
(2sinx3cos )x dx
1
14
cos x dx
Dạng 2 : Để tìm f x dx( ) , ta tiến hành như sau :
Đặt x( )t dx '( )t dt
f x dx( ) f ( ) '( )t t dtg t dt( ) G t( )C
Một số dạng bài tập thường gặp :
21 2 Đặt
dx a
a2x dx2 (a0) Đặt x a sintdx a costdt
2 2
1
dx a
x2a dx2 (a0) Đặt 2
cos
2 2
1
dx a
cos
Bài tập :
1 21
4dx
x
7
9
x dx x
3
13
1
x dx x
2 21
3dx
x
1
8
1
x dx
x x
14
1
x x
dx x
Trang 63 2 1
x x
1
9
x x
dx
x x
15
1 9
x x
dx x
x x
1
10
4x dx
1dx
x x
1
11
3x dx
4x 9dx
1
12
x x
1 cos 2
1 sin
xdx x
1
x x
e dx
e
4
dx
x x
3 cos
xdx x
dx
x x
1 ln
dx
x x
dx
x x
dx
x x
1 2cos 2
xdx x
TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Dạng 1 : Để tính nguyên hàm dạng p x( ).lnxdx, trong đó p x( ) là hàm đa thức, ta tiến hành như sau :
Đặt
1 ln
du dx
dv p x dx v p x dx
Sau đó dùng công thức udv uv vdu
Dạng 2 : Để tính nguyên hàm dạng p x e( ). ax b ;sin(ax b );cos(ax b dx ) , trong đó p x( ) là hàm đa thức, ta tiến hành như sau :
'( ) ( )
du p x dx
u p x
dv e ax b ax b dx v e ax b ax b dx
Sau đó dùng công thức udv uv vdu
Bài tập : Tìm các nguyên hàm sau
10
x
x e dx
x